Definición 1.8.1
Sea V un espacio vectorial de dimension 2 sobre K. f:V→V es una transformación semi-lineal si y sólo si
Para todo →x,→y en V, f(→x+→y)=f(→x)+f(→y)
-
Existe σ∈Aut(K) tal que para todo →x en V, α∈K se tiene que
f(α→x)=σ(α)f(→x).
Sección 1.8 Colineaciones en un Plano Afín Vectorial
¶Recordemos que V un K espacio vectorial de dimension dos y el plano afín esta formado por P=V, L={ rectas afines } y la incidencia es la pertenencia.
El propósito de la sección es demostrar el teorema que dice que toda colineación en el plano afín vectorial es la composición de una traslación con un transformación semi-lineal
Subsección Ejercicios
Sea V=C×C y f:C2→C2 tal que f(¯x,¯y)=(3¯x,2¯y)
Demostrar que f es semi-lineal.
Subsección Ejercicios
Sea f:K2→K2 semi-lineal biyectiva.
Demostrar que f es una colineación en el plano afín vectorial
Subsección Ejercicios
Sean f:K2→K2 semi lineal biyectiva y g:K2→K2 transformación lineal biyectiva,
Demostrar que g∘f, f∘g son semi-lineal biyectiva.
Teorema 1.8.2
Sean K un cuerpo, {→a1,→a2} base de K2, α,β∈K∗ tales que l1=<→a2−→a1>+→a1 y l2=<β→a2−α→a1>+α→a1 con l1≠l2.
l1∥l2 si y sólo si α=β.
Demostración
Sea \(l_1\parallel l_2\) luego los vectores directores son linealmente dependiente
\begin{equation*}
\{\overrightarrow{a_2} -\overrightarrow{a_1}, \beta\overrightarrow{a_2} -\alpha\overrightarrow{a_1}\}
\end{equation*}
es decir existe \(\delta\) tal que
\begin{align*}
\delta (\overrightarrow{a_2} -\overrightarrow{a_1}) \amp=\amp \beta\overrightarrow{a_2} -\alpha\overrightarrow{a_1}\\
(\delta-\beta)\overrightarrow{a_2} +(\alpha-\delta)\overrightarrow{a_1}\amp=\amp 0
\end{align*}
solución única, así se tiene que \(\alpha=\beta =\delta\text{.}\)
En la otra dirección, supongamos que \(\alpha = \beta\text{,}\) \(l_1\not =l_2\) y \(l_1\cap l_2 \neq \phi\text{.}\)
Pero tenemos que
\begin{equation*}
l_1= \lt\overrightarrow{a_2} -\overrightarrow{a_1}\gt + \overrightarrow{a_1}\quad
l_2= \lt\alpha\overrightarrow{a_2} -\alpha\overrightarrow{a_1}\gt+ \alpha\overrightarrow{a_1}.
\end{equation*}
Ya que el escalar es no nulo, tenemos
\begin{equation*}
l_2= \lt\overrightarrow{a_2} -\overrightarrow{a_1}\gt+ \alpha\overrightarrow{a_1}.
\end{equation*}
luego los vectores directores son iguales. Por lo tanto \(l_1\parallel l_2\text{.}\)
Proposición 1.8.3
Sea K un cuerpo, {→a1,→a2} base de K2, y σ∈Aut(K2)
l1∥l2 si y sólo si σ(l1)∥σ(l2)
Demostración
Sean \(l_1, l_2\in \mathcal{L}\)
\begin{align*}
\sigma(l_1)\parallel \sigma(l_2) \amp\Leftrightarrow \amp \sigma(l_1) \cap \sigma(l_2) = \phi \vee \sigma(l_1)=\sigma(l_2) \\
\amp\Leftrightarrow \amp \sigma^{-1}( \sigma(l_1) \cap \sigma(l_2)) = \phi \vee l_1=l_2 \\
\amp\Leftrightarrow \amp l_1 \cap l_2 = \phi \vee l_1=l_2 \\
\amp\Leftrightarrow \amp l_1 \parallel l_2
\end{align*}
Corolario 1.8.4
Sea l∈L recta vectorial y σ∈Aut(Π) tal que σ(l)=l entonces
σ(l+→v)=l+σ(→v)
Demostración
Sea \(l \parallel l+\overrightarrow{v}\text{,}\) por teorema anterior tenemos que \(\sigma(l) \parallel \sigma(l+\overrightarrow{v})\text{,}\) es decir, \(l\parallel \sigma(l+\overrightarrow{v})\text{.}\)
Además \(\sigma(\overrightarrow{v}) \in \sigma(l+\overrightarrow{v})\text{,}\) es paralela y pasa por el punto, ya que la recta es única, se tiene
\begin{equation*}
\sigma(l+\overrightarrow{v})= l+\sigma(\overrightarrow{v})
\end{equation*}
Proposición 1.8.5
Sean K un cuerpo, μ∈Aut(Π) entonces existe tuna traslación, f una transformación lineal biyectiva en el plano y una base {→a1,→a2} de K2, tal que si δ=f−1∘t∘μ, \ δ(→0)=→0, δ(→a1)=→a1, δ(→a2)=→a2.
Demostración
Sea \(\mu \in Aut(V)\text{,}\) supongamos
\begin{equation*}
\mu(\overrightarrow{0})= \overrightarrow{x},
\end{equation*}
luego \(t_{-\overrightarrow{x}} (\mu(\overrightarrow{0}))=\overrightarrow{0}\text{.}\)
Sea \(\sigma=t_{-\overrightarrow{x}} \circ\mu\in Aut(V)\) y \(\{\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}\}\) base de \(\mathbb{K}^2\text{,}\) entonces \(\{\sigma(\overrightarrow{a_1}), \sigma(\overrightarrow{a_2})\}\) es una base de \(\mathbb{K}^2\text{.}\)
Ya que, si \(l_{\overrightarrow{0}, \sigma\overrightarrow{a_1}}\parallel l_{\overrightarrow{0}, \sigma\overrightarrow{a_2}} \) entonces \(l_{\overrightarrow{0}, \overrightarrow{a_1}} \parallel l_{\overrightarrow{0}, \overrightarrow{a_2}} \text{,}\) debido a que
\begin{equation*}
\lt\overrightarrow{a_1}\gt=\lt\sigma\overrightarrow{a_1}\gt\quad \lt\overrightarrow{a_2}\gt= \lt\sigma\overrightarrow{a_2}\gt.
\end{equation*}
Dadas las bases anteriores existe una única transformación lineal, luego una colineación, que envía una base en la otra base, es decir,
\begin{equation*}
f(\overrightarrow{a_1})=\sigma(\overrightarrow{a_1}) \ \quad
f(\overrightarrow{a_2})= \sigma(\overrightarrow{a_2})
\end{equation*}
De lo cual se obtiene
\begin{equation*}
\overrightarrow{a_1}=(f^{-1}\circ \sigma)(\overrightarrow{a_1}) \ \quad
\overrightarrow{a_2}=(f^{-1}\circ \sigma)(\overrightarrow{a_2})
\end{equation*}
Por lo tanto \(\delta =f^{-1} \circ t \circ \mu\) es una colineación que fija \(\overrightarrow{0},\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2} \text{.}\)
Proposición 1.8.6
Sean K un cuerpo, {→a1,→a2} base de K2 y g∈Aut(Π) tal que fija los puntos →0, →a1, →a2, entonces
g(α→a1+β→a2)=g(α→a1)+g(β→a2)
además
g(α→a1)=ηα→a1, g(α→a2)=ηα→a2.
Demostración
Sean \(\overrightarrow{0}\text{,}\) \(\overrightarrow{a_1}\text{,}\) \(\overrightarrow{a_2}\text{,}\) puntos fijos por \(g\text{,}\) luego tenemos
\begin{equation*}
g( \lt\overrightarrow{a_1}\gt)= \lt\overrightarrow{a_1}\gt \ \text{ y } \ g( \lt\overrightarrow{a_2}\gt>)=\lt\overrightarrow{a_2}\gt
\end{equation*}
ya que fija dos puntos de cada recta.
Consideremos las rectas
\begin{equation*}
l_1: \lt\overrightarrow{a_2}\gt+ \alpha \overrightarrow{a_1} \ \text{ y } l_2: \lt\overrightarrow{a_1}\gt + \beta \overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
las rectas \(l_1 \parallel \lt\overrightarrow{a_2}\gt \) y \(l_2 \parallel \lt\overrightarrow{a_1}\gt\) y tiene un punto en común \(\alpha\overrightarrow{a_1}+ \beta\overrightarrow{a_2}\text{.}\)
Por corolario anterior tenemos que
\begin{equation*}
g(l_1)= \lt\overrightarrow{a_2}\gt+ g(\alpha \overrightarrow{a_1}) \ \text{ y }\ g(l_2)= \lt\overrightarrow{a_1}\gt + g(\beta \overrightarrow{a_2})
\end{equation*}
además
\begin{equation*}
g(\alpha \overrightarrow{a_1})\in \lt\overrightarrow{a_1}\gt \ \text{ y }\ g(\beta \overrightarrow{a_2})\in \lt\overrightarrow{a_2}\gt
\end{equation*}
luego la imagen del punto intersección debe pertenecer a la intersección de las imágenes.
\begin{equation*}
g(\alpha\overrightarrow{a_1}+\beta\overrightarrow{a_2})= g(\alpha\overrightarrow{a_1})+ g(\beta\overrightarrow{a_2})
\end{equation*}
Sea \(l_4 : \lt\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}\gt+ \overrightarrow{a_1}\text{,}\) la recta contiene a los puntos \(\overrightarrow{a_1}\) y \(\overrightarrow{a_2}\text{,}\) luego la recta esta fija por \(g\text{.}\)
Consideremos la recta \(l: \lt\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}\gt + \alpha\overrightarrow{a_1}\) es paralela a \(l_4\text{.}\) luego se tiene que
\begin{equation*}
g(l)= \lt\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}\gt+ g(\alpha\overrightarrow{a_1}) = \lt\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}\gt+ \eta \overrightarrow{a_1}
\end{equation*}
Análogamente
\begin{equation*}
g(l)= \lt\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}\gt+ g(\alpha\overrightarrow{a_2}) = \lt\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}\gt + \xi \overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
de lo cual obtenemos que \(\eta = \xi\text{.}\)
Teorema 1.8.7
Sea K un cuerpo, Π el plano afín vectorial entonces toda colineación es la composición de una traslación con una transformación semilineal.
Demostración
Sea \(\mu\in Aut(\Pi)\text{,}\) por propiedad \ref{prop1.64} se tiene que existen una traslación, una transformación lineal biyectiva en el plano y una base \(\{\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}\}\) de \(\mathbb{K}^2\text{,}\) tal que si \(\delta =f^{-1} \circ t \circ \mu\text{,}\) \(\delta ( \overrightarrow{0})=\overrightarrow{0},\ \delta(\overrightarrow{a_1})=\overrightarrow{a_1},\ \delta (\overrightarrow{a_2})=\overrightarrow{a_2}\text{.}\)
Por la propiedad \ref{prop1.65} tenemos que
\begin{equation*}
\delta(\alpha\overrightarrow{a_1}+\beta\overrightarrow{a_2})= \delta(\alpha\overrightarrow{a_1})+
\delta(\beta\overrightarrow{a_2}) ,\
\delta(\alpha\overrightarrow{a_1})= \eta(\alpha)\overrightarrow{a_1},\
\delta(\beta\overrightarrow{a_2})>= \eta( \alpha) \overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
Definamos
\begin{equation*}
\eta: \mathbb{K} \rightarrow\mathbb{K} \text{ tal que } \eta(\alpha)\text{ cumple con } \delta(\alpha \overrightarrow{a_1})= \eta(\alpha) \overrightarrow{a_1}
\end{equation*}
note que \(\eta(1)=1\) y \(\eta (0)=0\text{.}\)
Es inyectiva, ya que \(\eta (\alpha) = \eta (\beta)\) entonces,
\begin{align*}
\eta (\alpha) \amp=\amp \eta (\beta) \\
\eta (\alpha)\overrightarrow{a_1} \amp=\amp \eta (\beta)\overrightarrow{a_1} \\
\delta (\alpha\overrightarrow{a_1}) \amp=\amp \delta (\beta\overrightarrow{a_1}) \\
\alpha\overrightarrow{a_1} \amp=\amp \beta\overrightarrow{a_1} \\
\alpha \amp=\amp \beta
\end{align*}
Epiyectiva, sabemos la restricción de \(\delta : \lt\overrightarrow{a_1}\gt\rightarrow \lt \overrightarrow{a_1} \gt\) es una biyección luego dado \(\beta \in \mathbb{K}\text{,}\) tenemos que \(\beta\overrightarrow{a_1} \in \lt\overrightarrow{a_1}\gt\text{,}\) luego existe \(\alpha \in \mathbb{K}\text{,}\) tal que \(\delta(\alpha\overrightarrow{a_1})=\beta\overrightarrow{a_1}\)
Para el producto, sea
\begin{equation*}
l_5:\lt\alpha\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}\gt-\beta\overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
luego tenemos
\begin{equation*}
\delta(l_5) = \lt\eta(\alpha)\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}\gt+\eta(-\beta)\overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
pero \(\beta\alpha\overrightarrow{a_1}\in l_5\) de lo cual tenemos \(\delta( \beta\alpha\overrightarrow{a_1}) \in \delta(l_5)\) de este modo tenemos que
\begin{equation*}
\eta(\beta\alpha) \overrightarrow{a_1}\in \lt\eta(\alpha)\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}\gt+\eta(-\beta)\overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
luego tenemos
\begin{equation*}
\eta(\beta\alpha) \overrightarrow{a_1}= -\eta(\alpha)\eta(-\beta)\overrightarrow{a_1}
\end{equation*}
por ello tenemos
\begin{equation*}
\eta(\beta\alpha) = -\eta(\alpha)\eta(-\beta)
\end{equation*}
Para \(\alpha=1=\beta\) tenemos que \(\eta (-1)=-1\text{,}\) además
\begin{equation*}
\eta(-\beta) = \eta(-\beta\cdot 1)= -\eta(1)\eta(\beta)=-\eta(\beta)
\end{equation*}
de lo cual
\begin{equation*}
\eta(\beta\alpha) = -\eta(\alpha)\eta(-\beta)= \eta(\alpha)\eta(\beta).
\end{equation*}
Finalmente para la aditiva \(\eta (\alpha + \beta)=\eta (\alpha )+\eta (\beta) \text{.}\)
\begin{equation*}
l_6:\lt\alpha\overrightarrow{a_1}-\overrightarrow{a_2}\gt+\beta\overrightarrow{a_1}+ \overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
luego tenemos
\begin{equation*}
\delta(l_6) = \lt\eta(\alpha)\overrightarrow{a_1}-\overrightarrow{a_2}\gt \eta(\beta)\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
pero \((\alpha+\beta)\overrightarrow{a_1}\in l_6\) de lo cual tenemos \(\delta( (\alpha+\beta)\overrightarrow{a_1}) \in \delta(l_6)\)
de este modo tenemos que
\begin{equation*}
\eta(\alpha+\beta) \overrightarrow{a_1}\in \lt\eta(\alpha)\overrightarrow{a_1}-\overrightarrow{a_2}\gt+\eta(\beta)\overrightarrow{a_1}+ \overrightarrow{a_2}
\end{equation*}
luego tenemos
\begin{equation*}
\eta(\alpha+\beta) \overrightarrow{a_1}= (\eta(\alpha)+\eta(\beta))\overrightarrow{a_1}
\end{equation*}
por ello tenemos
\begin{equation*}
\eta(\alpha+ \beta) =\eta(\beta)+ \eta(\alpha)
\end{equation*}
De lo cual tenemos que \(\delta \) es semi lineal, y por ello \(f\circ \delta\) es semilineal
\begin{equation*}
\mu = t_{\mu(0)} \circ (f\circ \delta)
\end{equation*}
Ejemplo 1.8.8
Sea \(\mathbb{C}^2\) el plano afín vectorial complejo, \(\tau\) identidad o conjugación compleja entonces
Para todo \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2 \in \mathbb{C}\) tal que \(a_1b_2-b_1a_2\neq 0\) se tiene que
\begin{equation*}
f: \mathbb{C}^2 \longrightarrow \mathbb{C}^2, f(z,w)= (a_1\tau(z)+b_1\tau(w)+c_1 ,a_2\tau(z)+b_2\tau(w)+c_2 )
\end{equation*}
es una colineación en plano afín vectorial complejo