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Sección 1.7 Dilataciones en un Plano Afín Vectorial

Recordemos que \(V\) un \(\mathbb{K}\) espacio vectorial de dimension dos y el plano afín esta formado por \(\mathcal{P}= V, \ \mathcal{L}=\{ \text{ rectas afines } \}\) y la incidencia es la pertenencia.

1. Traslaciones: \(f\in \mathcal{T}(V)\text{.}\)

Sea \(\overrightarrow{v}=f(\overrightarrow{0})\text{,}\) aplicando el Teorema \ref{t-tras} tenemos que, si \(\overrightarrow{x}\) linealmente independiente con \(\overrightarrow{v}\text{,}\) la imagen se obtiene de la intersección de las rectas

\begin{equation*} l_1: \lt \overrightarrow{v}\gt+ \overrightarrow{x}, \ \ l_2: \lt\overrightarrow{x}\gt+ \overrightarrow{v} \end{equation*}

cuya intersección es \(\overrightarrow{x}+ \overrightarrow{v}\) de esta forma tenemos que, \(f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}\) una traslación en \(\overrightarrow{v}\text{.}\)

Luego en general las traslaciones son funciones de la forma:

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f:\amp V \amp \longrightarrow \amp V \\ \amp \overrightarrow{x} \amp\rightsquigarrow \amp f(\overrightarrow{x})= \overrightarrow{x} + \overrightarrow{v} \end{array} \end{equation*}
Notación

\(\mathcal{T}(V)=\{t \in \mathcal{D}(\Pi) \ | \ t \text{ es una traslación} \}\text{,}\) es decir, si \(t \in \mathcal{T}(V)\text{,}\) entonces existe un vector \(\overrightarrow{v}\text{,}\) tal que \(t(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}+ \overrightarrow{v}\text{,}\) incluimos el vector nulo \(\overrightarrow{0}\) de las traslaciones posibles.

Sea \(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y} \in V\) tal que:

\begin{equation*} \begin{array}{rcll} \overrightarrow{y}\amp=\ampt^{-1}(\overrightarrow{x})\amp / \cdot t (izq.)\\ t(\overrightarrow{y}) \amp = \amp \overrightarrow{x} \amp \\ \overrightarrow{y}+ \overrightarrow{v} \amp = \amp \overrightarrow{x} \amp / +(-\overrightarrow{v}) \\ \overrightarrow{y} \amp = \amp \overrightarrow{x}- \overrightarrow{v} \end{array} \end{equation*}

Por lo tanto \(t^{-1}(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}- \overrightarrow{v}\)

También se puede designara a la traslación de vector \(\overrightarrow{v}\) como \(t_{\overrightarrow{v}}\)

\(t_{\overrightarrow{v}}^{-1}(\overrightarrow{x})=t_{- \overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})\)

Composición de traslaciones: Sea \(t_{\overrightarrow{v}},t_{\overrightarrow{w}} \in \mathcal{T}(V)\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (t_{\overrightarrow{v}} \circ t_{\overrightarrow{w}})(\overrightarrow{x}) \amp = \amp t_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{w})\\ \amp = \amp (\overrightarrow{x}+ \overrightarrow{w})+ \overrightarrow{v} \\ \amp = \amp \overrightarrow{x}+(\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}) \\ \amp = \amp t_{\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}(\overrightarrow{x}) \end{array} \end{equation*}

Subsección Ejercicios

Sea \(\Pi\) un plano afín vectorial, \(t \) una traslación y \(f \in \mathcal{D}(\Pi) \)

Demostrar que \(f\circ t \circ f^{-1}\) es una traslación

2. Homotecias:

Sea \(f \in D(\Pi)\) una homotecia, luego existe \(\overrightarrow{w}\) tal que \(f(\overrightarrow{w})=\overrightarrow{w}\text{.}\)

Sea \(\overrightarrow{x} \in V\text{,}\) y \(l \in \mathcal{L}\text{,}\) tal que \(\overrightarrow{x},\overrightarrow{w} \in l\text{,}\) sabemos que \(f(l) \parallel l\text{,}\) y \(f(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{w} \in f(l)\) y \(\overrightarrow{x},\overrightarrow{w} \in l\text{.}\)

Por lo tanto \(\{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{w},\ f(\overrightarrow{x})-\overrightarrow{w}\}\) son linealmente dependiente, entonces:

\begin{equation*} \begin{array}{rcll} f(\overrightarrow{x})-\overrightarrow{w} \amp = \amp \alpha (\overrightarrow{x}- \overrightarrow{w}) \\ f(\overrightarrow{x}) \amp = \amp \alpha \overrightarrow{x}- \alpha \overrightarrow{w}+ \overrightarrow{w}\\ f(\overrightarrow{x}) \amp = \amp \alpha \overrightarrow{x}+(1-\alpha)\overrightarrow{w} \\ \end{array} \end{equation*}

con \(1\neq \alpha \neq 0\text{.}\)

Al considerar el teorema 8, y sabiendo que conocemos la imagen de \(\overrightarrow{w}\text{,}\) \(\overrightarrow{x}\text{,}\) para determinar la imagen de otro punto no colineal con \(\overrightarrow{x},\overrightarrow{w}\text{,}\) tenemos trazar la recta \(l_1\) paralela a \(l_{\overrightarrow{x}\overrightarrow{z}}\) que pasa por \(f(\overrightarrow{x})\) y la recta \(l_2=l_{\overrightarrow{x}\overrightarrow{z}}\) y la intersección es la imagen de \(\overrightarrow{z}\)

Luego los vectores

\(\{\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x}, f(\overrightarrow{z})-f(\overrightarrow{x})\}, \ \{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{w}, f(\overrightarrow{x})-f(\overrightarrow{w})\},\ \{\overrightarrow{z}-\overrightarrow{w}, f(\overrightarrow{z})-f(\overrightarrow{w})\},\)

también son linealmente dependiente, de lo cual se obtiene

\begin{align*} \alpha(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{w}) \amp=\amp f(\overrightarrow{x})-f(\overrightarrow{w}) \\ \alpha_1(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x}) \amp=\amp f(\overrightarrow{z})-f(\overrightarrow{x}) \\ \alpha_2(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{w}) \amp=\amp f(\overrightarrow{z})-f(\overrightarrow{w}) \end{align*}

Igualando obtenemos

\begin{equation*} \alpha(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{w})+\alpha_1(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x}) - \alpha_2(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{w})=0 \end{equation*}

reordenando tenemos

\begin{equation*} (\alpha- \alpha_1)(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{w}) +(\alpha_1- \alpha_2)(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{w})=0 \end{equation*}

Como los puntos son no colineales luego los vectores son linealmente independiente (solución única)

\begin{equation*} \alpha = \alpha_1=\alpha_2 \end{equation*}

El otro caso, es análogo.

Por ello, existe un único \(\alpha\) y \(\overrightarrow{w}\text{.}\)

Definición 1.7.3

Sea \(f:V\rightarrow V\) una homotecia, dada por

\begin{equation*} h_{\alpha, \overrightarrow{w}}(\overrightarrow{x})= \alpha \overrightarrow{x}+(1-\alpha)\overrightarrow{w}. \end{equation*}

Se dice que, \(\alpha\) es la razón de la homotecia y \(\overrightarrow{w}\) es el centro de la homotecia.

Sea \(f^{-1}(\overrightarrow{x})= \overrightarrow{y}\text{,}\) entonces:

\begin{equation*} \begin{array}{rcll} \overrightarrow{y} \amp = \amp f^{-1}(\overrightarrow{x}) \amp / \circ f \\ f(\overrightarrow{y}) \amp = \amp \overrightarrow{x} \amp \\ \alpha \overrightarrow{y}+(1-\alpha)\overrightarrow{w} \amp = \amp \overrightarrow{x} \amp /+(\alpha -1)\overrightarrow{w}) \\ \alpha \overrightarrow{y} \amp = \amp \overrightarrow{x}+(\alpha-1)\overrightarrow{w} \amp / \frac{1}{\alpha}\\ \overrightarrow{y} \amp = \amp \frac{1}{\alpha}\overrightarrow{x}+\left( 1- \frac{1}{\alpha} \right) \overrightarrow{w} \end{array} \end{equation*}

Por ello tenemos

\begin{equation*} f^{-1}(\overrightarrow{x})=\frac{1}{\alpha} \overrightarrow{x}+\left( 1-\frac{1}{\alpha} \right) \overrightarrow{w} \end{equation*}

Composición de homotecias de centro \(\overrightarrow{w}\text{:}\)

Sea \(f_{1},f_{2}\) dos homotecias de centro \(\overrightarrow{w}\text{,}\) entonces tenemos que:

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} f_{1}(\overrightarrow{x}) \amp = \amp \alpha \overrightarrow{x}+(1-\alpha)\overrightarrow{w}\\ f_{2}(\overrightarrow{x}) \amp = \amp \beta \overrightarrow{x}+ (1-\beta)\overrightarrow{w}\\ \amp \amp \\ (f_{1}\circ f_{2})(\overrightarrow{x}) \amp = \amp f_{1}(\beta \overrightarrow{x}+(1-\beta)\overrightarrow{w})\\ \amp = \amp \alpha (\beta \overrightarrow{x}+(1-\beta)\overrightarrow{w})+(1-\alpha)\overrightarrow{w}\\ \amp = \amp \alpha \beta \overrightarrow{x}+\alpha \overrightarrow{w}-\alpha \beta \overrightarrow{w}+\overrightarrow{w}-\alpha \overrightarrow{w}\\ \amp = \amp \alpha \beta \overrightarrow{x}+(1-\alpha \beta)\overrightarrow{w} \end{array} \end{equation*}

La composición de homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y con razón el producto de las razones respectivas de las homotecias.

Definimos:

Sea

\begin{equation*} \mathcal{H}_{\overrightarrow{0}}=\{f \in D(\Pi)\ |\ f(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}\} \end{equation*}
\begin{equation*} \mathcal{H}_{\overrightarrow{w}}=\{f \in D(\Pi) \ | \ f(\overrightarrow{w})=\overrightarrow{w}\}, \end{equation*}

en donde \(\mathcal{H}_{\overrightarrow{0}}\) es el conjunto de la homotecia de centro \(\overrightarrow{0}\text{,}\) incluida la identidad.

\((\mathcal{H}_{\overrightarrow{0}}, \circ)\) se denomina grupo de las homotecias de centro \(\overrightarrow{0}\text{.}\)

\begin{equation*} (\mathcal{H}_{\overrightarrow{0}},\circ) \cong (\mathbb{K}^*, \cdot) \end{equation*}
Observación 1.7.5

Sean \(t(\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{x}+\overrightarrow{w} \) traslación y \(h_\alpha(\overrightarrow{x}) = \alpha \overrightarrow{x}\) una homotecia de razón \(\alpha\) y centro \(\overrightarrow{0}\text{.}\)

Luego

\begin{align*} t\circ h_\alpha \circ t^{-1} (\overrightarrow{x})\amp=\amp t\circ h_\alpha(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{w})\\ \amp=\amp t(\alpha(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{w}))\\ \amp=\amp \alpha(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{w})+\overrightarrow{w} \\ \amp=\amp \alpha\overrightarrow{x}+(1-\alpha)\overrightarrow{w} \end{align*}

corresponde a una homotecia de centro \(w\) y razón \(\alpha\text{.}\)

Subsección Ejercicios

Sea \(\Pi\) el plano afín vectorial, entonces

Demostrar que

\begin{equation*} \mathcal{H}_{\overrightarrow{0}}\simeq \mathcal{H}_{\overrightarrow{w}} \end{equation*}

Forma General de una dilatación en un Plano Afín Vectorial

Note que toda dilatación es compuesta de traslaciones y homotecias.

Sea \(f\in D(\Pi)\text{,}\) entonces existen \(\alpha \neq 0\) y \(\overrightarrow{v}\in V\)

\begin{equation*} f_{\alpha,\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})=\alpha\overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}=f(\overrightarrow{x}) \end{equation*}
Observación 1.7.6
  1. Si \(\alpha = 1 \) entonces \(f_{1,\overrightarrow{v}}\) es una traslación

  2. Si \(\alpha \neq 1 \) entonces \(f_{\alpha,\overrightarrow{v}}\) es una homotecia (que tiene un punto fijo), en particular:

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} f_{\alpha,\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{w})\amp = \amp \overrightarrow{w}\\ \alpha \overrightarrow{w}+v \amp = \amp \overrightarrow{w}\\ \alpha \overrightarrow{w}-\overrightarrow{w} \amp = \amp - \overrightarrow{v}\\ (\alpha -1)\overrightarrow{w} \amp = \amp- \overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{w}\amp = \amp \frac{1}{1-\alpha}\overrightarrow{v} \end{array} \end{equation*}

    En donde la funciones de la forma \(f_{\alpha,\overrightarrow{0}}\) son transformaciones lineales invertibles con \(\alpha \neq 0\text{,}\) además notemos que:

    \begin{equation*} (f_{1,\overrightarrow{v}} \circ f_{\alpha,\overrightarrow{0}})(\overrightarrow{x})=\alpha \overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}=f_{\alpha,\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x}) \end{equation*}

Sea

\begin{equation*} \begin{array}{ccccl} T \amp : \amp \mathbb{R}^2 \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}^2 \\ \amp \amp (x,y) \amp \rightarrow \amp (y,x)+(1,1) \end{array} \end{equation*}

Determine \(F \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2)\text{ tal que } T \circ F = F \circ T \)

Solución

Sea \(F\) una dilatación luego existen \(\alpha \in \mathbb{R}\) no nulo,\((a,b)\in \mathbb{R}^2\) tal que

\begin{equation*} F(x,y)=\alpha(x,y)+(a,b),\ \ \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2 \end{equation*}

Veamos la compuesta

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (T \circ F)(x,y) \amp = \amp (F \circ T)(x,y) \\ T(\alpha x+a,\alpha y +b) \amp = \amp F(y+1,x+1) \\ (\alpha y +b +1, \alpha x + a +1) \amp = \amp (\alpha y + \alpha +a,\alpha x + \alpha +b) \end{array} \end{equation*}

Igualando coordenada

\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} b+1 \amp = \amp \alpha +a \\ a+1 \amp = \amp \alpha +b \\ \hline \end{array} \end{equation*}

del cual se obtiene \(a=b\) y \(\alpha = 1\text{,}\) por lo tanto \(F\) es una traslación de la forma

\begin{equation*} F(x,y)=(x+a,y+a) \end{equation*}