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Sección 1.9 Teoremas Clásicos Plano Afín Vectorial

Definición 1.9.1

En el plano afín vectorial \(\mathbb{K} \times \mathbb{K}\text{,}\) se define la razón afín de \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) tres puntos colineales al escalar \((\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}) \) tal que cumple

\begin{equation*} \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})( \overrightarrow{b} -\overrightarrow{a}) \end{equation*}

Traslademos el punto \(A\) al origen, y identifiquemos los puntos

\begin{equation*} A = \overrightarrow{0},\ B= \overrightarrow{b}, \ C= \overrightarrow{c} \end{equation*}

como no son colineales, los vectores \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) son linealmente independiente, de ello tenemos

\begin{equation*} P = \alpha \overrightarrow{c},\ R = \gamma \overrightarrow{b},\ l_{BC} = \lt\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\gt + \overrightarrow{b}, \end{equation*}

es decir,

\begin{equation*} Q= \beta(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})+\overrightarrow{b} =(1+ \beta)\overrightarrow{b}-\beta\overrightarrow{c} \end{equation*}

Por lo anterior tenemos

\begin{equation*} l_{PQ} = \lt(\alpha +\beta)\overrightarrow{c}-(1+\beta)\overrightarrow{b}\gt + \alpha\overrightarrow{c} \end{equation*}

Si los puntos son colineales tenemos, \(R \in L_{PQ}\text{,}\) es decir,

\begin{align*} \gamma \overrightarrow{b} \amp=\amp \alpha\overrightarrow{c}+ \eta((\alpha +\beta)\overrightarrow{c}-(1+\beta)\overrightarrow{ b}) \\ 0 \amp=\amp -\gamma\overrightarrow{b}+\alpha\overrightarrow{c}+ \eta((\alpha +\beta)\overrightarrow{c}-(1+\beta)\overrightarrow{b}) \\ 0 \amp=\amp -(\gamma +\eta +\eta\beta)\overrightarrow{b}+(\eta\alpha +\eta\beta+\alpha)\overrightarrow{c} \end{align*}

así se obtiene

\begin{equation*} \gamma+\eta +\eta\beta=0,\ \ \eta(\alpha+\beta)+\alpha=0. \end{equation*}

despejando

\begin{equation*} \eta =-\frac{\gamma}{1+\beta}= -\frac{\alpha}{\alpha+\beta}. \end{equation*}

luego tenemos que

\begin{equation*} \gamma= \frac{\alpha(1+ \beta)}{\alpha+\beta} \end{equation*}

Ahora veamos la razones afines

\begin{equation*} (P,C,A)= (\alpha \overrightarrow{c} , \overrightarrow{c}, \overrightarrow{0}) =\frac{-\alpha}{1-\alpha} =\frac{\alpha}{\alpha -1} \end{equation*}

ya que \(\overrightarrow{0}-\alpha \overrightarrow{c} = \frac{-\alpha}{1-\alpha} (\overrightarrow{c}- \alpha \overrightarrow{c} ) \)

Para las otras razones procedemos de forma similar

\begin{equation*} (Q,B,C)= ((1+ \beta)\overrightarrow{b}-\beta\overrightarrow{c},\overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}) =\frac{1+\beta}{\beta} \end{equation*}
\begin{equation*} (R,A,C)= (\gamma \overrightarrow{b},\overrightarrow{0} , \overrightarrow{c}) =\frac{\gamma-1}{\gamma} \end{equation*}

luego tenemos

\begin{align*} (P,C,A)(Q,B,C)(R, A,B) \amp=\amp \frac{\alpha}{\alpha -1} \cdot\frac{1+\beta}{\beta} \cdot \frac{\gamma-1}{\gamma}\\ \amp=\amp \frac{\alpha}{\alpha -1} \cdot\frac{1+\beta}{\beta}\cdot \frac{\frac{\alpha(1+ \beta)}{\alpha+\beta}-1}{\frac{\alpha(1+ \beta)}{\alpha+\beta}}\\ \amp=\amp \frac{\alpha}{\alpha -1}\cdot\frac{1+\beta}{\beta}\cdot \frac{\alpha(1+ \beta)-\alpha-\beta}{\alpha(1+ \beta)}\\ \amp=\amp \frac{\alpha}{\alpha -1}\cdot\frac{1+\beta}{\beta}\cdot \frac{\alpha\beta-\beta}{\alpha(1+ \beta)}=1. \end{align*}

Para la demostración en el otro sentido note que

\begin{equation*} \frac{\alpha}{\alpha -1} \cdot\frac{1+\beta}{\beta} \cdot\frac{\gamma-1}{\gamma}= 1 \Leftrightarrow \gamma = \frac{\alpha ( 1+\beta) }{\alpha+\beta}. \end{equation*}

lo que permite definir \(\eta\) y con ello, se obtiene que los puntos son colineales.

Traslademos el punto \(A\) al origen, y identifiquemos los puntos

\begin{equation*} A = \overrightarrow{0},\ B= \overrightarrow{b}, \ C= \alpha\overrightarrow{b} ,\ D= \overrightarrow{d}, \ E= \beta\overrightarrow{d} \end{equation*}

con \(\alpha,\beta\) no nulos y \(\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{d}\) linealmente independiente.

Calculemos las razones afines

\begin{equation*} (A,B,C)= \alpha, \ \ ( A,D,E)= \beta. \end{equation*}

Ya que

\begin{equation*} (\alpha \overrightarrow{c}-\overrightarrow{0} = \alpha ( \overrightarrow{c}- 0), \ (\beta \overrightarrow{d}-\overrightarrow{0} = \beta ( \overrightarrow{d}- 0). \end{equation*}

Por teorema \ref{paralelismo}, se obtiene la equivalencia.

Definición 1.9.5

Sean \(A,B,C,D\) cuatro puntos colineales, se llama la birazon a

\begin{equation*} (A,B,C,D)= \frac{(C,B,A)}{(D,B,A)} \end{equation*}

Traslademos el punto \(A\) al origen, y identifiquemos los puntos

\begin{equation*} A = \overrightarrow{0},\ I= \overrightarrow{i}, \ J= \alpha\overrightarrow{i},\ B = \overrightarrow{b},\ C= \beta\overrightarrow{b}, \ D= \gamma\overrightarrow{b}, \ S= \lambda \overrightarrow{i}+\overrightarrow{b} \end{equation*}

aplicando el teorema de Thales obtenemos

\begin{equation*} (C,S,J)=(C,B,A),\ \ (D,S,I)=(D,B,A) \end{equation*}

De la primera obtenemos que \((C,S,J)= (\beta \overrightarrow{b},\lambda \overrightarrow{i}+\overrightarrow{b}, \alpha\overrightarrow{i})\text{,}\) es decir,

\begin{equation*} \alpha \overrightarrow{i} -\beta \overrightarrow{b}= (C,B,A)(\lambda \overrightarrow{i}+\overrightarrow{b}-\beta \overrightarrow{b})=(C,B,A)(\lambda \overrightarrow{i}+(1-\beta) \overrightarrow{b}) \end{equation*}

Como \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{i}\) son linealmente independiente, se tiene

\begin{equation*} \frac{\alpha }{\lambda}= (C,B,A)=\frac{-\beta }{1-\beta} \end{equation*}

Análogamente, \((D,S,I)=(\gamma \overrightarrow{b},\lambda \overrightarrow{i}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{i})\text{,}\) de lo cual

\begin{equation*} \overrightarrow{i}-\gamma \overrightarrow{b}= (D,B, A)(\lambda \overrightarrow{i}+\overrightarrow{b}-\gamma \overrightarrow{b})= (D,B, A)(\lambda \overrightarrow{i}+(1-\gamma) \overrightarrow{b}) \end{equation*}

Como \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{i}\) son linealmente independiente, se tiene

\begin{equation*} \frac{1}{\lambda}= (D,B,A)=\frac{-\gamma}{1-\gamma} \end{equation*}

De lo anterior tenemos que

\begin{equation*} (A,B,C,D)= \frac{(C,B,A)}{(D,B,A)}= \alpha \end{equation*}

Por otro lado

\begin{equation*} ( A,I,J)= ( \overrightarrow{0},\overrightarrow{i}, \alpha\overrightarrow{i}) \end{equation*}

de lo cual tenemos

\begin{equation*} \alpha\overrightarrow{i}- \overrightarrow{0}=( A,I,J) (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{0}), \end{equation*}

De lo cual \(( A,I,J)= \alpha\text{.}\)

Apliquemos el teorema de Menelao a los siguientes casos

Luego tenemos

\begin{equation*} (L,C,A)(P,N,C)(B,A,N)=1, \qquad (M,C,B)(P,N,C)(A,B,N)=1 \end{equation*}

Teniendo presente la propiedad \ref{rafin}, y la hipótesis se obtiene \(\lambda= (L,A,C),\ \mu=(P,N,C),\ \alpha=(B,A,N)\text{,}\) luego

\begin{equation*} (L,C,A)= \frac{1}{\lambda},\ (B,A,N)=\frac{1}{1- \alpha},\ (A,B,N)= \frac{\alpha}{\alpha -1} \end{equation*}

Reemplazando

\begin{equation*} \frac{1}{\lambda}(P,C,N)\frac{1}{1- \alpha}=1, \qquad \mu (P,C,N)\frac{\alpha}{\alpha- 1}=1 \end{equation*}

Concluimos despejando e igualando obtenemos

\begin{equation*} (P,C,N)= \lambda(1-\alpha)=\frac{(\alpha- 1)}{\alpha\mu} \end{equation*}

Así obtenemos

\begin{equation*} \alpha\lambda\mu= \frac{\alpha-1}{1-\alpha}=-1 \end{equation*}

En la otra dirección, Suponemos \(\alpha\lambda\mu=-1\) y

\begin{equation*} l_{AM}\cap l_{BL}=P \qquad l_{AM}\cap l_{CN}=Q \qquad l_{BL}\cap l_{CN}=R. \end{equation*}

Apliquemos el teorema de Menelao a los siguientes casos

\begin{equation*} (L,C,A)(R,N,C)(B,A,N)=1, \qquad (M,C,B)(Q,N,C)(A,B,N)=1 \end{equation*}

Teniendo presente la propiedad \ref{rafin}, y la hipótesis se obtiene \(\lambda= (L,A,C),\ \mu=(P,N,C),\ \alpha=(B,A,N)\text{,}\) luego

\begin{equation*} (L,C,A)= \frac{1}{\lambda},\ (B,A,N)=\frac{1}{1- \alpha},\ (A,B,N)= \frac{\alpha}{\alpha -1} \end{equation*}

Reemplazando

\begin{equation*} \frac{1}{\lambda}(R,C,N)\frac{1}{1- \alpha}=1, \qquad \mu (Q,C,N)\frac{\alpha}{\alpha- 1}=1 \end{equation*}

Despejando y reemplazando el \(\mu=\frac{-1}{\alpha\lambda} \)

\begin{equation*} (R,C,N)=\lambda(1- \alpha) , \qquad (Q,C,N)=\frac{\alpha- 1}{\mu \alpha}=\lambda(1- \alpha) \end{equation*}

Los puntos esta a una misma razón afín luego son iguales.