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Sección 5.1 Guía Plano Afín

  1. Sean \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimension dos, \(l_1,l_2 \in \mathcal{L}\text{,}\) con

    \begin{equation*} \begin{array}{ccc} l_1 \amp = \amp \left\langle \overrightarrow{v_1}\right\rangle + \overrightarrow{w_1} \\ l_2 \amp = \amp \left\langle \overrightarrow{v_2}\right\rangle + \overrightarrow{w_2} \end{array} \end{equation*}

    Demuestre que \(l_1 \parallel l_2 \text{, si y sólo si ,} \) \(\left\langle \overrightarrow{v_1} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{v_2}\right\rangle\)

  2. Sean \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimension dos, \(B=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\}\) base de \(V\) y las rectas dadas por

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} l_1 \amp = \amp \overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v_2}+ \left\langle \overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2} \right\rangle \\ l_2 \amp = \amp 2 \overrightarrow{v_1}+\left\langle \overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\right\rangle \end{array} \end{equation*}

    Calcule \(l_1 \cap l_2\text{.}\)

  3. Sean \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimension dos, \(B=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\}\) base de \(V\text{.}\)

    Si \(A=2\overrightarrow{v_1}-3\overrightarrow{v_2}\) y \(B=4 \overrightarrow{v_1}\text{.}\)

    Determine la ecuación cartesiana de la recta \(l_{AB}\text{.}\)

  4. Sean \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimension dos, \(B=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\}\) base de \(V\text{.}\)

    Si \(2\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\in m \) y \(m\parallel l\) y \(l= \overrightarrow{v_1}+\lt \overrightarrow{v_1} +3\overrightarrow{v_2}>\text{.}\)

    Determine la ecuación cartesiana de la recta \(m\text{.}\)

  5. Sean \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimension dos, \(B=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\}\) base de \(V\text{.}\)

    Si \(A=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}, C=\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}\) y \(D=\overrightarrow{v_1}\text{.}\)

    Determine la ecuación cartesiana de la recta \(m\) respecto a la base \(B\text{,}\) tal que \(m\parallel l_{AC}\) y \(D\mathcal{I}m\text{.}\)

  6. Sea \(V\) un espacio vectorial de dimension dos sobre \(\mathbb{K}\text{,}\) \(B=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\}\) base de \(V\text{.}\)

    Sea \(l\) recta de ecuación \(y=2x+1\) respecto a la base \(B\text{,}\) \(t=2\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\left\langle \overrightarrow{v_2}+5\overrightarrow{v_1} \right\rangle\text{.}\)

    Determine \(l \cap t\text{.}\)

  7. Sea \(V\) un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial de dimension 2, \(B=\{\overrightarrow{e_1} ,\overrightarrow{e_2} \}\) base de \(V\text{.}\)

    Sea \(A= \overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}\text{,}\) \(B=\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}\text{,}\) \(C= \overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}\text{,}\) \(D=3\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}\text{.}\)

    Calcular \(l_{AB}\cap l_{CD}\text{.}\)

  8. Sean \(A=(-1,3), B=(2,-7), C=(2,-1)\) y \(D=(4,5)\) puntos en el plano de Moulton,.

    Calcular \(l_{AB}\cap l_{CD} \text{.}\)

  9. Sean \(A=(-3,5), B=(4,-2), C=(1,1)\) y \(D=(0,2)\) puntos en el plano de Moulton,.

    Calcular \(l_{AB}\cap l_{CD} \text{.}\)

  10. Sean \(A=(-3,5),B=(-2,2),C=(-1,1)\) y \(D=(0,2)\) puntos en el plano de Moulton.

    Calcular:

    1. \(l_{AB}\cap l_{CD}\text{.}\)

    2. Determinar un punto \(E\) tal que \(l_{AB}\parallel l_{CE}\text{.}\)

  11. Sean \(A=(1,2),B=(-2,3)\) y \(C=(1,1)\) puntos en el plano de Moulton.

    Determinar la ecuación de la recta \(m\) en el plano de Moulton que cumple con \(m \parallel l_{AB}\) y \(c\mathcal{I}m\text{.}\)

  12. Sean \(A=(1,2),B=(-1,-1)\) y \(C=(2,5)\) puntos en el plano de Moulton.

    Determinar la ecuación de la recta \(m\) en el plano de Moulton que cumple con \(m \parallel l_{AB}\) y \(c\mathcal{I}m\text{.}\)

  13. Sean \(A=(1,1)\) y \(B=(3,0)\) puntos en el plano \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

    Determine

    1. La ecuación de la recta en el plano afín vectorial real que une \(A\) con \(B\text{.}\)

    2. La ecuación de la recta en el plano afín de Moulton que une \(A\) con \(B\text{.}\)

  14. Sean \(A=(1,2)\) y \(B=(3,5)\) puntos en el plano \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

    Determine

    1. La ecuación de la recta en el plano afín vectorial real que une \(A\) con \(B\text{.}\)

    2. La ecuación de la recta en el plano afín de Moulton que une \(A\) con \(B\text{.}\)

  15. Sea \(T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\text{,}\) tal que \(T(x,y)=(2x-y+1,x+y)\text{.}\)

    Sea \(l=\lt (1,1) \gt +(2,3)\) en el plano afín vectorial. Calcule \(T(l)\text{.}\)

  16. Dada la recta de ecuación \(l:\left\langle(2,3)\right\rangle+(0,1)\text{,}\) en el plano vectorial real.

    Encuentre la ecuación de \(T(l)\text{,}\) donde

    \begin{equation*} \begin{array}{crcl} T: \amp \mathbb{R}^2 \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}^2 \\ \amp (x,y) \amp \rightsquigarrow \amp (4x-2y+1,3x+2y-1) \end{array} \end{equation*}

  17. Sea

    \begin{equation*} \begin{array}{crcl} T: \amp \mathbb{R}^2 \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}^2 \\ \amp (x,y) \amp \rightsquigarrow \amp (x+2y+1,3x-y+4) \end{array} \end{equation*}

    Demuestre que \(T\) es una colineación en el plano afín vectorial real.

  18. Sea \(T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\text{,}\) tal que \(T(x,y)=(2x+y+1,x-y+6)\text{.}\)

    Demostrar que \(T\) es una colineación del plano afín vectorial \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

  19. Sea \(T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\text{,}\) tal que \(T(x,y)=(x+2,y+2)\text{.}\)

    Demuestre que \(T\) no es una colineación en el plano de Moulton.

  20. Sean \(A=(1,1),B=(-2,4)\) y \(C=(6,5)\) puntos en el plano de Moulton.

    1. Determinar la ecuación de la recta \(m\) tal que \(m \parallel l_{AB}\) y \(c\mathcal{I}m\text{.}\)

    2. Determine el orden de \(D=\{ \overrightarrow{v}\in \mathbb{R}^2 \ | \ t_{\overrightarrow{v}}(l_{AB})= m\}\text{,}\) donde \(t_{\overrightarrow{v}}\) es la traslación.

  21. Sea \(T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\text{,}\) tal que \(T(x,y)=(2x+1,2y+5)\text{.}\)

    Determinar los puntos y rectas fijas \(f\text{.}\)

  22. Sea \(f\) una dilatación en el plano vectorial real tal que \(f(0,0)=(1,0)\text{,}\) \(f(0,4)=(1,3)\text{.}\)

    Determine \(f(x,y)\)

  23. Sea \(T\) traslación en el plano vectorial real tal que \(T(3,1)=(1,2)\text{.}\)

    Determine las trazas de \(T\text{.}\)

  24. Sea \(\sigma \) una homotecia en el plano vectorial real, tal que \(\sigma\) tiene razón tres y \(\sigma(2,1)=(1,2)\text{.}\)

    Determine las trazas de \(\sigma\)

  25. Sea \(\sigma \) una homotecia del plano afín \(\mathbb{F}_5\times \mathbb{F}_5 \text{.}\) Si el centro de \(\sigma\) es \((1,2)\) y \(\sigma(2,1)=(3,-3) \text{.}\)

    Determinar \(\sigma(x,y)\text{.}\)

  26. Sea \(T\) una traslación del plano afín vectorial \(V=\mathbb{F}_{5}^{2}\) tal que \(T(3,5)=(-1,7)\text{.}\)

    Sea \(\sigma\) una homotecia de centro \((8,7)\) y razón \(2\)

    1. Determine \((T \circ \sigma)(x,y)\)

    2. Calcular \((T^{-1} \circ \sigma^{-1} \circ T)(x,y)\)

  27. Determine \(F \in D(\mathbb{R}^2) \text{ tal que } T \circ F=F \circ T\text{,}\) en donde:

    \begin{equation*} \begin{array}{crcl} T: \amp \mathbb{R}^2 \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}^2 \\ \amp (x,y) \amp \rightsquigarrow \amp (y,x)+(2,3) \end{array} \end{equation*}

  28. Sea \(\sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2)\) tal que el centro de \(\sigma \) es \((1,2)\) y \(\sigma(1,3)=(1,6)\text{.}\) Sea \(\tau\) traslación que cumple con \(\tau (1,0)=(0,1)\text{.}\)

    Calcular \(\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} (x,y)\)

  29. Sea \(\sigma :\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) homotecia de centro \((1,2)\) y razón \(3\text{.}\)

    Sea \(\tau :\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) traslación tal que \(\tau (0,0)=(1,1)\text{.}\)

    Calcular \((\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1}\circ \tau ^{-1} )(x,y)\text{.}\)

  30. Sea \(\tau :\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) traslación tal que \(\tau(1,1)=(2,3)\text{.}\) \(\sigma :\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) homotecia de razón \(3\) y \(\sigma (4,1)=(1,4)\text{.}\)

    Determinar las trazas de \((\tau \circ \sigma)\) en el plano afín vectorial.

  31. Sean \(\Pi=\mathbb{F}_{11}\times \mathbb{F}_{11}\) plano afín, \(f \in D(\Pi)\text{,}\) tal que \(f(6,9)=(3,3)\) y \(f(10,1)=(4,1)\)

    1. Determine el conjunto de trazas de \(f\)

    2. Se define \(R=\{l \in \mathcal{L} \ | \ l \text{ es traza de }f\}\text{.}\) Determine la cardinalidad de \(R\)

  32. Sea \(\sigma, \tau \in D(\mathbb{R}^2)\) tal que \(\tau(1,3)=(2,2), \sigma(-2,0)=(-2,0)\) y \(\sigma(1,-1)=(3,1)\text{.}\)

    Determine:

    1. \((\tau \circ \sigma^{-1} \circ \tau^{-1})(x,y)\)

    2. Las trazas de \((\tau \circ \sigma^{-1} \circ \tau^{-1})\)

  33. Sean \(\mathbb{K}\) cuerpo y \(\Pi\) el plano afín vectorial, \(f\) la homotecia de centro \(\overrightarrow{v}\) y razón \(\alpha\) \text{ y } \(t\) traslación \(t(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{u}\text{.}\)

    Calcule \((f \circ t \circ f^{-1} \circ t^{-1})(\overrightarrow{w})\)

  34. Sea \(\Pi=\mathbb{R}^2\text{,}\) \(\sigma,\tau \in D(\mathbb{R}^2)\text{,}\) tal que \(\sigma\) es homotecia de razón \(\alpha\) y \(\sigma(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{w}\) y \(\tau\) traslación tal que \(\tau(\overrightarrow{w})=\overrightarrow{v}\text{.}\)

    Determine las rectas fijas y puntos fijos de \(\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} \circ \tau^{-1}\)

  35. Sea \(\Pi\) el plano afín, \(g\) traslación de \(\Pi\) y \(f\) colineación de \(\Pi\text{.}\)

    1. Demuestre que \(f^{-1} \circ g \circ f\) es una traslación de \(\Pi\)

    2. Si \([l]\) es la dirección de \(g\text{.}\) Determine la dirección de traslación \(f^{-1} \circ g \circ f\)

  36. Sea \(\mathbb{F}_q\) cuerpo finito de \(q\) elementos, \(\Pi=\mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q\) el plano afín vectorial, \(l\) una recta en \(\Pi\text{.}\) Si \(H=\{ f \in D(\Pi) \ | \ f(l)=l \}\text{.}\)

    Calcule el orden de \(H\)

  37. Sea \(\mathbb{F}_q\) cuerpo finito de \(q\) elementos, \(\Pi=\mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q\) el plano afín vectorial, \(l_1,l_2\) rectas de \(\Pi\text{.}\)

    Si \(H=\{ f \in D(\Pi) \ | \ l_2, l_1 \text{ son traza de }f \}\text{.}\)

    Calcule el orden de \(H\)

  38. Sea \(\Pi=\mathbb{F}_{11}\times \mathbb{F}_{11}\) plano afín vectorial y \(P \in \mathcal{P},l \in \mathcal{L}\text{.}\)

    Si \(H=\{f \in D(\mathbb{F}_{11}^2) \ | \ f(P)=P \wedge f(l)=l \}\text{.}\)

    Calcule el orden de \(H\)

  39. Sea \(\Pi=\mathbb{F}_{31}\times \mathbb{F}_{31}\) espacio afín vectorial. \(\sigma \in \mathcal{D}(\Pi)\) una homotecia de razón \(2\text{.}\) y centro \((1,1)\)

    \begin{equation*} H=\{f \in D(\Pi) \ | \ f\circ \sigma = \sigma \circ f \}. \end{equation*}

    Calcule el orden de \(H\)

  40. Sea \(\Pi=\mathbb{F}_{q}\times \mathbb{F}_{q}\text{.}\) \(\sigma \in \mathcal{D}(\Pi)\) una homotecia de razón \(-1\text{.}\) y centro \((1,1)\text{.}\)

    \begin{equation*} H=\{f \in D(\Pi) \ | \ f\circ \sigma = \sigma \circ f \}. \end{equation*}

    Calcule el orden de \(H\)

  41. Sea \(\Pi=\mathbb{F}_{q}\times \mathbb{F}_{q}\text{.}\) \(A,B \in \mathcal{P}\) distintos

    \begin{equation*} X=\{f \in D(\Pi) \ | \ f(A) = B\}. \end{equation*}

    Calcule el orden de \(X\text{.}\)

  42. Sea \(t\) una traslación de \(\mathbb{F}_7\times \mathbb{F}_7 \) tal que \(t(1,2)=(1,0)\text{.}\)

    Determinar \(\sigma\) dilatación tal que \(\sigma \circ t \circ \sigma^{-1}=t\)

  43. Sea \(\Pi=\mathbb{F}_5\times \mathbb{F}_5 \text{,}\) y \(H_{(1,2)}\) el grupo de homotecias de centro \((1,2)\text{.}\)

    Describir la tabla de \(H_{(1,2)}\text{.}\)

  44. Sea \(\Pi=(\mathcal{P},\mathcal{L},\mathcal{I})\) plano afín. Si \(\sigma \in D(\Pi),t \in T(\Pi)\text{.}\)

    Demuestre que \((\sigma \circ t \circ \sigma^{-1})\) es una traslación.

  45. Sea \(\Pi=(\mathcal{P},\mathcal{L},\mathcal{I})\) plano afín. Si \(\sigma \in Aut(\Pi),t \in T(\Pi)\text{.}\)

    Demuestre que \((\sigma \circ t \circ \sigma^{-1})\) es una traslación.

  46. Sea \(\Pi\) plano afín, \(\sigma \in D(\Pi)\text{,}\) \(l\) recta de \(\Pi\text{,}\) \(\sigma(l)=l\text{,}\) \(P\in \mathcal{P}\text{,}\) \(P\not\mathcal{I} \mathcal{P}\) y \(\sigma(P)=P\text{.}\)

    Demostrar que \(\sigma=Id\text{.}\)

  47. Sea \(\Pi=(\mathcal{P},\mathcal{L}\mathcal{I})\) un plano afín de orden \(n\text{.}\) Sea \(l\in \mathcal{L}\text{,}\) recta fija.

    En \(\mathcal{P}\) se define la siguiente relación

    \begin{equation*} A \sim B \Leftrightarrow l_{AB} \parallel l \end{equation*}

    1. Demuestre que \(\sim \) es una relación de equivalencia.

    2. Determine el número de clases de equivalencia y cardinalidad de cada clase.

  48. Sea \(\mathbb{K}\) cuerpo y la relación \(\sim \) sobre \(\mathbb{K}^2\) plano afín vectorial dada por

    \begin{equation*} \overrightarrow{u}\sim \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \exists \sigma \in D(\mathbb{K}^2 ),\ \sigma (\overrightarrow{w})=\overrightarrow{w},\ \sigma (\overrightarrow{u} )=\overrightarrow{v} \end{equation*}

    1. Demostrar que \(\sim \) es una relación de equivalencia.

    2. Describir las clases de equivalencias.

  49. Sea \(\mathbb{K}\) cuerpo y la relación \(\sim \) sobre \(\mathbb{K}^2\) plano afín vectorial dada por

    \begin{equation*} \overrightarrow{u}\sim \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \exists w\in \mathbb{K}^2 ,\ t_{\overrightarrow{w}} (\overrightarrow{u} )=\overrightarrow{v} \end{equation*}

    1. Demostrar que \(\sim \) es una relación de equivalencia.

    2. Describir las clases de equivalencias.

  50. Sea \(\mathcal{P}\) un conjunto de puntos con cardinal \(n^2\text{,}\) con \(n>1\) y \(\mathcal{L}\) una colección de subconjuntos de \(\mathcal{P}\) tales que

    1. Cada elemento de \(\mathcal{L}\) contiene \(n\) puntos

    2. Si \(P, Q\in \mathcal{P}\) distintos entonces existe única \(l \in \mathcal{L}\) tal que \(P,Q, \in l\)

    Demostrar que \((\mathcal{P},\mathcal{L},\in )\) es un plano afín

  51. Sea \(\Pi\) un plano afín. Demuestre que \(\Pi\) contiene al menos 3 hace de paralelas

  52. \(\bigstar\) Sea \(\Pi= \mathbb{F}_q^2\) el plano afín vectorial, \(P\) un punto, \(H_P\) el grupo de las homotecias de centro \(P\text{.}\)

    \begin{equation*} \overrightarrow{u}\sim \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \exists \sigma \in H_P,\ \sigma(\overrightarrow{u} )=\overrightarrow{v} \end{equation*}

    Calcule el número de clases y la cardinalidad de cada clases.

  53. \(\bigstar\) Sea \(\Pi = \mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5\) plano afín vectorial. Calcular \(|Aut(\Pi)|\text{.}\)

  54. \(\bigstar\) Sea \(\Pi = \mathbb{F}_5\times \mathbb{F}_5\) plano afín vectorial. Calcular \(|D(\Pi)|\text{.}\)

  55. \(\bigstar\) Sea \(A,B,C,D\) puntos distintos del plano afín vectorial real tal que \(l_{AB} \parallel l_{CD}\text{.}\)

    1. Demostrar que existe una única \(f\) dilatación tal que \(f(A)=C\) y \(f(B)=D\text{.}\)

    2. Determine cuando \(f\) es homotecia y cuando \(f\) es traslación.

  56. \(\bigstar\) Sea \(\Pi\) un plano afín \(f\in Aut(\Pi)\) , \(g\in D(\Pi)\text{.}\)

    Demostrar que \(f\circ g \circ f^{-1} \in D(\Pi)\text{.}\)

  57. \(\bigstar\) Determinar todas las transformaciones lineales invertible de \(\mathbb{R}^2\text{,}\) las cuales son colineación del plano de Moulton.