Geometría Afín

Sean \(\Pi\) plano afín, y \(A,B \in \mathcal{P}\) tales que \(f(A)=A', f(B)=B'\text{,}\) con \(f\) dilatación.

Sea \(X \in \mathcal{P}\) de modo que \(X \neq A \wedge X \neq B\)

1. \(X \ {\not\mathcal{I}} l_{AB}\)

   Primero unimos \(X\) con \(B\) a través de la recta \(l_{BX}\text{,}\) por \(B'\) trazamos \(m_1\) tal que \(m_1 \parallel l_{BX}\text{.}\)

   Después unimos \(X\) con \(A\) a través de la recta \(l_{AX}\text{,}\) por \(A'\) trazamos \(m_2\) tal que \(m_2 \parallel l_{AX}\text{.}\)

   De este modo tenemos que \(\{f(X)\}=m_{1} \cap m_{2}\)

2. \(X \mathcal{I} l_{AB}\)

   

   Por el caso anterior, sabemos determinar la imagen de un punto que no es incidente a una recta \(l_{AB}\text{,}\) donde se conoce la imagen de \(A\) y \(B\text{.}\)

   Sea \(Z\in \mathcal{P},\ Z \ {\not\mathcal{I}} l_{AB}\text{,}\) como sabemos la imagen de \(A\) y \(B\text{,}\) luego sabemos la imagen de \(Z\text{,}\) es decir, \(f(Z)=Z'\text{.}\) Pero \(X \ {\not\mathcal{I}} \ l_{AZ}\text{,}\) por lo tanto \(f(X)\) se puede determinar.

Sea \(f\) una dilatación, luego \(f \in \text{Aut}(\Pi)\) y \(f(l)=l\text{.}\) Si \(P\in \mathcal{P}\) tal que \(P \ \mathcal{I} \ l\) luego \(f(P) \ \mathcal{I} \ f(l)\text{,}\) de lo cual \(f(P) \ \mathcal{I} \ l\text{.}\)

Veamos el recíproco.

Si \(l\) es traza de \(f\text{,}\) luego \((\exists P \in \mathcal{P})(P \ \mathcal{I} \ l \Rightarrow f(P) \ \mathcal{I}\ l)\)

Sea \(Q \ \mathcal{I}\ l\text{,}\) con \(Q\neq P\text{,}\) luego tenemos que \(f(Q) \ \mathcal{I}\ f(l) \text{ y } f(P) \ \mathcal{I} \ f(l) \) es decir \(f(P) \in l \cap f(l)\)

Como \(f\) es dilatación, entonces \(f(l) \parallel l \text{ } \wedge \text{ } l \cap f(l) \neq \varnothing\) en consecuencia \(f(l)=l\text{,}\) lo cual implica que \(l\) es traza de \(f\text{.}\)

Sea \(Q\in \mathcal{P}\) y \(l_{PQ}\in \mathcal{L}\text{,}\) luego tenemos \(f(l_{PQ}) \parallel l_{PQ}\text{,}\) pero \(P\mathcal{I}l_{PQ} \) y \(P\mathcal{I}f(l_{PQ})\text{,}\) luego las rectas son iguales.

Sea \(P\in \mathcal{P}\text{,}\) luego la recta \(l_{Pf(P)}\) es una traza de \(f\text{,}\) es decir existen traza de \(f\text{.}\)

Sea \(l\) otra traza de \(f\text{,}\) luego ambas están fijas por \(f\) y si tiene un punto en común este seria un punto fijo lo que es una contradicción.

Sea \(A \in \mathcal{P}\) tal que \(f(A)=A'\text{,}\) como \(A,A'\) son distintos existe \(l_{AA'}\) y \(X \in \mathcal{P}\text{,}\) tal que \(X {\not\mathcal{I}} l_{AA'}\text{.}\)

Definimos:

\(l_2\) paralela a \(l_{AA'}\) y \(X \ \mathcal{I} \ l_2\) es una traza de \(f\) luego esta fija por \(f\text{.}\)

\(l_1\) paralela a \(l_{AX}\) y \(A' \ \mathcal{I} \ l_1\text{,}\) note que \(f(l_{AX})= l_1\) es paralela y \(A'\) incide en ella.

Por lo tanto, \(l_1, l_2\) no son paralela, luego \(l_1 \cap l_2 = \{ f(X) \}\text{.}\)

De este modo tenemos que \(f(A)=A'\) y \(f(X)= X'\text{,}\) dos imagen, por propiedad de dilatación, define una única dilatación.

Es un subconjunto no vacío y la inversa es una traslación, ahora veamos la compuesta de dos traslaciones es una traslación o una homotecia, si tenemos que es una homotecia tendría un punto fijo despejando obtenemos que dos traslaciones tiene un punto en común luego son iguales y por ende es una traslación.

Es un subconjunto no vacío y la inversa es una homotecia, ya que deja fija un punto, y la compuesta de dos homotecias de centro \(P\text{,}\) el punto \(P\) esta fijo, luego es una homotecia de cento \(P\text{.}\)