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Sección 5.2 Guía Plano Proyectivos

  1. Comprobar que los tres puntos \(\lt (1 , 2 , 2) \gt \text{,}\) \(\lt (3 , 1, 4) \gt \) y \(\lt (2 , -1 , 2) \gt \) de \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\) son colineales, y determinar una ecuación de la recta que pasa por ellos.

  2. Sean \(A=\lt (1,2,1) \gt , B=\lt (1,1,1) \gt \) puntos del plano \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\)

    Determinar la ecuación cartesiana de \(l_{AB}\text{.}\)

  3. Sean \(A=\lt (3,2,1) \gt , B=\lt (1,1,2) \gt \) puntos del plano \(\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_{19}^3)\text{.}\)

    Determinar la ecuación cartesiana de \(l_{AB}\text{.}\)

  4. Sean \(A=\lt (1,2,1) \gt , B=\lt (0,1,2) \gt , C=\lt (1,1,2) \gt , D=\lt (1,1,1) \gt \) puntos del plano \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\)

    Calcular \(l_{AB}\cap l_{CD}\text{.}\)

  5. Sean \(A=\lt (1,0,1) \gt , B=\lt (0,1,1) \gt , C=\lt (1,0,2) \gt , D=\lt (1,1,0) \gt \) puntos del plano \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\)

    Calcular \(l_{AB}\cap l_{CD}\text{.}\)

  6. En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_3^3)\text{.}\) Sean \(l_1=\lt (1,2,0),(0,1,1) \gt \) y \(l_2\) la recta de ecuación \(2x+y+z=0\text{.}\)

    Calcule \(l_1 \cap l_2\text{.}\)

  7. En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_{5}^{3})\text{.}\) Sean \(l_1=\left\langle(1,2,1),(2,0,1)\right\rangle\) y \(l_2\) la recta de ecuación \(x+y+z=0\text{.}\)

    Calcule \(l_1 \cap l_2\)

  8. Sean \(A=\lt (1,2,1) \gt , B=\lt (3,2,1) \gt , C=\lt (1,\alpha,4) \gt \) puntos del plano proyectivo \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\)

    Determine \(\alpha\) de modo que \(A,B,C\) sean colineales.

  9. En el plano proyectivo \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\) Hallar el punto de intersección de la recta \(r\) que pasa por los puntos \(\lt (3 , 1 , -2) \gt \) y \(\lt (1, -5 , 3) \gt \) y la recta de ecuación \(x - 3y - 4z = 0\text{.}\)

  10. En el plano proyectivo \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto \(\lt (1 , 2 , -2) \gt \) y el punto de corte de las rectas \(2x - 3y + 7z = 0\) y \(5x + 2z = 0\text{.}\)

  11. En cada uno de los casos siguientes encontrar una ecuación de la recta del plano proyectivo complejo \(\mathbb{P}_2(\mathbb{C})\) que pasa por los dos puntos dados:

    1. \(\lt (-1 , 1 , 1) \gt \text{,}\) \(\lt (1 , 3 , 2i) \gt \)

    2. \(\lt (1 , -1 , i) \gt \text{,}\) \(\lt (i , 1 , 1) \gt \)

    3. \(\lt (1 , 1 , 2i) \gt \text{,}\) \(\lt (1 , -2 , 2i) \gt \)

  12. Sea \(\pi= \mathbb{R}^2\) el plano afín vectorial, la recta de ecuación \(l:y=2x+1\) y \(\overline{l}\in \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\) el sumergimiento de \(l\text{.}\)

    Calcular la ecuación de \(\overline{l}\text{.}\)

  13. Sea \(\Pi = \mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5\) el plano afín vectorial, los puntos \(A=(1,1), B=(2,1), C=(0,0)\) y \(D=(1,3)\) y \(\overline{\Pi} \) el sumergimiento de \(\Pi\text{.}\)

    Si \(\overline{A},\overline{B},\overline{C},\overline{D}\) los puntos correspondientes en \(\overline{\Pi}\text{.}\) Calcular \(l_{\overline{A}\overline{B}}\cap l_{\overline{C}\overline{D}}\text{.}\)

  14. Sean \(A=(-3,5),\ B= (1,-4)\) puntos en el plano afín vectorial real y \(\overline{A}, \overline{B}\) los puntos que se obtiene al sumergir \(\mathbb{R}^2\) en el plano proyecto \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\)

    Determinar la ecuación de la recta que une \(\overline{A}\) y \(\overline{B}\)

  15. Sean \(A=(1,\delta),\ B= (\delta,1)\) puntos en el plano afín vectorial \(\mathbb{F}_4= \mathbb{Z}_2(\delta)\) con \(\delta^2=\delta+1\) y \(\overline{A}, \overline{B}\) los puntos que se obtiene al sumergir \(\mathbb{F}_4^2\) en el plano proyecto \(\mathbb{P}_2(\mathbb{F}_4^3)\text{.}\)

    Determinar la ecuación de la recta que une \(\overline{A}\) y \(\overline{B}\text{.}\)

  16. Sea \(V\) un espacio vectorial real y \(\mathcal{B}=\{ e_1,e_2,e_3\}\) una base.

    Si \(A,B,C\) son tres puntos del plano proyectivo \(\mathbb{P}_2 (V)\) tal que

    \begin{equation*} A= \lt xe_1+ye_2+e_3\gt,\ B= \lt e_1+me_2\gt,\ C=\lt be_2+e_3 \gt \end{equation*}

    Demostrar que \(A \in l_{BC}\) si y sólo si \(y=mx+b\)

  17. Sea \(l\) un recta en el plan afín vectorial \(\mathbb{Z}_7^2\) y \(\overline{l}\) la correspondiente recta inducida en \(\mathbb{P}_2( \mathbb{Z}_7^3)\) tal que su ecuación cartesiana es \(x-2y+3z=0\text{.}\)

    Determinar la ecuación cartesiana de \(l\text{.}\)

  18. Sea \(f:\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\rightarrow \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) tal que \(f(\lt (x,y,z) \gt =\lt (x+y,x-y,z+x+y) \gt \text{,}\) se extiende de manera natural a los conjuntos.

    Determine si \(f\) es una colineación en el plano proyectivo

  19. Sea \(f:\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\rightarrow \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) \(f(\lt (x,y,z) > )=\lt (y,x,z) \gt \) una colineación de plano proyectivo.

    Determine los puntos fijos de \(f\text{.}\)

  20. Sea \(f:\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_{11}^3)\rightarrow \mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_{11}^3)\text{,}\) \(f(\lt (x,y,z)\gt )=\lt (3x-y,2x+y,2y-5z) \gt \) una colineación de plano proyectivo.

    Determinar los puntos fijos de \(f\text{.}\)

  21. Sea \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\text{,}\) con \(f(x,y,z)=(2x+y,3y,z)\) una transformación lineal.

    Si \(\overline{f}\) la colineación inducida por \(f\) en el plano proyectivo.

    Determine los puntos fijos de \(\overline{f}\) si existe.

  22. Sea \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3,f(x,y,z)=(x-y,x+y,x+y-z)\) una transformación lineal.

    Si \(\overline{f}\) la colineación inducida por \(f\) en el plano proyectivo.

    Determine los puntos fijos de \(\overline{f}\text{.}\)

  23. Sea \(f:\mathbb{Z}_5^3\rightarrow \mathbb{Z}_5^3,f(x,y,z)=(x+y,z,2x+y)\) una transformación lineal.

    Si \(\overline{f}\) la colineación inducida por \(f\) en el plano proyectivo \(\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_5^3)\text{.}\)

    Determine los puntos fijos de \(\overline{f}\text{.}\)

  24. Sea \(g:\mathbb{Z}_{11}^3\rightarrow \mathbb{Z}_{11}^3\text{,}\) \(g(x,y,z)=(x,y,z)+ (x+y+z)(1,2,1)\) transformación lineal.

    Si \(\overline{g}\) es la colineación inducida por \(g\) en \(\mathbb{P}_2(\mathbb{Z}_{11}^3 )\text{.}\)

    Determinar los puntos fijos de \(\overline{g}\text{.}\)

  25. Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\text{,}\) con \(f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}2\amp1\\ 0\amp3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array} \right)\text{.}\)

    Sea \(\overline{f}\) la colineación inducida por\(f \in \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\) Determine los puntos fijos de \(\overline{f}.\)

  26. Sea \(f:\mathbb{F}_{11}^2\rightarrow \mathbb{F}_{11}^2\text{,}\) tal que \(f(x,y)=(x+y,x-y)\) y \(\overline{f}\) la colineación inducida por \(f\) en \(\mathbb{P}_2(\mathbb{F}_{11}^3)\text{.}\)

    Determine los puntos y rectas fijas de \(\overline{f}\text{.}\)

  27. Sea \(f:\mathbb{F}_q^2\rightarrow \mathbb{F}_q^2\text{,}\) tal que \(f(x,y)=(x+y,y)\) y \(\overline{f}\) la colineación inducida en \(\mathbb{P}_2(\mathbb{F}_q^3)\text{.}\)

    Determine los puntos fijos de \(\overline{f}\text{.}\)

  28. En el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sea \(r\) la recta de ecuación \(3x - y + 2z = 0\) y consideremos el plano afín \(\Pi^r= \mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\setminus r\text{.}\)

    Hallar la ecuación de la recta afín que pasa por los puntos \(\lt (1 , 2 , -3) \gt \) y \(\lt (2 , 1 , 5) \gt \text{,}\) respecto base canónica.

  29. Sea \(\sigma:\mathbb{F}^2\rightarrow \mathbb{F}^2\text{,}\) tal que \(\sigma(x,y)=(x,x+y)\) y \(\overline{\sigma}\) la colineación inducida por \(\sigma\) en \(\mathbb{P}_2(\mathbb{\mathbb{F}}^3)\text{.}\)

    Demostrar que \((\exists l \in \mathcal{L})(\forall Q \in \mathcal{L} \text{ }/ \text{ } \overline{\sigma}(l)=l)\)

  30. Demuestre que \(\mathbb{P}_2(\mathbb{F}_q^3)\) es un plano proyectivo de orden \(q\text{.}\)

  31. Demuestre que todo plano proyectivo tiene al menos 7 rectas.

  32. Sea \(\sigma:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\text{,}\) con \(\sigma(x,y)=(x,x+y)\text{,}\) y \(\overline{\sigma}\) la colineación inducida por \(\sigma\) en \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{.}\)

    Demostrar que existe \(l\) recta de \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) tal que \(\forall Q\in l\text{,}\) \(\overline{\sigma} (Q)=Q\text{.}\)

  33. \(\bigstar\) Considere el plano afín \(\Pi=(\mathbb{Z}_3^2, \mathcal{L} \mathcal{I})\text{.}\)

    Construir el plano proyectivo asociado \(\overline{\Pi}\text{.}\)

  34. \(\bigstar\) Considere el cuerpo \(\mathbb{F}= \mathbb{Z}_2(\delta)\) con \(\delta^2=\delta+1\) y el plano proyectivo \(\Pi=\mathbb{P}_2(\mathbb{F}^3)\text{.}\) Dada la recta \(l=\lt (1,0,0), (0,1,\delta) \gt \text{.}\)

    Construir el plano afín asociado \(\Pi^l\text{.}\)

  35. \(\bigstar\) Sea \(T:\mathbb{F}_q^2\rightarrow \mathbb{F}_q^2\text{,}\) una traslación en el plano afín vectorial finito y \(\overline{T}\) la colineación inducida en \(\mathbb{P}_2(\mathbb{F}_q^3)\text{.}\)

    Determine los puntos fijos de \(T\) y el número de rectas fijas.

  36. \(\bigstar\) En \(\mathbb{P}_2(\mathbb{F}_q^3)\) el plano proyectivo, sea \(H\) el grupo de las perspectividad de eje \(l_\infty\text{.}\)

    Calcular el orden de grupo \(H\text{.}\)

  37. \(\bigstar\) Sea \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) una transformación lineal invertible, sea \(\overline{f}\) la colineación inducida por \(f\) en \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\)

    Demuestre que \(\overline{f}\) tiene un punto fijo.

  38. \(\bigstar\) Sea \(\Pi = \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q\text{,}\) \(l\) recta del plano afín vectorial y \(G\) el grupo de las colineaciones de \(\mathbb{P}_2 ( \mathbb{F}_q^3) \) inducido por el grupo de las traslaciones de traza \(l\text{.}\)

    Luego \(G\) opera sobre los puntos del plano proyectivo \(\mathbb{P}_2 ( \mathbb{F}_q^3) \text{.}\)

    Determine el número de orbitas o clases y la cardinalidad de cada clase

  39. \(\bigstar\) Sea \(\Pi = \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q\text{,}\) y \(G\) el grupo de las colineaciones de \(\mathbb{P}_2 ( \mathbb{F}_q^3) \) inducido por el grupo de las traslaciones de \(\Pi\text{.}\) Luego \(G\) opera sobre los puntos del plano proyectivo \(\mathbb{P}_2 ( \mathbb{F}_q^3) \text{.}\)

    Determine el número de orbitas o clases y la cardinalidad de cada clase