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Sección 2.4 Colineaciones en el Plano Proyectivo

Definición 2.4.1

Sean \(\Pi\) plano proyectivo y \(f\) una función biyectiva. Se dice que \(f\) es colineación de \(\Pi\text{,}\) si se cumple:

  1. \(f:\mathcal{L}\longrightarrow \mathcal{L}\) y \(f:\mathcal{P} \longrightarrow \mathcal{P}\) son biyectiva.

  2. Preserva incidencia:

    Para todo \(P,l\) se tiene que si \(P\mathcal{I}l\) entonces \(f(P)\mathcal{I}f(l)\text{.}\)

Observación 2.4.2

Análogamente tenemos que

\begin{equation*} Aut(\Pi) =\{ f \ |\ f \text{ es una colineación de } \Pi \} \end{equation*}

Extension de transformaciones lineales a \(\mathbb{P}_{2}(V)\text{.}\)

Sea \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimension tres y \(\mathbb{P}_{2}(V)\) el plano proyectivo construido a partir de \(V\text{.}\)

Dada \(f \in \text{GL}(V)\text{,}\) entonces existe una función \(\overline{f}\) definida en los puntos y las rectas del plano proyectivo del siguiente modo

\begin{equation*} \begin{array}{rrcl} \overline{f}: \amp \mathbb{P}_{2}(V) \amp \rightarrow \amp \mathbb{P}_{2}(V) \\ \amp \left \langle \overrightarrow{v} \right \rangle \amp \rightsquigarrow \amp \left \langle f(\overrightarrow{v}) \right \rangle \\ \amp \left \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \right \rangle \amp \rightsquigarrow \amp \left \langle f(\overrightarrow{v}),f(\overrightarrow{w}) \right \rangle \end{array} \end{equation*}

Determine, si es que existen, los puntos fijos de \(\overline{f}\text{,}\) donde \(f\) esta definida por

\begin{equation*} \begin{array}{cccc} f: \amp \mathbb{R}^3 \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}^3 \\ \amp (x,y,z) \amp \rightsquigarrow \amp (x+y,x-z,z) \end{array} \end{equation*}
Solución

Sea \(B\) base canónica de \(\mathbb{R}^3\text{,}\) entonces la matriz asociada es

\begin{equation*} [f]_B=\begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 0 \\ 1 \amp 0 \amp -1 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

en donde el \(\text{det}([f]_B) \neq 0\text{,}\) por lo tanto \(f \in \text{GL}(\mathbb{R}^3)\text{,}\) de este modo existe \(\overline{f}\in \text{Aut}(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3))\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \overline{f}\left(\left\langle (x,y,z) \right \rangle \right )\amp = \amp \left \langle (x,y,z) \right \rangle \\ \left \langle f(x,y,z) \right \rangle \amp = \amp \left \langle (x,y,z) \right \rangle \\ \left \langle (x+y,x-z,z)\right \rangle \amp = \amp \left \langle (x,y,z) \right \rangle \\ (x+y,x-z,z) \amp = \amp \lambda (x,y,z) \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}[t]{rcl|} x+y \amp = \amp \lambda x \\ x-z \amp = \amp \lambda y \\ z \amp = \amp \lambda z \\ \hline \end{array} \ \text{ o bien } \ \begin{array}[t]{rcl|} (1-\lambda)x+y \amp = \amp 0 \\ x-\lambda y-z \amp = \amp 0 \\ (1-\lambda)z \amp = \amp 0 \\ \hline \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \left ( \begin{array}{ccc} (1-\lambda) \amp 1 \amp 0 \\ 1 \amp -\lambda \amp -1 \\ 0 \amp 0 \amp (1-\lambda) \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \end{equation*}

en donde:

\begin{equation*} \left | \begin{array}{ccc} 1-\lambda \amp 1 \amp 0 \\ 1 \amp -\lambda \amp -1 \\ 0 \amp 0 \amp (1-\lambda) \end{array} \right | = 0 \end{equation*}

del cual se obtiene

\begin{equation*} (1-\lambda)(-\lambda+\lambda^2-1)=0 \end{equation*}

entonces

\begin{equation*} \begin{array}{lcr} \lambda=1 \amp \lambda=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \amp \lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{array} \end{equation*}

Para cada valor propio de \(f\text{,}\) se tiene un punto fijo de \(\overline{f}\text{,}\) por ejemplo para \(\lambda =1\) el punto fijo es \(\left \langle (1,0,1) \right \rangle,\) los otros de deja para ejercicio del lector.

Por lo tanto, \(\overline{f}\) tiene tres puntos fijos.

Observación 2.4.6

Si \(f \in \text{GL}(V)\) y los valores propios son distintos, entonces \(\overline{f}\) tiene a lo mas tres puntos fijos en el plano proyectivo.

Subsección Ejercicios

Determine, si es que existen, los puntos fijos de \(\overline{f}\text{,}\) donde \(f\) esta definida por

\begin{equation*} \begin{array}{cccc} f: \amp \mathbb{R}^3 \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}^3 \\ \amp (x,y,z) \amp \rightsquigarrow \amp (x-y,x+y,x-z+y) \end{array} \end{equation*}