Geometría Afín

Subsección 3.5.1 Plano Hiperbólico

Un plano hiperbólico \(\Pi=(\mathcal{L},\ \mathcal{P},\ \mathcal{I}, \ \perp)\) es un plano métrico \(\Pi\) que satisface el axioma hiperbólico, es decir,

1. Los axiomas afines

2. Los axiomas de ortogonalidad

3. Los axiomas de colinealidad

4. Axioma hiperbólico: Si \(P\in \mathcal{P}\) y \(l \in \mathcal{L}\) tal que \(P \not\mathcal{I} l\) entonces por \(P\) pasan infinitas paralelas a la recta \(l\text{.}\)

Subsección 3.5.2 Modelo de Klein

Construyamos el modelo de Klein de un Plano Hiperbólico.

El conjunto de punto del plano, corresponde al interior del circulo unitario, es decir,

Las rectas del plano, corresponde a las cuerda en el circulo unitario, de otro modo son las recta del plano cartesiano intersecta con el circulo, cuando ella es no vacías, \(l,m \in \mathcal{L}\)

La incidencia corresponde a la pertenecía.

Relación de Paralelismo Dos rectas son paralelas, si no tiene puntos en común.

En la figura, las rectas paralelas a \(l\) que pase por \(P\text{,}\) son cualquier recta que pase por \(P\) y se encuentre situada entre las rectas \(l_1\) y \(l_2\text{.}\)

Relación de Ortogonalidad

Dos rectas \(l,m\in \mathcal{L}\) son ortogonales, si cumple una de las siguientes condiciones

1. Si \(l\) o \(m\) es un diámetro es la ortogonalidad Euclidiana:

   

2. Si ninguna de las cuerdas es un diámetro, trazamos las tangente \(a,b\) a la circunferencia, en los puntos de intersección de la prolongación de \(m\) con la circunferencia, y prolongamos la recta \(l\text{,}\) si la prolongación pasa por el punto de intersección de las tangente, decimos que las recta \(m\) es ortogonal a la recta \(l\text{.}\)

   

   De otro modo, si \(l\perp m\text{,}\) entonces existen tangentes a la circunferencia en los puntos de intersección con las cuerdas, de modo que las extensiones de ambas pasan por los puntos de intersección de las tangentes.

   

Observación: La ortogonalidad hiperbólica, no respecta paralelismo.

Subsección 3.5.3 Modelo de Poincare

Construyamos el modelo de Poincare, de un plano Hiperbólico.

El conjunto de puntos del plano, son los puntos del semiplano superior del plano cartesiano, es decir,

El conjunto de las rectas, esta formado por dos tipos:

1. Semirecta Paralelas al eje \(Y\text{;}\) \(l:x=x_{0}\)

   

2. Semicircunferencias \(l:(x-x_{0})^2+y^2=r^2\)

   

Por dos puntos pasa un única recta. Sean \((x_0,y_0),(x_1,y_1) \in \mathcal{P}\text{.}\)

1. Si \(x_0=x_1\text{,}\) las recta es \(l:x=x_0\)

   

2. Si \(x_0\neq x_1\) entonces, sea \(Q\) el punto medio del segmento que une los puntos \(A(x_0,y_0)\text{,}\) \(B(x_1,y_1)\text{,}\) tracemos la perpendicular, al segmento en \(Q\) y la intersección con el eje \(X\) es el centro de la semicircunferencia y el radio la distancia a uno de los puntos

   

Grafiquemos la semicircunferencia unitaria de centro el origen y punto correspondiente.

Notemos que existen posibles semicircunferencias y una semirecta paralela Por ello debe, tener ecuación

\begin{equation*} m:(x-x_{0})^2+y^2=r^2 \end{equation*}

y debe pasar por los puntos \((2,3), (t,0)\text{,}\) \(t\in \mathbb{R}-]-1,1[\) y \(t\neq 2\) reemplazando obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} (2-x_{0})^2+9 \amp = \amp r^2 \\ (t-x_{0})^2 \amp = \amp r^2 \\ \hline \end{array} \ \end{equation*}

sustituyendo obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (2-x_{0})^2+9 \amp = \amp (t-x_{0})^2 \\ 4-4x_{0}+x_{0}^2 +9 \amp = \amp t^2-2tx_{0}+x_{0}^2 \\ 13-t^2 \amp = \amp (4-2t)x_{0} \\ x_{0} \amp =\amp \frac{13-t^2}{4-2t} \amp \end{array} \end{equation*}

De donde se concluye que

\begin{equation*} m_t:\left(x-\frac{13-t^2}{4-2t}\right)^2+y^2=\left(\frac{t^2-4t+13}{4-2t}\right)^2, \quad t\in \mathbb{R}-]-1,1[ \end{equation*}

Además

\begin{equation*} m:x=2 \end{equation*}

Relación de Paralelismo: Dos rectas son paralelas, si no tiene puntos en común, los 6 posibles caso son:

Relación de Ortogonalidad:

El ángulo entre un semirecta y una semicircunferencia en el punto de intersección corresponde a la recta tangente a la semicircunferencia con la semirecta en el punto de intersección y para el caso de dos semi circunferencia, es el ángulo entre las tangente a las circunferencias en el punto de intersección.

Las rectas \(l\) y \(m\) son perpendiculares en los siguientes casos

1. Una semicircunferencia con la semirecta \(l \perp m\)

   

2. Dos semi circunferencia \(l \perp m\)

   

Grafiquemos la semicircunferencia unitaria de centro el origen y punto correspondiente.

La recta ortogonal, sólo puede ser del tipo semicircunferencia, para ello sea \(m:(x-x_{0})^2+y^2=r^2\text{,}\) la recta solicitada.

Luego existe \(Q=(a,b)\) tal que \(P \mathcal{I} m\text{,}\) \(Q \mathcal{I} m, \) \(Q \mathcal{I} l\text{,}\) reemplazando tenemos:

\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} (2-x_{0})^2+9 \amp = \amp r^2 \\ (a-x_{0})^2+b^2 \amp = \amp r^2 \\ a^2+b^2 \amp = \amp 1 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

Además deben ser perpendiculares, para ello calculemos la pendiente de la recta tangente en el punto \(Q\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{array}{rrcl} \frac{d(l)}{d(x)}: \amp 2x+2y\cdot y' \amp = \amp 0 \\ \amp y' \amp = \amp -\frac{x}{y} \\ \amp \amp \amp \\ \amp y'|_{(a,b)} \amp = \amp -\frac{a}{b} \end{array} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{array}{rrcl} \frac{d(m)}{d(x)}:\amp 2(x-x_{0})+2y\cdot y' \amp = \amp 0 \\ \amp y' \amp = \amp \frac{x_{0}-x}{y} \\ \amp \amp \amp \\ \amp y'|_{(a,b)} \amp = \amp \frac{x_{0}-a}{b} \end{array} \end{equation*}

luego tenemos,

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} -\frac{a}{b} \cdot \frac{x_{0}-a}{b} \amp = \amp -1 \\ -ax_{0}+a^2\amp = \amp -b^2 \\ a^2+b^2 \amp = \amp ax_{0} \\ 1 \amp = \amp ax_{0} \end{array} \end{equation*}

Volvamos al sistema, igualando \(r^2\) obtenemos la siguiente igualdad

\begin{equation*} \begin{array}{rcll} (2-x_{0})^2+9 \amp = \amp (a-x_{0})^2+b^2 \amp \\ 4-4x_{0}+x_{0}^2 +9 \amp = \amp a^2-2ax_{0}+x_{0}^2+b^2 \amp \\ 2ax_{0}-4x_{0} \amp = \amp -12 \amp / \div 2 \\ 2x_{0}-ax_{0} \amp = \amp 6 \amp \end{array} \end{equation*}

y reemplazando

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} 2x_{0}-ax_{0} \amp = \amp 6 \\ 2x_{0}-1 \amp = \amp 6 \\ 2x_{0} \amp = \amp 7 \\ x_{0} \amp = \amp \frac{7}{2} \end{array} \end{equation*}

Reemplazamos en la primera ecuación del sistema:

\begin{equation*} \begin{array}{ccc} \left (2-\frac{7}{2}\right )^2+9 \amp = \amp r^2 \\ \frac{9}{4}+9 \amp = \amp r^2 \\ \frac{45}{4} \amp = \amp r^2 \end{array} \end{equation*}

Finalmente tenemos la ecuación de la recta tangente a \(l\) es

\begin{equation*} m:\left(x-\frac{7}{2}\right)^2+y^2=\frac{45}{4} \end{equation*}

Subsección 3.5.4 Simetrías en el Semiplano de Poincare

Para determinar las simetrías de semiplano superior de Poincare, considere

y debemos tener presente que hay dos tipo de rectas en el Semiplano de Poincare

Caso 1: Simetría de eje la semirecta \(k:Re(z)=x_{0}\)

Recordemos la simetría respecto a la recta en el plano euclidiano

En nuestro caso tenemos

Caso 2: Simetría respecto a la semicircunferencia,

1. Veamos primero simetría respecto a la recta \(l:|z|=1\text{.}\)

   Ya que \(|z|=1\text{,}\) luego tenemos que \(z \cdot \overline{z} = 1\text{,}\) de lo cual tenemos

   \begin{equation*} z = \frac{1}{\overline{z}} \end{equation*}

   es decir, la función \(R(z) = \frac{1}{\overline{z}}\) deja fijo los punto de la circunferencia unitaria.

   1. \(R(z) = \frac{1}{z\overline{z}}z \text{,}\) luego si \(Im(z)>0\) entonces \(Im(R(z))>0 \text{,}\) ya que solo es amplificado por un número positivo.

   2. \(R(R(z))= z\text{,}\) por ello se tiene que \(R^2=I\text{.}\)

   3. Es una colineación.

      Si \(k_a : x=a\neq 0\text{,}\) entonces \(R(l)= \{ (\frac{a}{a^2+y^2}, \frac{y }{a^2+y^2} )\ |\ y \geq 0\}\text{.}\)

      Sean \(u= \frac{a}{a^2+y^2} , \ v= \frac{y}{a^2+y^2}\text{,}\) de lo cual obtenemos \(\frac{av}{u}= y \text{,}\) reemplazando tenemos

      \begin{equation*} \begin{array}{rcl} u \amp=\amp \frac{a}{a^2+(av/u)^2} \\ 1 \amp=\amp \frac{u}{au^2+av^2} \\ au^2-u+av^2\amp=\amp 0 \\ \left(u-\frac{1}{2a}\right)^2+v^2\amp=\amp\frac{1}{4a^2} \end{array} \end{equation*}

      Es un circulo de centro \((\frac{1}{2a},0)\) y radio \(\frac{1}{2|a|}\text{.}\)

      Cuando \(a=0\text{,}\) la recta queda fija.

   4. Las semicircunferencia de centro \(a\) y radio \(r\text{,}\) tal que \(a^2\neq r^2\text{.}\)

      Sea \(l: (x-a)^2+y^2= r^2\text{,}\) luego tenemos

      \begin{equation*} R(l)= \left\{ \left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y }{x^2+y^2} \right)\ |\ y \geq 0\right\}. \end{equation*}

      Notemos que

      \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \amp\amp \left(\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{a}{a^2-r^2}\right)^2 +\left(\frac{y }{x^2+y^2}\right)^2 \\ \amp=\amp\left(\frac{x(a^2-r^2)-a(x^2+y^2) }{(x^2+y^2)(a^2-r^2)}\right)^2 +\left(\frac{y }{x^2+y^2}\right)^2 \\ \amp=\amp\frac{x^2(a^2-r^2)^2+a^2(x^2+y^2)^2-2xa(a^2-r^2)(x^2+y^2)+ y^2(a^2-r^2)^2 }{(x^2+y^2)^2(a^2-r^2)^2} \\ \amp=\amp\frac{(x^2+y^2)(a^2-r^2)^2+a^2(x^2+y^2)^2-2xa(a^2-r^2)(x^2+y^2) }{(x^2+y^2)^2(a^2-r^2)^2} \\ \amp=\amp\frac{(a^2-r^2-2xa)(a^2-r^2)+a^2(x^2+y^2) }{(x^2+y^2)(a^2-r^2)^2} \end{array} \end{equation*}

      Teniendo presente \(l: x^2+y^2= r^2-a^2+2ax\text{,}\) obtenemos que

      \begin{equation*} \left(\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{a}{a^2-r^2}\right)^2 +\left(\frac{y }{x^2+y^2}\right)^2= \frac{r^2}{(a^2-r^2)^2} \end{equation*}

      Notemos que: Cuando \(a^2=r^2\text{,}\) la semicircunferencia es enviada en la semirecta \(l: x=\frac{1}{2a}\text{.}\)

      Las semicircunferencia de centro el origen y radio \(r\text{,}\) son enviados en semicircunferencia de centro el origen y radio \(1/r\text{.}\)

      Por el calculo anterior, se cumple la incidencia. Del mismo modo repasando cada caso, tenemos que preserva ortogonalidad

   5. Por todo lo anterior tenemos que \(R(z)=\frac{1}{\overline{z}}\) es una simetría respecto al semicircunferencia unitaria, con centro en el origen.

      

2. Simetría respecto a la recta \(m:|z|=r\)

   Consideremos las homotecia de centro \((0,0)\) y de razón \(r>0\text{.}\)

   \begin{equation*} \begin{array}{cccl} h_{r}:\amp \mathbb{C} \amp \rightarrow \amp \mathbb{C} \\ \amp z \amp \rightsquigarrow \amp h_{r}(z)=r\cdot z \end{array} \end{equation*}

   La cual respecta incidencia y ortogonalidad, es decir,

   \begin{equation*} h_r(l)=m ; h_r \in \text{Aut} (\Pi) \end{equation*}
   

   Por propiedad \ref{conj} tenemos que \(\sigma(a)=a'\text{,}\) entonces:

   \begin{equation*} \sigma \circ R_{a} \circ \sigma^{-1}=R_{a'}. \end{equation*}

   En nuestro caso tenemos que \(h_{r}(l)=m\text{,}\) entonces:

   \begin{equation*} \begin{array}{rclc} h_{r} \circ R_{l} \circ h_{r}^{-1} \amp = \amp R_{m} \amp ; h_{r}^{-1}=h_{\frac{1}{r}} \\ \left( h_{r} \circ R_{l} \circ h_{\frac{1}{r}} \right)(z) \amp = \amp R_{m}(z) \amp \\ h_{r}\left( R_{l}(\frac{z}{r})\right) \amp = \amp R_{m}(z) \amp \\ h_{r}\left( \frac{r}{z}\right) \amp = \amp R_{m}(z) \amp \\ \frac{r^2}{\overline{z}} \amp = \amp R_{m}(z) \amp \end{array} \end{equation*}

3. Consideremos el eje simetría \(t:|z-x_{0}|=r\)

   La traslación en \(x_0\) respecta incidencia y ortogonalidad

   \begin{equation*} \begin{array}{rrcl} t_{x_{0}}: \amp \mathbb{C} \amp \rightarrow \amp \mathbb{C} \\ \amp z \amp \rightsquigarrow \amp t_{x_{0}}(z)=z+x_{0} \end{array} \end{equation*}
   
   

   Análogamente entonces se tiene

   \begin{equation*} \begin{array}{rcl} R_{t} \amp = \amp t_{x_{0}} \circ R_{m} \circ t_{x_{0}}^{-1} \\ R_{t}(z) \amp = \amp t_{x_{0}} \left(R_{m}\left(z-x_{0}\right)\right) \\ R_{t}(z) \amp = \amp t_{x_{0}} \left( \frac{r^2}{\overline{z}-x_{0}}\right) \\ R_{t}(z) \amp = \amp \frac{r^2}{\overline{z}-x_{0}}+x_{0} \end{array} \end{equation*}

Sea \(H_{P}\) la simetría puntual, luego corresponde a una rotación en \(180^\circ\text{.}\)

Para ello debe existir \(a,b\in \mathcal{L}\) tales que

\begin{equation*} H_{P}=R_{a} \circ R_{b}; \ \ \ a \cap b = \{P\} \ \ \wedge \ \ a \perp b \end{equation*}

Consideremos la semicircunferencia \(b\) de centro 2 y radio 3 y \(a\) la semirecta vertical en \(Re(z)=2\text{.}\)

\begin{equation*} a: Re(z) = 2; \ \ \ b: |z-2| = 3 \end{equation*}

y satisface lo pedido

\begin{equation*} a \cap b = \{2+3i\} \wedge a \perp b \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} H_{P}(z) \amp = \amp \left(R_{b} \circ R_{a}\right)(z) \\ H_{P} \amp = \amp R_{b}(4-\overline{z}) \\ H_{P} \amp = \amp \frac{9}{2-z}+2 \end{array} \end{equation*}

Las rotaciones de centro \((0,1)\text{,}\) es compuesta de dos simetrías ortogonales que se intersecta en el punto \((0,1)\text{.}\)

De otro modo:

\begin{equation*} \exists l,m \in \mathcal{L} )(l \perp m \text{ }\wedge \text{ } l \cap m =\{(0,1)\}) \end{equation*}

Podemos calcular de dos foma distintas

1. Si una es una semirecta \(m: Re(z) =0\) y \(l: |z|=1\) tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sigma \amp = \amp R_{l} \circ R_{m} \\ \sigma(z) \amp = \amp R_{l}\left(R_{m}(z)\right) \\ \sigma(z) \amp = \amp R_{l}(0-\overline{z})=\frac{1}{-z} \end{array} \end{equation*}

Es una rotación en \(180^\circ\)

\begin{equation*} \sigma(z)=-\frac{1}{z}=-z^{-1} \end{equation*}

2. Si la dos recta son semicircunferencias:

\begin{equation*} l_0:|z-x_0|=r_0, \ \ \ \ l_1:|z-x_1|=r_1 \end{equation*}

Deben pasar por \((0,1)\) y perpendicular sera en \(180^\circ\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} x_0^2+1 \amp=\amp r_0^2 \\ x_1^2+1 \amp=\amp r_1^2 \\ x_0x_1 \amp=\amp -1 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

Realizando la compuesta obtenemos

\begin{equation*} \sigma(z) = R_{l_1} \circ R_{l_0}(z) = \frac{r_1^2x_0}{z(x_1-x_0)} \end{equation*}

Notemos que

\begin{equation*} \frac{r_1^2x_0}{z(x_1-x_0)}= \frac{r_1^2x_0x_1}{z(x_1^2-x_0x_1)}= \frac{-r_1^2}{z(x_1^2+1)}= \frac{-1}{z} \end{equation*}

de este modo obtenemos la función anterior.