Sección 3.6 Problemas Misceláneos
¶En \(\Pi=\mathbb{Z}_{13}^{2}\text{,}\) plano euclidiano con \(f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1 x_2+2y_1 y_2\text{.}\)
Sean \(A=(5,1)\text{,}\) \(l\) la recta que une los puntos \(B=(3,2)\) y \(C=(1,4)\text{.}\)
Determine la ecuación de la recta \(m\text{,}\) tal que \(A \mathcal{I} m\) y \(m \perp l_{BC}\)
La Recta \(l: \lt (2,-2 )\gt + (3,2)\text{,}\) la recta ortogonal
Luego una solución es \((a,b)=(2,1)\)
Por ello
Ejemplo 3.6.2
En \(\Pi=\mathbb{Z}_{11}^{2}\text{,}\) plano euclidiano con \(f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1 x_2+5y_1 y_2\) y el punto \(A=(5,1)\text{.}\)
Determine la simetría puntual \(H_A(x,y)\text{.}\)
(a) Consideremos la recta \(a: \lt (1,0)\gt+ (5,1)\) y \(b:\lt (0,1)\gt+ (5,1)\text{,}\) rectas perpendiculares y pasan por \(A\)
(b) Dada la recta \(a: \lt (5,1)\gt\text{,}\) tenemos que \(f((5,1),(c,d))=5c+5d=0\text{,}\) luego \(b: \lt (1,-1)\gt+ (5,1)\text{.}\)
Veamos las Simetrías
Luego tenemos que
Ejemplo 3.6.3
En el plano euclidiano \(\Pi=\mathbb{Z}_{13}^{2}\text{,}\) donde \(f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1 x_2+2y_1 y_2\text{.}\)
Sean \(A=(1,2)\text{,}\) \(B=(3,1)\text{,}\) \(C=(1,-1)\) puntos y la recta \(l: 3x+2y=1\text{.}\)
Determine la ecuación cartesiana de la recta \(m\) que pasa por \(A\) y \(B\text{.}\)
Determine la ecuación vectorial de la recta \(k\) que pasa por \(C\) y es ortogonal a \(l\text{.}\)
Calcular \(R_k\circ R_l (x,y)\text{.}\)
(a) La pendiente de la recta que pasa por \(A,B\) es \(m= \frac{2-1}{1-3}=\frac{1}{-2}= 6\text{.}\)
(b) La recta ortogonal a \(l: \lt (-2,3)\gt+(1,-1) \) son paralela a \(\lt (3,1)\gt\) y si pasa por \(C\) esta dada por \(k=\lt (3,1)\gt+(1,-1)\text{.}\)
(c) La simetría esta definida por
donde \(a:\lt v \gt +w \text{.}\)
Calcula cada uno por separado y componiendo
(c') Dada \(k: \lt v\gt +w\) y \(l: \lt u\gt + w\) tal que \(f(v,u)=0\text{,}\) entonces
Veamos \(k: \lt (3,1)\gt+(1,-1),\ l: \lt (-2,3)\gt+(1,-1)\) "solución particular mas homogénea"
Note que \(11^{-1}= 6\text{.}\)
Ejemplo 3.6.4
En el plano Euclidiana Real usual \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Sean \(A=(1,4)\text{,}\) \(B=(3,1)\text{,}\) \(C=(1,-1)\) puntos y la recta \(l: 2x+3y=1\)
Determine si la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\) es ortogonal a \(l\text{.}\)
Determine \(R_l(C)\text{.}\)
Determine la ecuación cartesiana de la recta \(b\text{,}\) tal que \(R_b(B)=C\text{.}\)
(a) La recta que pasa por \(A\) y \(B\text{,}\) tiene pendiente \(m= \frac{1-4}{3-1}= -\frac{3}{2}\) y la recta \(l\) tiene pendiente \(-\frac{2}{3}\text{,}\) luego no son perpendiculares.
(b) La ecuación vectorial de la recta \(l:\lt (3,-2)\gt+(-1,1)\text{.}\)
(c) El punto medio entre \(B,C\) es \((2,0)\text{,}\) y la pendiente de la recta que une \(B,C\) es \(m= \frac{1+1}{3-1}= 1\text{.}\)
De este modo la recta que buscamos es \(b: y=-x+2\text{.}\)
Ejemplo 3.6.5
Sean \(\Pi=(V,f)\) plano vectorial euclidiano, \(a\in \mathcal{L}\text{,}\) tal que \(R_a(v)=w\text{.}\)
Demostrar que el punto medio entre \(v\) y \(w\) es un punto fijo de la Simetría \(R_a\)
Sea \(a: \lt u \gt +z\in \mathcal{L}\text{,}\) además \(R_a(v)= w\) y \(v= R_a(w)\text{.}\)
Sumando tenemos que
Ejemplo 3.6.6
En el plano Métrico Elíptico \(\xi\text{.}\) Sean el punto \(A=\lt (2, 1 , 3)\gt\) y \(l: 2x-y+z=0\)
Determine los vertices y las ecuaciones de los lados del triángulo polar, de modo que \(l\) sea un lado y \(A\) incide en otro lado.
Ya que un ado la recta es \(l: 2x-y+z=0\text{,}\) tenemos que el polo es vertices \(\lt (2,-1,1)\gt\)
El segundo lado es \(l_2: x+y-z=0\) y su polo es \(\lt (1,1,-1)\gt\)
El tercer lado debe unir los polos
Luego el último vértice es \(\lt (0,1,1)\gt\text{.}\)
Los puntos son los polos de la recta correspondiente, luego es un triángulo polar.
y los lados son
Ejemplo 3.6.7
En el plano Elíptico \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sean \(P=\lt(-1,2,3)\gt\) y \(l:2x-4y-6z=0\text{.}\)
Determine los vertices y lados del triángulo polar que tiene como vértice al punto \(P\) y lado a la recta \(l\text{.}\)
El polo de \(l:2x-4y-6z=0\) es \(P=\lt (2,-4,-6)\gt\text{.}\)
Luego consideremos punto de la recta \(B=\lt (3,0,1)\gt\text{.}\)
De este modo tenemos que los lados son \(l:2x-4y-6z=0,\ a: x+5y-3z=0, \ b:3x+z=0\) y son rectas perpendiculares, ya que
Además, los vertices son:
Ejemplo 3.6.8
En el plano Elíptico \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sean \(A=\lt(1,1,1)\gt\) y \(l:x-2y-2z=0\text{.}\)
Determine el polo de la recta \(l\text{.}\)
Determine la ecuación de la recta \(k\) ortogonal a \(l\) y que pasa por \(A\text{.}\)
Determine los vertices y lados del triángulo polar que dos de sus lados son \(k\) y \(l\text{.}\)
(a) El polo de la recta \(l\) es \(\lt (1,-2,-2)\gt\text{.}\)
(b) La recta perpendicular a \(l\text{,}\) debe pasar por su polo \(\lt (1,-2,-2)\gt\text{.}\)
(c) El polo de la recta \(k\) es \(\lt (0,1,-1)\gt\text{.}\) Finalmente buscamos un recta que pase por ambos polos.
Luego el triángulo polar tiene los vertices
y los lados son
Ejemplo 3.6.9
En el plano Métrico Elíptico \(\xi\text{.}\) Sean los bipuntos \(A=[\pm(-4 , 2 , 3)]\) y \(B=[\pm(1 , -1 , 2)]\) vertices de un triángulo polar.
Determine el otro vértice y las ecuaciones de los tres lados del triángulo.
La recta que une los puntos es
El tercer punto debe ser \(C=[\pm(7 , 11 , 2)]\)
Los puntos son los polos de la recta correspondiente, luego es un triángulo polar.
y los lados son
Ejemplo 3.6.10
En el plano métrico elíptico \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_5^3)\text{,}\) sean los puntos
Determine si el punto \(R\) incide en las rectas \(l_{KL}\) y \(l_{PY}\text{.}\)
Evaluando
\(R \mathcal{I} l_{KL}\) si y sólo si \(2+3=5=0\) y \(R \mathcal{I} l_{PY}\) si y sólo si \(4+4-3=5=0\text{.}\)
Luego \(l_{KL}\cap l_{PY}=\{R\}\text{.}\)
Ejemplo 3.6.11
En el plano métrico elíptico \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_{11}^3)\text{,}\) sean los puntos
Determine \(l_{KL} \cap l_{RP}\text{.}\)
El punto de intersección se obtiene del despeje \(l_{KL}: x= 3y+3z\) y al reemplazarlo en \(l_{RP}\) y obtenemos \(6y+6z-10y+7z=0\text{,}\) simplificando tenemos \(-4y+2z=0\) de esto resulta que \(z=2y\text{,}\) \(x =9y\text{,}\) luego el punto esta dada por
Luego \(l_{KL}\cap l_{RP}=\{\lt (9,1,2)\gt \} \text{.}\)
Ejemplo 3.6.12
En el plano de Klein, sean la recta \(l:y=3/5\) y \(P=(\frac{1}{10},\frac{2}{5})\text{.}\)
Determine la recta \(m\) tal que \(P \mathcal{I} m \text{ y } m \perp l\)
Los extremos de la cuerda \(y=3/5\) en la circunferencia unitaria son \(( 4/5,3/5), \ (-4/5,3/5)\text{.}\) Luego las rectas perpendiculares o tangente a la circunferencia en los puntos extremos son
El punto de intersección de las tangenets es \((0,5/3)\text{,}\)
Luego tenemos \(m:\lt (\frac{1}{10},-\frac{19}{15}) \gt+ (0,\frac{5}{3}) \text{.}\) Y su forma cartesiana \(m: 38x+3y=5\text{.}\)
Ejemplo 3.6.13
En el semiplano de Poincare, \(l:|z-3|=4\text{.}\)
Determine \(R_l( 1+i)\) y \(R_l( w)\)
Para \(l:|z-3|=4\) tenemos que
Veamos el caso:
Ejemplo 3.6.14
En el semiplano de Poincare, \(k:|z+2|=3\) y \(l:|z-3|=4\)
Determine \(k \cap l\text{.}\)
Determine si \(k \perp l\text{.}\)
Calcular la forma binomial de \(R_k(1+2i)\text{.}\)
(a) Sea \(z=a+bi\text{,}\) luego \((a+2)^2+b^2=9\) y \((a-3)^2+b^2=16\)
Restando obtenemos que
de lo cual \(a=-\frac{1}{5}\text{,}\) evaluando tenemos que \(b= \frac{12}{5}\text{.}\)
De este modo tenemos que
(b) Veamos las pendiente, \(m_1= \frac{12/5}{-1/5+2}= \frac{4}{3}\) y \(m_2 = \frac{12/5}{-1/5-3}= -\frac{3}{4}\text{.}\)
b') la distancia entre los centros \(d(-2,0),(3,0))=5\) y \(3^2+4^2=5^2\text{,}\) luego son ortogonales.
(c) \(R_k(1+2i)= \frac{9}{1-2i+2}-2= \frac{1}{13}+\frac{18}{13}i\)
Ejemplo 3.6.15
En el semiplano de Poincare, \(k:|z+3|=8\) y \(l:|z-10|=12\)
Calcular la forma binomial de \((R_k\circ R_l)(4+6i)\text{.}\)
Ejemplo 3.6.16
En el semiplano de Poincare, dado los puntos \(A=2+3i\) y \(B= -6+i\text{.}\)
Calcular la forma binomial de \(R_l(\frac{1}{2}+i)\text{,}\) donde \(l= l_{AB}\text{.}\)
La recta no es vertical, luego es de la forma \((x-a)^2+y^2=r^2\text{.}\)
Considerando la correspondencia y reemplazando obtenemos
Igualado obtenemos
de este modo tenemos que \(r^2= (2+3/2)^2+9= \frac{85}{4} \text{.}\)
De este modo tenemos que \(l: |z+\frac{3}{2}|= \sqrt{\frac{85}{4} }.\)
Ejemplo 3.6.17
Sean \(\Pi\) plano métrico, \(a, b \in \mathcal{L}\) distintas.
Demostrar que
Consideremos que \(a \perp b\) si y sólo si \(R_a(b)=b\text{.}\)
Sean \(a, b \in \mathcal{L}\) y \(a \perp b\text{,}\) luego tenemos que \(R_a(b)=b\text{,}\) además \(R^{-1}_a=R_a\text{,}\) de este modo tenemos que
despejando obtenemos
Supongamos ahora que
despejando, y usando la propiedad tenemos
luego \(R_a(b)=b\text{,}\) de lo cual \(a\perp b\text{.}\)
Ejemplo 3.6.18
En \(\Pi\) plano métrico, sean \(a,b \in \mathcal{L}\) tal que \(a\perp b\text{.}\)
Demostrar que
Sea \(\{P\}=a \cap b\text{,}\) luego tenemos que \(b\) es la única recta ortogonal a \(a\) en \(P\text{.}\)
Además \(P \mathcal{I}a\) entonces \(R_{a}(P)=P\text{.}\)
Pero \(R_{a}(P) \mathcal{I} R_{a}(b)\) y \(R_{a}(b) \perp R_{a}(a)\text{,}\) de lo cual tenemos que:
Por unicidad de \(b\text{,}\) se tiene que \(R_{a}(b)=b\)