Sección 4.5 Ecuación de la Recta
¶Sean \((V,X,\cdot)\) espacio afín, \(x_{0} \in X\) y \(B\) base ordenada de \(V\text{.}\) Además sea \(l\) una recta afín tal que \(l=S(x_0,\left\langle \overrightarrow{v}\right \rangle )\text{.}\)
Si \(y \in l\text{,}\) entonces existe \(t \in \mathbb{K}\) tal que \(y=\left( t \overrightarrow{v}\right)\cdot x_0\)
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
[y]_{(x_{0},B)} \amp = \amp [\left( t \overrightarrow{v} \right)\cdot x]_{(x_{0},B)} \\
\amp= \amp [\overrightarrow{x_{0}\left( \left( t \overrightarrow{v} \right) \cdot x\right)} ]_{B} \\
\amp = \amp [t\overrightarrow{v}]_{B}+ [x]_{(x_{0},B)} \\
\amp = \amp t\cdot[\overrightarrow{v}]_{B}+ [x]_{(x_{0},B)}
\end{array}
\end{equation*}
Supongamos que
\begin{equation*}
[\overrightarrow{v}]_{B}=\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_{n}
\end{pmatrix}, \text{ }
[y]_{(x_{0},B)}=\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{pmatrix}
\text{ y } [x]_{(x_{0},B)}=\begin{pmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
entonces tenemos ecuación paramétrica de la recta \(l\) en el sistema \((x_0,B)\text{.}\)
\begin{equation*}
l:\ \ \left.\begin{array}{ccc}
y_1 \amp = \amp t \cdot x_1 +a_1 \\
y_2 \amp = \amp t \cdot x_2 +a_2 \\
\vdots \amp = \amp \vdots \\
y_n \amp = \amp t\cdot x_n + a_n
\end{array} \right\}
\end{equation*}
Despejando el parámetro \(t\text{,}\) con los \(x_i\neq 0\text{,}\) obtenemos la ecuación simétrica de la recta \(l\) en el sistema \((x_0,B)\text{.}\)
\begin{equation*}
l:\frac{y_1- a_1}{x_1}=\frac{y_{2}- a_2}{x_2}= \cdots = \frac{y_{n}-a_n}{x_n}
\end{equation*}
Sea \(V=X=\mathbb{R}^3\text{,}\) \(\mathcal{B}=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) \}\) base ordenada de \(V\text{,}\) \(x_{0}=(1,2,3)\) y \(l=S\left( (2,1,0),\left\langle(2,3,1)\right \rangle\right)\text{.}\)
Determine la ecuación paramétrica y simétrica de \([l]_{(x_{0},\mathcal{B})}\)
Si \(\overrightarrow{x}\in l \text{, entonces } \overrightarrow{x}=(2,1,0)+ \alpha (2,3,1)\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
[\overrightarrow{x}]_{(x_{0},\mathcal{B})} \amp = \amp [(2,1,0)+\alpha (2,3,1)]_{(x_{0},\mathcal{B})} \\
\amp = \amp [(2,1,0)]_{(x_{0},\mathcal{B})}+\alpha [(2,3,1)]_\mathcal{B} \\
\amp = \amp [ \overrightarrow{(\left ( 1,2,3 \right)\left(2,1,0\right)}]_{B}+ \alpha [(2,3,1)]_\mathcal{B} \\
\amp = \amp [(1,-1,-3)]_\mathcal{B}+ \alpha [(2,3,1)]_\mathcal{B}
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
[\overrightarrow{x}]_{(x_{0},\mathcal{B})}= \begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
-3
\end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
del cual se concluye la ecuación paramétrica
\begin{equation*}
l: \left\{ \begin{array}{rcl}
x_1 \amp = \amp -\alpha+2 \\
x_2 \amp = \amp 2 \alpha +2 \\
x_3 \amp = \amp \alpha-3
\end{array}\right.
\end{equation*}
y la ecuación simétrica es
\begin{equation*}
l:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{1}
\end{equation*}
Subsección Ejercicios
En \(V=X=\mathbb{R}^4\text{,}\) sean \(x= (1,2,1,2)\text{,}\) \(y=(1,3,1,1)\text{,}\)
\begin{equation*}
\mathcal{B}=\{(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0), (1,1,1,1) \}
\end{equation*}
base ordenada de \(V\) y \(x_{0}=(1,-1,0,1)\text{.}\)
Determine la ecuación paramétrica y simétrica de \([l_{xy}]_{(x_{0},\mathcal{B})}\)
Ejemplo 4.5.2
Sean \(V=X=\mathbb{R}^3\) y \(H = S\left( (0,0,1),\left \langle (1,2,3),(-1,0,1)\right\rangle \right)\)
Determine si \(H\) es un hiperplano afín
\begin{equation*}
\text{dim } (\left \langle (1,2,3),(-1,0,1)\right\rangle )=2=\text{dim }\mathbb{R}^3-1 \text{, entonces } H \text{ es un hiperplano afín}
\end{equation*}