Sección 2.6 Problemas Misceláneos
¶En el plano proyectivo \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\) Hallar el punto de intersección de la recta \(m\) que pasa por los puntos \(\lt (3 , 1 , 2)\gt \) y \(\lt (1, 5 , -3)\gt \) y la recta \(l\) de ecuación \(x - 3y - 4z = 0\text{.}\)
Veamos la ecuación de la recta proyectiva que pasa por los puntos
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{ccc} x \amp y \amp z \\
3 \amp 1 \amp 2 \\
1 \amp 5 \amp -3
\end{array}\right| = -13x+11y+14z =0.
\end{equation*}
Despejando \(x= 3y+4z\) y reemplazamos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
-13(3y+4z)+11y+14z\amp=\amp0 \\
-14y-19z\amp=\amp0
\end{array}
\end{equation*}
de este modo tenemos que una solución particular la obtenemos de \(y=19, \ z=-14\) y con ella \(x=1\text{.}\)
\begin{equation*}
P=\lt (1,19,-14)\gt
\end{equation*}
Ejemplo 2.6.2
Sea \(\mathbb{F}_4= \mathbb{Z}_2(\delta)\) con \(\delta^2=\delta+1\) y el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{F}_{4}^{3})\text{.}\)
Dada las rectas \(l_1=\left\langle(1,1,0),(0,1,1)\right\rangle\) y \(l_2\) la recta de ecuación \(\delta x+y+\delta z=0\text{.}\)
Calcule \(l_1 \cap l_2\)
Veamos la ecuación de la recta proyectiva que pasa por los puntos
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{ccc} x \amp y \amp z \\
1 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 1 \amp 1
\end{array}\right| = x-y+z=0
\end{equation*}
Despejando \(y= -\delta x -\delta z\) y reemplazamos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x+\delta x+\delta z+z\amp=\amp0 \\
x+z\amp=\amp0
\end{array}
\end{equation*}
de este modo tenemos que una solución particular la obtenemos de \(x=1, \ z=-1\) y con ella \(y=0\text{.}\)
\begin{equation*}
P=\lt (1,0,1)\gt
\end{equation*}
Ejemplo 2.6.3
Sea \(\mathbb{F}_4= \mathbb{Z}_2(\delta)\) con \(\delta^2=\delta+1\) y el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{F}_{4}^{3})\text{.}\)
Dada las rectas \(l_1=\left\langle(1,0,1),(0,1,\delta)\right\rangle\) y \(l_2\) la recta de ecuación \(\delta x+y+z=0\text{.}\)
Calcule \(l_1 \cap l_2\)
Veamos la ecuación de la recta proyectiva que pasa por los puntos
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{ccc} x \amp y \amp z \\
1 \amp 0 \amp 1 \\
0 \amp 1 \amp \delta
\end{array}\right| = x+\delta y+z=0
\end{equation*}
Despejando \(z= \delta x + y\) y reemplazamos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x+\delta y+\delta x+y\amp=\amp0 \\
(1+\delta)x+(1+\delta)y\amp=\amp0 \\
x+y\amp=\amp0 \\
\end{array}
\end{equation*}
de este modo tenemos que una solución particular la obtenemos de \(x=1, \ y=1\) y con ella \(z=1+\delta\text{.}\)
\begin{equation*}
P=\lt (1,1,1+\delta)\gt
\end{equation*}
Ejemplo 2.6.4
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_5^3)\text{,}\) sean los puntos
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
K = \lt (2,3,2)\gt , L = \lt (3,1,1)\gt , R = \lt (2,1,3)\gt , \\
P= \lt (2,3, 0)\gt , Y= \lt (1,1,1)\gt .
\end{array}
\end{equation*}
Determine si el punto \(L\) incide en la recta \(l_{KR}\text{.}\)
Determine si el punto \(Z = \lt (2,0, 1)\gt \) incide en las rectas \(l_{KL}\) y \(l_{PY}\text{.}\)
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{ccc} 3 \amp 1 \amp 1 \\ 2 \amp 3 \amp 2 \\ 2 \amp 1 \amp 3 \end{array}\right| =
\left|\begin{array}{ccc} 3 \amp 1 \amp 1 \\ -4 \amp 1 \amp 0 \\ -7 \amp -2 \amp 0 \end{array}\right| = 8+7=15=0\in \mathbb{Z}_5
\end{equation*}
Luego \(L\) incide en la recta \(l_{KR}\text{.}\)
Solución Alternativa(b)
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{ccc} 2 \amp 0 \amp 1 \\ 2 \amp 3 \amp 2 \\ 3 \amp 1 \amp 1 \end{array}\right|=
\left|\begin{array}{ccc} 0 \amp 0 \amp 1 \\ -2 \amp 3 \amp 2 \\ 1 \amp 1 \amp 1 \end{array}\right|= -5=0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{ccc} 2 \amp 0 \amp 1 \\ 2 \amp 3 \amp 0 \\ 1 \amp 1 \amp 1 \end{array}\right|=
\left|\begin{array}{ccc} 0 \amp 0 \amp 1 \\ 2 \amp 3 \amp 0 \\ -1 \amp 1 \amp 1 \end{array}\right|= 5=0
\end{equation*}
incide en ambas rectas.
Ejemplo 2.6.5
Sean \(A=(1,1-i),\ B= (1+i,1)\) puntos en el plano afín vectorial \(\mathbb{C}^2\) y \(\overline{A}, \overline{B}\) los puntos que se obtiene al sumergir \(\mathbb{C}^2\) en el plano proyecto \(\mathbb{P}_2(\mathbb{C}^3)\text{.}\)
Determinar la ecuación de la recta que une \(\overline{A}\) y \(\overline{B}\text{.}\)
La ecuación de la recta que pasa por \(A,B\text{,}\) la pendiente es \(m=\frac{1-(1-i)}{1+i-1}=1\text{,}\) reemplazando el punto obtenemos \(y = x-i\text{.}\)
Por ello la ecuación en el plano proyectivo es
\begin{equation*}
x-y-iz=0
\end{equation*}
y pasa por los puntos proyectivos \(\overline{A}=\lt (1,1-i,1)\gt ,\ \overline{B}= \lt (1+i,1,1)\gt \text{.}\)
Ejemplo 2.6.6
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sea la recta de ecuación \(l:3x - y + z = 0\) y consideremos el plano afín \(\Pi^l= \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\setminus l\text{.}\)
Hallar la ecuación de la recta afín que pasa por los puntos \(\lt (1 , 2 , -3)\gt \) y \(\lt (2 , 1 , 2)\gt \text{,}\) respecto base canónica.
Consideremos \(l' : 3x - y + z =1\) recta proyectiva trasladada, los puntos de las rectas vectoriales que pertenecen al plano son:
\begin{equation*}
\left( -\frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2}\right); \ \left( \frac{2}{7}, \frac{1}{7},\frac{2}{7}\right)
\end{equation*}
Los puntos del plano son:
\begin{equation*}
\left( -\frac{1}{2}, -1\right); \ \left( \frac{2}{7}, \frac{1}{7}\right)
\end{equation*}
Y la ecuación tiene pendiente \(m= \frac{1/7+1 }{2/7+1/2}= \frac{16}{11} \) y
\begin{equation*}
y =\frac{16}{11}x-\frac{3}{11}
\end{equation*}
Ejemplo 2.6.7
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sea la recta de ecuación \(k:x - 3y + 2z = 0\) y consideremos el plano afín \(\Pi^k= \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\setminus k\text{.}\)
Hallar la ecuación de la recta afín que pasa por los puntos \(\lt (1 , 2 , -3)\gt \) y \(\lt (2 , 1 , 2)\gt \text{,}\) respecto base canónica.
Consideremos \(k' : x - 3y + 2z =1\) recta proyectiva trasladada, los puntos de las rectas vectoriales que pertenecen al plano son:
\begin{equation*}
\left( -\frac{1}{11}, -\frac{2}{11}, \frac{3}{11}\right); \ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
\end{equation*}
Los puntos del plano son:
\begin{equation*}
\left( -\frac{1}{11}, -\frac{2}{11}\right); \ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)
\end{equation*}
Y la ecuación tiene pendiente \(m= \frac{1/3+2/11 }{2/3+1/11}= \frac{17}{25} \) y
\begin{equation*}
y =\frac{17}{25}x+\frac{3}{25}
\end{equation*}
Ejemplo 2.6.8
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sea la recta de ecuación \(l:x - 3y + z = 0\) y el plano afín \(\Pi^l= \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\setminus l\text{.}\)
Hallar la ecuación de la recta afín, en el plano afín \(\Pi^l\text{,}\) que pasa por los puntos \(\lt (2 , 2 , 3)\gt \) y \(\lt (3 , 1 , 2)\gt \text{,}\) respecto base canónica.
(a) Consideremos \(l' : x - 3y + z =1\) recta proyectiva trasladada, los puntos de las rectas vectoriales que pertenecen al plano son:
\begin{equation*}
\left( -2, -2, -3\right); \ \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2},\frac{2}{2}\right)
\end{equation*}
Los puntos del plano son:
\begin{equation*}
( -2, -2); \ \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}
Y la ecuación tiene pendiente \(m= \frac{1/2+2 }{3/2+2}= \frac{5}{7} \) y
\begin{equation*}
y =\frac{5}{7}x-\frac{4}{7}\ \text{ o bien }\ 5x-7y= 4.
\end{equation*}
Solución Alternativa(b) Consideremos \(l' : x - 3y + z =1\) recta proyectiva trasladada,
El plano que contiene a las rectas vectoriales es:
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{ccc} x\amp y\amp z\\2\amp2\amp3\\ 3\amp1\amp2 \end{array}\right|= x+5y-4z
\end{equation*}
En el plano afín \(l'\) corresponde a
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl|}
x-3y+z\amp=\amp 1\\
x+5y-4z\amp=\amp0 \\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
Y en el plano \(\mathbb{R}^2\) esta dada por
\begin{equation*}
x+ 5y-4(1-x+3y)= 0 \Longleftrightarrow 5x-7y=4.
\end{equation*}
Ejemplo 2.6.9
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sea la recta de ecuación \(m:x - 3y + z = 0\) y el plano afín \(\Pi^m= \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\setminus m\text{.}\)
Determinar la ecuación de la recta \(l\) que pasa los puntos \(\lt (2 , 2 , 3)\gt \) y \(\lt (3 , 1 , 2)\gt \) en \(\Pi\text{.}\)
Determinar la ecuación de la recta \(l_1\text{,}\) sumersión de \(l\text{,}\) en el modelo del plano afín \(\Pi^m = \mathbb{R}^2\text{.}\)
Dada \(k:3x-y+2z=0\) y \(k_1\) sumersión de \(k\) en plano afín, determine si \(l_1\parallel k_1\text{.}\)
(a) La ecuación del la recta que pasa por los puntos \(A\lt (2 , 2 , 3)\gt \) y \(B\lt (3 , 1 , 2)\gt \) en \(\Pi\text{.}\) Corresponde al plano que contiene a las rectas vectoriales es decir,
\begin{equation*}
(x,y,z)\in \lt (2,2,3),(3,1,2)\gt \Leftrightarrow \left|\begin{array}{ccc} x\amp y\amp z\\2\amp2\amp3\\ 3\amp1\amp2 \end{array}\right|= x+5y-4z=0
\end{equation*}
La ecuación es
\begin{equation*}
x+5y-4z=0
\end{equation*}
(b) En el plano afín, \(l_1\) corresponde a
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl|}
x-3y+z\amp=\amp 1\\
x+5y-4z\amp=\amp0 \\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
luego, en el plano \(\mathbb{R}^2\) esta dada por
\begin{equation*}
x+ 5y-4(1-x+3y)= 0 \Longleftrightarrow 5x-7y=4.
\end{equation*}
La ecuación en el plano afín es \(5x-7y=4 \) y su pendiente es \(5/7\text{.}\)
(c) Para la segunda tenemos
\begin{equation*}
k:3x-y+2(1-x+3y)= 0\Longleftrightarrow x+5y=-2.
\end{equation*}
y su pendiente es \(-1/5\neq 5/7\text{,}\) luego no son paralelas.
Ejemplo 2.6.10
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{C}^3)\) y sea \(f: \mathbb{C}^3\longrightarrow \mathbb{C}^3\) tal que
\begin{equation*}
f(x,y,z)= ((2-i)\overline{x}+\overline{y},\overline{y}+\overline{z},i\cdot \overline{z}).
\end{equation*}
Demostrar \(f\) es semilineal biyectiva
Demostrar que \(f\) induce naturalmente \(\overline{f}\) una colineación de \(\Pi\text{.}\)
Sea \(f: \mathbb{C}^3\longrightarrow \mathbb{C}^3\text{,}\) dada por \(f(x,y,z) = ((2-i)\overline{x}+\overline{y},\overline{y}+\overline{z},i\cdot \overline{z})\text{.}\)
(a) Es semilineal ya que:
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
f((x,y,z)+ \alpha (a,b,c))
\amp=\amp f(x+\alpha a, y +\alpha b, z+\alpha c) \\
\amp=\amp ((2+i)\overline{x+\alpha a}+ \overline{y +\alpha b},\overline{y +\alpha b}+\overline{z +\alpha c},i\overline{z +\alpha c}) \\
\amp=\amp ((2+i)\overline{x}+ \overline{y}, \overline{y}+\overline{z},i\overline{z}) +\overline{\alpha}( (2+i)\overline{a}+\overline{ b}, \overline{b}+\overline{c},i\overline{c}) \\
\amp=\amp f(x,y,z) +\overline{\alpha} f(a, b,c).
\end{array}
\end{equation*}
La inversa es
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
f((x,y,z))=(a,b,c)
\amp\Leftrightarrow \amp ((2+i)\overline{x}+ \overline{y },\overline{y} +\overline{z },i\overline{z})= (a,b,c) \\
\amp\Leftrightarrow \amp ((2-i)x+ y,y+z,-iz)= (\overline{a},\overline{b},\overline{c}) \\
\amp\Leftrightarrow \amp z=i\overline{c}, \ y =\overline{b}-i\overline{c},\ x =\frac{2+i}{5}(\overline{a}-\overline{b}+i\overline{c}) \\
\amp\Leftrightarrow \amp f^{-1}(a,b,c) =(\frac{2+i}{5}(\overline{a}-\overline{b}+i\overline{c}),\overline{b}-i\overline{c},i\overline{c}).
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(f\) es biyectiva y semilineal.
(b) Por lo anterior tenemos que \(f(a(x,y,z)) = \overline{a} f(x,y,z) \text{.}\) Luego esta bien definida a nivel de puntos y biyectiva.
\begin{equation*}
\begin{array}{lcrc}
f: \amp\mathcal{P} \amp\longrightarrow \amp\mathcal{P}\\
\amp \lt (x,y,z)\gt \amp\rightsquigarrow\amp \lt f(x,y,z)\gt
\end{array}
\end{equation*}
Además tenemos que \(f(a(x,y,z)+b(u,v,w))= \overline{a} f(x,y,z) +\overline{b} f(u,v,w) \text{,}\) luego esta bien definida y es biyectiva a nivel de recta y también preserva incidencia.
\begin{equation*}
\begin{array}{lcrc}
f: \amp\mathcal{L} \amp\longrightarrow \amp\mathcal{L}\\
\amp \lt (x,y,z), (u,v,w)\gt \amp\rightsquigarrow\amp \lt f(x,y,z), f(u,v,w)\gt
\end{array}
\end{equation*}
De este modo \(f\) es una colineación.
Ejemplo 2.6.11
En el plano proyectivo \(V =\mathbb{P}_2(\mathbb{C}^3)\) y
\begin{equation*}
f(\lt (x,y,z)\gt )= \lt (3\overline{x}+\overline{y},\overline{y}+\overline{z},\overline{z})\gt .
\end{equation*}
Demostrar \(f\) una colineación.
(a) Sea \(g: \mathbb{C}^2\longrightarrow \mathbb{C}^2\text{,}\) dada por \(g(x,y) = (3\overline{x}+\overline{y}, \overline{y})\) es semilineal ya que:
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
g((x,y)+ \alpha (a,b))
\amp=\amp g(x+\alpha a, y +\alpha b) \\
\amp=\amp (3\overline{x+\alpha a}+ \overline{y +\alpha b},\overline{y +\alpha b}) \\
\amp=\amp (3\overline{x}+ \overline{y}, \overline{y}) +\overline{\alpha}( 3\overline{a}+\overline{ b}, \overline{b}) \\
\amp=\amp g(x,y) +\overline{\alpha} g(a, b).
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(g\) es semilineal y es biyectiva ya que su inversa es \(g^{-1}(x,y)= (\frac{x-y}{3},y)\text{.}\) Luego \(k(x,y) = (3\overline{x}+\overline{y}, \overline{y})+(0,1) \) es una colineación del plano afín vectorial.
\begin{equation*}
\widetilde{k}(x,y,1)= (3\overline{x}+\overline{y}, \overline{y}+1,1)
\end{equation*}
Que induce la colineación en el plano proyectivo
\begin{equation*}
f(\lt (x,y,z)\gt )=\overline{k}(\lt (x,y,z)\gt )= \lt (3\overline{x}+\overline{y}, \overline{y}+\overline{z},\overline{z})\gt .
\end{equation*}
Solución Alternativa (b) Sea \(g: \mathbb{C}^3\longrightarrow \mathbb{C}^3\text{,}\) dada por \(g(x,y,z) = (3\overline{x}+\overline{y}, \overline{y}+\overline{z},\overline{z})\text{.}\) es semilineal ya que:
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
g((x,y,z)+ \alpha (a,b,c))
\amp=\amp g(x+\alpha a, y +\alpha b, z+\alpha c) \\
\amp=\amp (3\overline{x+\alpha a}+ \overline{y +\alpha b},\overline{y +\alpha b}+\overline{z +\alpha c},\overline{z +\alpha c}) \\
\amp=\amp (3\overline{x}+ \overline{y}, \overline{y}+\overline{z},\overline{z}) +\overline{\alpha}( 3\overline{a}+\overline{ b}, \overline{b}+\overline{c},\overline{c}) \\
\amp=\amp g(x,y,z) +\overline{\alpha} g(a, b,c).
\end{array}
\end{equation*}
La inversa es
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
g((x,y,z))=(a,b,c)
\amp\amp (3\overline{x}+ \overline{y },\overline{y} +\overline{z },\overline{z})= (a,b,c) \\
\amp\amp (3x+ y,y+z,z)= (\overline{a},\overline{b},\overline{c}) \\
\amp\amp z=\overline{c}, \ y =\overline{b}-\overline{c},\ x =\frac{1}{3}(\overline{a}-\overline{b}+\overline{c}) \\
\amp\amp g^{-1}(a,b,c) =(\frac{1}{3}(\overline{a}-\overline{b}+\overline{c}),\overline{b}-\overline{c},\overline{c}).
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(g\) es biyectiva y semilineal.
De este modo tenemos que \(g(a(x,y,z)) = \overline{a} g(x,y,z) \text{.}\) Función bien definida y biyectiva a nivel de puntos
\begin{equation*}
\begin{array}{lcrc}
g: \amp\mathcal{P} \amp\longrightarrow \amp\mathcal{P}\\
\amp \lt (x,y,z)\gt \amp\rightsquigarrow\amp \lt g(x,y,z)\gt
\end{array}
\end{equation*}
Por otra parte tenemos que \(g(a(x,y,z)+b(u,v,w))= \overline{a} g(x,y,z) +\overline{b} g(u,v,w) \)
Función bien definida y biyectiva a nivel de recta y preserva incidencia
\begin{equation*}
\begin{array}{lcrc}
g: \amp\mathcal{L} \amp\longrightarrow \amp\mathcal{L}\\
\amp \lt (x,y,z), (u,v,w)\gt \amp\rightsquigarrow\amp \lt g(x,y,z), g(u,v,w)\gt
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(g\) es una colineación.
Ejemplo 2.6.12
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\) y sea \(f: \mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3\text{,}\) una transformación lineal biyectiva tal que
\begin{equation*}
f(x,y,z)= (3x, 2x+y+z,3z).
\end{equation*}
y \(\overline{f}\) la colineación inducida por \(f\) en plano proyectivo.
Determinar los puntos fijos de \(\overline{f}\) en \(\Pi\text{.}\)
Determinar cuatro rectas fijas de \(\overline{f}\) en \(\Pi\text{.}\)
(a) Determinar los puntos fijos de la colineación es equivalente a determinar
\begin{equation*}
f(x,y,z)=a(x,y,z)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl|}
(3-a)x\amp=\amp 0\\
2x+(1-a)y+z\amp=\amp0 \\
(3-a)z\amp=\amp 0 \\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
que el sistema tenga solución no trivial significa que
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{ccc} 3-a\amp 0\amp 0\\2\amp1-a\amp1\\ 0\amp0\amp3-a \end{array}\right|= (3-a)^2(1-a)=0
\end{equation*}
Si \(\mathbb{a=3}\text{,}\) luego \(2x-2y+z=0\text{,}\) de ello tenemos que
\begin{equation*}
(x,y,-2x+2y)= x(1,0,-2)+y(0,1,2)
\end{equation*}
Toda las rectas del plano \(\lt (1,0,-2),(0,1,2))\gt \) están fijas, ya que
\begin{equation*}
f(x,y, 2y-2x)= (3x, 2x +y+2y-2x, 6y-6x)= 3(x,y,2y-2x)
\end{equation*}
Para \(\mathbb{a=1}\text{,}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl|}
2x\amp=\amp 0\\
2x+z\amp=\amp0 \\
2z\amp=\amp 0\\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
tenemos que \(x=0=z\text{,}\) luego la recta es \(\lt (0,1,0)\gt \text{.}\)
(b) Algunas rectas proyectivas fijas, planos vectoriales, son:
\(f(\lt(1,0,-2),(0,1,2))\gt ) = \lt 3(1,0,-2),3(0,1,2)\gt = \lt(1,0,-2),(0,1,2)\gt \text{,}\)
\(f(\lt(1,0,-2),(0,1,0))\gt ) = \lt 3(1,0,-2), (0,1,0)\gt = \lt(1,0,-2),(0,1,0)\gt \text{,}\)
\(f(\lt(0,1,0), (0,1,2))\gt ) = \lt (0,1,0), 3(0,1,2)\gt = \lt(0,1,0), (0,1,2)\gt \text{,}\)
\(f(\lt(1,0,0), (0,1,0))\gt ) = \lt (3,1,0), (0,1,0)\gt = \lt(1,0,0), (0,1,0)\gt \text{.}\)
Ejemplo 2.6.13
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sean la recta de ecuación \(m: x - 3y + 2z = 0\text{,}\) los puntos \(A=\lt (2 , 1 , 3)\gt \text{,}\) \(B=\lt (3 , 1 , 2)\gt \) y el plano afín \(\Pi^m= \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\setminus m\text{.}\)
Determinar la ecuación cartesiana de la recta \(l_1\text{,}\) sumersión de \(l_{AB}\text{,}\) en el modelo del plano afín \(\Pi^m = \mathbb{R}^2\text{.}\)
Dada \(k:3x-y+2z=0\) y \(k_1\) sumersión de \(k\) en plano afín, determine si \(l_1\parallel k_1\text{.}\)
Ejemplo 2.6.14
En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{C}^3)\) y sea \(f: \mathbb{C}^3\longrightarrow \mathbb{C}^3\) tal que
\begin{equation*}
f(x,y,z)= (2\overline{x}+\overline{y},\overline{y}+i\cdot \overline{z}, \overline{z}).
\end{equation*}
Demostrar \(f\) es semilineal biyectiva
Determinar un punto fijo y una recta fija de \(\overline{f}\) en \(\Pi\text{.}\)
Ejemplo 2.6.15
Sean \(\mathbb{K}\) un cuerpo y los conjuntos de puntos y rectas dada por:
\begin{equation*}
\mathcal{P} = \{\mathcal{U}\leq \mathbb{K}^3 \ | \ dim(\mathcal{U})=1\},\ \
\mathcal{L} = \{\mathcal{W}\leq \mathbb{K}^3 \ | \ dim(\mathcal{W})=2\}
\end{equation*}
y la incidencia la contención (plano proyectivo vectorial).
Demuestre que \(\mathbb{P}_2(\mathbb{K}^3)\) satisface:
El segundo axioma de plano proyectivo.
El tercer axioma de plano proyectivo.
El segundo axioma de plano proyectivo.
Si \(l \neq m \) entonces \(l \cap m \neq \varnothing\)
Sean \(l=\left\langle \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right\rangle \) y \(m=\left\langle \overrightarrow{y},\overrightarrow{z}\right\rangle \) con \(l \neq m\text{,}\) entonces \(l\subsetneq l+m\subseteq \mathbb{K}^3\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
dim(l+m) \amp = \amp dim(l)+dim(m)-dim(l\cap m)\\
3 \amp = \amp 2+2-dim(l\cap m)\\
dim(l \cap m) \amp = \amp 1
\end{array}
\end{equation*}
En particular \(l \cap m \neq \varnothing\text{.}\)
El tercer axioma de plano proyectivo.
Sea \(B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\) base de \(\mathbb{K}^3\text{.}\) Entonces \(\{e_1,e_2,e_3,e_1+e_2+ e_3\}\) forman un cuadrángulo.
Para ello notemos que \(e_1,e_2\not \in \lt e_3, e_1+e_2+ e_3>\text{.}\) Ya que
\begin{equation*}
e_1\neq ae_3 + b(e_1+e_2+e_3) \text{ y } e_2\neq ae_3 + b(e_1+e_2+e_3),\ a,b\in \mathbb{K}.
\end{equation*}
Del mismo modo \(e_1,e_1+e_2+ e_3\not \in \lt e_2,e_3>\text{.}\) Ya que
\begin{equation*}
e_1\neq ae_2 + be_3 \text{ y } e_1+e_2+e_3\neq ae_2 + be_3,\ a,b\in \mathbb{K}.
\end{equation*}
Ejemplo 2.6.16
Demuestre que todo plano proyectivo tiene al menos 7 rectas.
Por axioma tres, sabemos que existen cuatro puntos que denotaremos por \(A, \ B, \ C\) y \(D \text{,}\) además por cada par de punto existe un recta que no contiene a los otros
\(l_{AB} \cap l_{CD}=\{ E \}\text{,}\) entonces \(E \ \mathcal{I} \ l_{AB}\) y \(E \ \mathcal{I} \ l_{CD}\)
\(l_{AC} \cap l_{BD}=\{ F \}\text{,}\) entonces \(F \ \mathcal{I} \ l_{AC}\) y \(F \ \mathcal{I} \ l_{BD}\)
\(l_{AD} \cap l_{BC}=\{ G \}\text{,}\) entonces \(G \ \mathcal{I} \ l_{AD}\) y \(G \ \mathcal{I} \ l_{BC}\)
Note que, si \(E=F, \ E \ \mathcal{I} \ l_{AB}; \ E \ \mathcal{I} \ l_{AC};\) lo que \(l_{AE}=l_{AB}=l_{AC}\text{;}\) lo que significa que tres puntos son colineales, lo cual no es posible, luego existe siete puntos. a las anterior seis recta, existe \(l_{EF}\) que es distinta a las anteriores.
Ejemplo 2.6.17
Demostrar que en un plano proyectivo todas las rectas tiene la misma cantidad de puntos que inciden en ella.
Dada las rectas \(l, k\) distintas y sea \(P\) un punto que no inciden en ninguna de ellas, la existencia del cuadrángulo, garantiza la existencia del punto \(P\text{.}\)
Dado \(Q\mathcal{I} l\text{,}\) luego existe única recta \(l_{PQ}\) y la intersección de \(l_{PQ}\) con \(k\) es un único punto. Inversamente dado \(R\) un punto que incide en \(k\text{,}\) existe la recta \(l_{PR}\) y con ella el punto intersección \(l_{PR}\cap l\text{.}\)
Teniendo presente la unicidad de la intersección y que dado dos puntos define una única recta, se tiene que una función es la inversa de la otra.
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
f \amp l \amp \longleftrightarrow \amp k \\
\amp Q \amp \dashrightarrow \amp l_{PQ}\cap k \\
\amp l_{PR}\cap k \amp \dashleftarrow \amp R
\end{array}
\end{equation*}
De lo anterior tenemos que \(\sharp (l) = \sharp (k)\text{.}\)