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Sección 5.4 Guía Espacios Afines

  1. Sea \((V,X)\) un espacio afín. Demostrar que \(\forall \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \in V, \forall x,y \in X\)

    1. \(- \overrightarrow{xy}=\overrightarrow{yx}\)

    2. \(\overrightarrow{(\overrightarrow{b}\cdot x)( \overrightarrow{b} \cdot y)}=\overrightarrow{xy}\)

    3. \(\overrightarrow{a}\cdot x = y \Leftrightarrow x=(\overrightarrow{-a})\cdot y\)

    4. \(\overrightarrow{(\overrightarrow{a}\cdot x )( \overrightarrow{b}\cdot y)} = -\overrightarrow{a}+\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{b}\)

    5. \(\overrightarrow{xy}\cdot z = \overrightarrow{xz}\cdot y=(\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{xz})\cdot x\)

  2. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\)

    \begin{equation*} \pi= S((1,1,1),\lt (1,0,1),(1,2,1)\gt ) \end{equation*}

    Determine la ecuación de \(\pi\) respecto sistema canónica.

  3. Sean \(A=(1,2,3), B=(2,3,1),C=(3,2,1)\text{.}\)

    Determine la ecuación del plano que pasa por \(A,B,C\) respecto a la base canónica.

  4. Sea \(V=X=\mathbb{R}^4\text{.}\) Determine la ecuación del subespacio afín respecto sistema canónica.

    \begin{equation*} \pi=S((1,0,2,1),\lt (0,1,0,1),(0,1,1,1)\gt ) \end{equation*}

  5. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\)

    \begin{equation*} S_1=((1,2,1),\left\langle (1,3,1)\right\rangle) \text{ y }S_2=((0,0,0),\left\langle(1,2,3),(1,0,4)\right\rangle). \end{equation*}

    Determine la ecuación de las siguientes subespacios \(S_1 \cap S_2\text{.}\)

  6. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\)

    \begin{equation*} S_1 = S((1,1,1),\left\langle(1,0,1),(1,2,1)\right\rangle)\text{ y } S_2 = S((1,0,1),\left\langle(1,2,3),(3,0,1)\right\rangle). \end{equation*}

    Determine la ecuación de las siguientes subespacios \(S_1 \cap S_2\)

  7. Sean \(V=X=\mathbb{R}^4\)

    \begin{equation*} S_1=S((1,0,1,1),\left\langle (1,2,1,1)\right\rangle) \text{ y } S_2=((0,1,1,0),\left\langle(1,1,2,1)\right\rangle). \end{equation*}

    Determine la ecuación de las siguientes subespacios \(S_1 \cap S_2\)

  8. Sean \(V=X=\mathbb{R}^4\text{,}\) \(S_1\) y \(S_2\) subespacios tales que

    \begin{equation*} S_1 = S((1,2,3,0),\left\langle(1,3,0,1)\right\rangle) \text{ y } S_2 = S((0,0,0,1),\left\langle (0,2,3,4),(-1,1,6,7)\right\rangle) \end{equation*}

    Determine:

    1. \(S_1 \cap S_2\)

    2. \(S_3\) subespacio afín tal que \(S_3 \parallel S_1 \text{ y } S_3 \parallel S_2\)

  9. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\) y \(\pi\) el hiperplano que contiene a los puntos \((1,-1,0)\text{,}\) \((3,-1,1)\) y \((0,1,1)\text{.}\) Si \(l\) la recta que une los puntos \((1,4,1) \text{ y } (1,2,5)\text{.}\)

    Calcular \(l\cap \Pi\)

  10. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) \(A=(1,2,1),\) \(B=(3,5,1)\text{,}\) \(C=(1,3,2)\text{,}\) \(D=(1,2,3)\text{,}\) \(E=(2,1,3)\text{,}\) \(l\) la recta que contiene los puntos \(A, B\) y \(\pi\) el plano que contiene los puntos \(C,D,E\text{.}\)

    Determinar si \(l\parallel \pi\text{.}\)

  11. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) \(A=(1,2,1),\) \(B=(1,1,2)\text{,}\) \(C=(2,1,1)\text{,}\) \(D=(1,3,5)\) y \(\pi\) el plano que contiene los puntos \(A,B,C\text{.}\)

    Determinar la ecuación respecto sistema canónica del plano que es paralelo a \(\pi\) y contiene a \(D\text{.}\)

  12. Sean \(V=X=\mathbb{R}^4\)

    \begin{equation*} \pi_1= S((1,0,1,0),\lt (1,0,1,1),(1,0,0,0),(1,1,0,0)\gt ) \end{equation*}

    Determine la ecuación de \(\pi_2\) respecto a sistema canónica si

    \begin{equation*} \pi_1\parallel \pi_2 \wedge (1,1,1,1)\in \pi_2 \end{equation*}

  13. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) \(A=(1,2,3)\text{,}\) \(B=(1,3,2)\text{,}\) \(C=(2,3,1)\) y \(\Pi\) el plano que contiene los puntos \(A,B,C\text{.}\) Si \(D=(1,4,5), E=(2,1,\alpha)\text{.}\)

    Determine \(\alpha\) tal que \(l_{ED}\parallel \Pi\)

  14. En \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) \(B=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}\}\) base de \(V\)

    Sean \(A= \overrightarrow{v}_1-\overrightarrow{v}_2\text{,}\) \(B= \overrightarrow{v}_3+2\overrightarrow{v}_2\text{.}\)

    \begin{equation*} \pi=S(\overrightarrow{v_2},\lt \overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_3}\gt ). \end{equation*}

    Determine \(L_{AB} \cap \pi\text{.}\)

  15. Sea \(V\) un espacio vectorial de dimension tres. \(B=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}\}\)

    \begin{equation*} S_1=S(\overrightarrow{v_1},\left\langle \overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_3}\right\rangle)\text{ y } S_2=(\overrightarrow{v_2},\left\langle \overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}\right\rangle). \end{equation*}

    Determine \(S_1 \cap S_2\text{.}\)

  16. En \(V=X=\mathbb{R}^4\text{,}\) \(B=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}, \overrightarrow{v}_4\}\) base de \(V\text{.}\) Sean

    \begin{equation*} S=S(\overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v}_2,\lt \overrightarrow{v_1}- \overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v}_3,\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\gt ), \quad B_1=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}, \overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v}_4\} \end{equation*}

    Determine la ecuación cartesiana de \(S\) respecto a \((\overrightarrow{0}, B_1)\text{.}\)

  17. Sean \(V=X=\mathbb{R}^2\text{,}\) \(S((0,1),\left\langle(1,1)\right\rangle)\) y \(B=\{ (0,1),(1,0)\}\) base de \(V\text{,}\) con \(x_0=(2,1)\text{.}\)

    Determine la ecuación de \(S\) en \((x_0,B)\text{.}\)

  18. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) \(x_0=(1,1,1)\)y \(B=\{ (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}\) base de \(V\)

    Determine la ecuación de cartesiana de \(S((1,2,1),\lt (1,0,0,(2,0,1)\gt )\) respecto al sistema \((x_0,B)\text{.}\)

  19. Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) y \(\pi\) una recta cuya ecuación es \(2x-3=\frac{y}{2}=1-z\) respecto al sistema canónico.

    Determine la ecuación de \(\pi\) respecto al sistema \(((1,0,1),\{(1,2,3),(3,2,1),(0,1,0)\}\)

  20. En \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) sea \(\pi\) un plano cuya ecuación con respecto al sistema canónico es \(x-y+2z=1\)

    Determinar la ecuación de \(\pi\) respecto al sistema

    \begin{equation*} x_0=(1,2,1) \text{ y } B= \{(1,1,1), (1,1,0),(1,0,0)\}. \end{equation*}

  21. Sea \(V\) un espacio vectorial y \(\pi\) hiperplano cuya ecuación es \(x+y+z=4\) respecto a la base \(B=\{ \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}\}\text{.}\)

    Determine la ecuación de \(\pi\) respecto a la base \(\overline{B}=\{ \overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v_3}, \overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}\}\text{.}\)

  22. Sean \((V,X)\) un espacio afín de dimension tres, \((x_0,B)\) un sistema de coordenadas de \(X\text{.}\) Sea \(S_1\) subespacio de ecuación \(x-y+z=4\text{.}\)

    Determine la ecuación de \(S_2 \parallel S_1\) y \((1,2,3)\in S_2\)

  23. En \(V=X=\mathbb{R}^3\text{.}\) sea \(S((1,0,0),\lt (1,1,0),(0,0,1) \gt \text{,}\) \(x_0= (1,0,0)\text{.}\)

    Determinar una base \(B\) de \(\lt (1,1,0),(0,0,1) \gt \) tal que

    \begin{equation*} [(2,1,1)]_{(x_0, B)}= \left(\begin{array}{c} 1 \\2 \end{array} \right), \quad [(1,0,1)]_{(x_0, B)}= \left(\begin{array}{c} 2 \\1 \end{array} \right). \end{equation*}

  24. En \(V=X=\mathbb{R}^3\) un espacio afín. Sea \(l=S((0,0,1),\left\langle(1,1,2)\right\rangle)\) recta respecto al sistema \((x_0,B)\text{,}\) \(B=\{ (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}\) base de \(V\text{,}\) con \(x_0=(0,0,0)\text{.}\)

    Sea \(\Pi\) el plano cuya ecuación cartesiana es \(2x-3y-4z=5\) respecto al sistema \((x_1,B_1)\text{,}\) con \(x_1=(3,2,1)\) y \(B_1=\{ (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}\text{.}\) Calcule \([l \cap \Pi]_{(x_1,B_1)}\)

  25. \(f:\mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}^2\) tal que \(f(z,w)= (\overline{z},\overline{w})\)

    1. Demostrar que \(f\) es una transformación semilineal.

    2. Determinar todo los puntos de \(L(c, f)\) si \(c=(3,1)\text{.}\)

  26. \(f:\mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}^2\) tal que \(f(z,w)= (3\overline{z}-\overline{w}+1,\overline{z}+\overline{w}-1)\)

    1. Demostrar que \(f\) es una transformación semilineal.

    2. Determinar todo los puntos.

  27. En \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) sean \(\sigma_1, \sigma_2:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) tales que \(\sigma_1\) es una homotecia de razón 2 y centro \((1,1,0)\) y \(\sigma _2 \) homotecia la cual se sabe

    \begin{equation*} \sigma_2(1,1,1)= (3,3,3), \quad \sigma_2(1,0,1)= (3,0,3) \end{equation*}

    Determinar el centro y razón de \(\sigma_1\circ \sigma_2^2\circ \sigma_1^{-1}\text{.}\)

  28. En \((V,X)\) espacio afín, sean \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in V\text{,}\) \(c\in X\) \(r,s\in \mathbb{K}^*\) tales que

    Demostrar que

    \begin{equation*} T_{\overrightarrow{a}}\circ M(c,r)\circ T_{\overrightarrow{b}}\circ M(c,s)= T_{\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{b}}\circ M(c,rs) \end{equation*}

  29. En \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) sean \(P_0=(1,0,1)\text{,}\) \(P_1=(0,1,1)\text{,}\) \(P_2=(1,0,0)\text{,}\) \(P_3=(-1,1,2)\text{,}\) \(Q_0=(1,2,1)\text{,}\) \(Q_1=(-1,2,0)\text{,}\) \(Q_2=(0,3,4)\text{,}\) \(Q_3=(1,-2,5)\) y \(\sigma:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) transformación afín tal que

    \begin{equation*} \sigma(P_0)=Q_0, \ \sigma(P_1)=Q_1, \ \sigma(P_2)=Q_2, \ \sigma(P_3)=Q_3 \end{equation*}

    Determine \(\sigma(x,y,z)\text{.}\)

  30. Sea \(S(x,\mathcal{U})\) y \(S(y,\mathcal{U})\) dos subespacios afines. Demuestre que:

    \begin{equation*} S(x,\mathcal{U})\parallel S(y,\mathcal{U})\Leftrightarrow \exists t \text{ traslación tal que }T(S(x,\mathcal{U}))=S(y,\mathcal{U}) \end{equation*}