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Sección 3.1 Introducción

Para enunciar los axiomas del plano métrico, consideremos \(\Pi=(\mathcal{P},\ \mathcal{L}, \ \mathcal{I}, \ \perp)\) donde \(\mathcal{P}\) es el conjunto de puntos, \(\mathcal{L}\) es el conjunto de rectas, \(\mathcal{I}\) una relación de incidencia entre puntos y rectas y \(\perp\) una relación ortogonalidad entre rectas.

\(a \perp b\)
\(a \not \perp b\)

Ahora veamos los tres tipos de axiomas (afines, perpendicular y colineación).

Subsección 3.1.1 Axiomas Afines

  1. Si\(A,B \in \mathcal{P}, A \neq B \) entonces \((\exists ! l \in \mathcal{L})( A \mathcal{I} l \wedge B \mathcal{I} l)\)

  2. Cada recta contiene al menos tres puntos.

  3. Existe un triángulo (tres puntos no colineales).

Subsección 3.1.2 Axiomas de Ortogonalidad

  1. Sean \(l,m \in \mathcal{L}\) tal que, si \(l \perp m \) entonces \(m \perp l \) (\(\perp\) es simétrico)

  2. Sean \(P \in \mathcal{P}, l \in \mathcal{L}\) entonces existe \(m \in \mathcal{L}\) tal que \(P \ \mathcal{I} \ m \text{ y } m \perp l\)

    Además si \(P \mathcal{I} l \text{,}\) entonces \(m\) es única.

  3. Si \(l \perp m, \text{ entonces } l \cap m \neq \varnothing .\)

Definición 3.1.1

Sean \(\Pi=(\mathcal{P},\mathcal{L},\mathcal{I},\perp)\) plano que cumple los axiomas afines y de ortogonalidad y \(f \) una función biyectiva, se dice que \(f\) es una colineación del plano \(\Pi\) si y sólo si

  1. \(f:\mathcal{L}\longrightarrow \mathcal{L}\) y \(f:\mathcal{P} \longrightarrow \mathcal{P}\) son biyectiva.

  2. Preserva incidencia:

    Para todo \(P,l\) se tiene que si \(P\mathcal{I}l\text{,}\) entonces \(f(P)\mathcal{I}f(l)\text{.}\)

  3. Preserva Ortogonalidad.

    Para todo \(l,m \) se tiene que si \(l \perp m\text{,}\) entonces \(f(l) \perp f(m)\text{.}\)

Notación
\begin{equation*} \text{Aut}(\Pi)=\{ f: \Pi \rightarrow \Pi \ | \ f \text{ es colineación}\} \end{equation*}

Subsección 3.1.3 Simetrías en el plano.

Definición 3.1.2

Sea \(R \in \text{Aut}(\Pi)\text{,}\) se dice que \(R\) es una simetría de eje \(l\) si y sólo si

  1. \(R \neq \text{Id}.\)

  2. \(R\) tiene orden dos.

  3. \(R\) fija a todos los puntos de una recta \(l\) (eje de simetría).

Notación

\(R_l\) es la simetría de eje \(l\text{.}\)

Visualización de una simetría: Sean \(P \in \mathcal{P}\) y \(a, b \in \mathcal{L}\)

  1. Si \(P \mathcal{I} a, \text{ entonces } R_{a}(P)=P\)

  2. Si \(P \not\mathcal{I} a\text{,}\) entonces existe \(b \perp a\text{,}\) tal que \(P \mathcal{I} b\text{,}\) pero \(\{Q\} = a\cap b\text{,}\) luego \(b\) es única recta tal que \(Q\mathcal{I}b\text{.}\)

    Pero \(R_a(Q)=Q\text{,}\) \(R_a(P) \mathcal{I}R_a(b)\text{,}\) \(Q \mathcal{I}R_a(b)\text{,}\) y como \(R_a(a) \perp R_a(b) \text{,}\) por ello \(R_{a}(b)=b\text{,}\) de lo cual tenemos que \(R_{a}(P)\mathcal{I}b\text{.}\)

Rotaciones:

Sea \(\sigma \in \text{Aut}(\Pi)\text{,}\) se dice que \(\sigma\) es una rotación si y sólo si existen \(R_{a}, \ R_{b} \in \text{Aut}(\Pi)\text{,}\) tal que \(a \cap b = \{ P \}\) y \(\sigma = R_{a} \circ R_{b}\text{.}\)

  1. \(P\) se denomina centro de rotación.

  2. El ángulo de rotación viene dado por \(\alpha=\sphericalangle APA''\) donde $\sigma(A)=A''

En plano real, el ángulo de una rotación siempre es doble del ángulo entre las rectas.

Traslaciones:

Sea \(t \in \text{Aut}(\Pi)\text{.}\) Diremos que \(t\) es traslación a lo largo de \(l\) si y sólo si existe \(a,b \in \mathcal{L}\) tales que \(t=R_{a} \circ R_{b}, a \cap b = \varnothing\) y \(a \perp l \wedge b \perp l\) (\(R_{a},R_{b}\) simetría).

Simetría Puntual

Sea \(H_P \in \text{Aut}(\Pi)\text{.}\) Diremos que \(H_P\) es una simetría Puntual si y sólo si existen \(a,b \in \mathcal{L}\) tales que \(H_{P}=R_{a} \circ R_{b}\text{,}\) \(a \cap b= \{P\} \) y \(a \perp b\)

Subsección 3.1.4 Axiomas de Colineaciones

  1. Simetrías

    1. Todas recta esta asociada a una única simetría.

      \begin{equation*} \begin{array}{ccc} \mathcal{L} \amp \rightarrow \amp \text{Aut}(\Pi) \\ a \amp \rightarrow \amp R_{a} \end{array} \end{equation*}

    2. El grupo de las colineaciones esta generado por el conjunto de las simetrías del plano afín.

  2. Rotación: Sea \(\sigma \) una rotación tal que \(\sigma(P)=P\) y \(\sigma (l)=m\text{,}\) entonces existe \(b \in \mathcal{L}\) tal que \(P \ \mathcal{I} \ b\) y \((\forall X \mathcal{I}l)(R_{b}(X)=\sigma(X))\)

    \begin{equation*} R_{b}|_{l} = \sigma |_{l} \end{equation*}

  3. Traslaciones: Sea \(t\) traslación a lo largo de la recta \(l\) del plano \(\Pi\text{.}\)

    Sean \(a,b\in \mathcal{L}\) tales que \(a\perp l\wedge b\perp l\) y \(t(a)=b\text{,}\) entonces existe \(c \in \mathcal{L}\) tal que \(c \perp l\) y \((\forall X \mathcal{I}a)(R_{c}(X)=t(X))\text{.}\)

    donde \(c\) se visualiza como la paralela media entre \(a\) y \(b\)