Teorema 4.6.1
Si \(f\) es una forma lineal no nula sobre el espacio afín \((V,X)\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
\text{ker } f=\{ \overrightarrow{v} \in V \ | \ f(\overrightarrow{v})=0 \}
\end{equation*}
es un hiperplano.
Sección 4.6 Formas Lineales
¶Sea \((V,X,\cdot)\) un espacio afín y \(f:V\rightarrow \mathbb{K}\text{,}\) entonces \(f\) es una forma lineal (\(f\) transformación lineal) si y sólo si
\begin{equation*}
\left(\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}\right)\left(\forall \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\in V\right)\left(f(\alpha \overrightarrow{v_1}+\beta \overrightarrow{v_2})= \alpha \cdot f(\overrightarrow{v_1})+\beta \cdot f (\overrightarrow{v_2})\right)
\end{equation*}
Subsección Ejercicios
Determine si las siguientes funciones son formas lineales
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
f: \amp \mathbb{R}^4 \amp \rightarrow \amp \mathbb{R} \\
\amp (x,y,z,w) \amp \rightsquigarrow \amp 2x+y-w
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
f: \amp \mathbb{R}^3 \amp \rightarrow \amp \mathbb{R} \\
\amp (x,y,z) \amp \rightsquigarrow \amp x
\end{array}
\end{equation*}
Demostración
Como \(f\) es no nula, entonces existe \(\alpha \in \mathbb{K}^*\) y \(\overrightarrow{v} \in V\) tales que \(f(\overrightarrow{v})=\alpha\text{.}\)
Despejando y operando obtenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rclr}
f(\overrightarrow{v}) \amp = \amp \alpha \amp / \cdot \frac{1}{\alpha}\text{ , } \alpha \neq 0\\
\frac{1}{\alpha}f(\overrightarrow{v}) \amp = \amp 1 \amp\\
f\left(\frac{1}{\alpha} \cdot \overrightarrow{v} \right) \amp = \amp 1 \amp / \cdot \beta \text{ , } \beta \in \mathbb{K} \\
f\left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \overrightarrow{v} \right) \amp = \amp \beta
\end{array}
\end{equation*}
todo elemento tiene preimagen, es decir
\(f\) es epiyectivaPor teorema de algebra lineal, tenemos la siguiente igualdad
\begin{equation*}
\text{dim } V= \text{dim } (\text{ker } f)+ \text{dim }(\text{Im }f)
\end{equation*}
Supongamos \(\text{dim } V=n\) y como \(f\) es epiyectiva, entonces \(\text{dim }(\text{Im }f)=1\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
n=\text{dim }(\text{ker }f)+1, \text{ luego } \text{dim }(\text{ker }f)=n-1
\end{equation*}
\begin{equation*}
\text{ker }f \text{ es un hiperplano.}
\end{equation*}
Teorema 4.6.2
Sea \(\mathcal{U}\leq V\) y \(\mathcal{U}\) hiperplano, entonces existe una forma lineal \(f\text{,}\) tal que \(\text{ker }f =\mathcal{U}\text{.}\)
Demostración
Si \(\text{dim }V=n\text{,}\) entonces \(\text{dim } \mathcal{U}=n-1\text{.}\)
Sea \(B=\{ \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\ldots,\overrightarrow{v_{n-1}}\}\) base de \(\mathcal{U}\)
Sea \(\overrightarrow{w}\in V \text{ tal que } \overrightarrow{w}\not \in \mathcal{U}\text{,}\) entonces \(V=\mathcal{U} + \left\langle \overrightarrow{w}\right \rangle\)
Sea \(\overrightarrow{v} \in V\text{,}\) entonces existen únicos \(\overrightarrow{u}\in \mathcal{U}\) y \(\alpha \in \mathbb{K}\) tales que
\begin{equation*}
\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+\alpha \overrightarrow{w}
\end{equation*}
Por lo anterior, se obtiene la función
\begin{equation*}
\begin{array}{crcl}
f: \amp V \amp \rightarrow \amp\mathbb{K} \\
\amp \overrightarrow{v} \amp \rightsquigarrow \amp f(\overrightarrow{v})=f(\overrightarrow{u}+\alpha \overrightarrow{w})=\alpha
\end{array}
\end{equation*}
que claramente es una forma lineal y \(\text{ker }f = \mathcal{U}\text{.}\)
Observación 4.6.3
El teorema anterior, nos permite determinar la ecuación cartesiana de un hiperplano vectorial.
Sea \(B'=\{\overrightarrow{w_1},\overrightarrow{w_2},\ldots, \overrightarrow{w_{n}} \}\) otra base de \(V\) y con las notaciones anteriores, si \(\overrightarrow{v}\in \text{ker }f \) entonces
\begin{equation*}
\overrightarrow{v}=x_1 \overrightarrow{w_1}+x_2 \overrightarrow{w_2}+\cdots +x_n \overrightarrow{w_n}
\end{equation*}
luego
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
f(\overrightarrow{v}) \amp = \amp x_1 \cdot f(\overrightarrow{w_1})+x_2 \cdot f(\overrightarrow{w_2})+\cdots+x_n \cdot f(\overrightarrow{w_n}) \\
\amp = \amp \alpha_1 \cdot x_1+\alpha_2 \cdot x_2+ \cdots +\alpha_n \cdot x_n \\
0 \amp = \amp \alpha_1 \cdot x_1+\alpha_2 \cdot x_2+ \cdots +\alpha_n \cdot x_n
\end{array}
\end{equation*}
esta última, es la forma general de la ecuación cartesiana de un hiperplano vectorial con respecto a la base \(B'\text{,}\) es decir,
\begin{equation*}
\alpha_1 \cdot x_1+\alpha_2 \cdot x_2+ \cdots +\alpha_n \cdot x_n=0.
\end{equation*}