Claramente \(f\) es biyectiva, \(f^{-1}(x,y)=(x-1,y-2)\text{.}\)
Veamos algunos ejemplos particulares primero:
Para ello sea
\begin{equation*}
l_{1}=\{(\overline{0},\overline{0}),(\overline{1},\overline{0}),(\overline{2},\overline{0})\}; l_{2}=\{(\overline{0},\overline{1}),(\overline{1},\overline{1}),(\overline{2},\overline{1})\}; l_{3}=\{(\overline{0},\overline{2}),(\overline{1},\overline{2}),(\overline{2},\overline{2})\}.
\end{equation*}
Evaluando la función, tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
l_{1}=\{(\overline{0},\overline{0}),(\overline{1},\overline{0}),(\overline{2},\overline{0})\}\amp \longrightarrow \amp f(l_{1})=\{(\overline{1},\overline{2}),(\overline{2},\overline{2}),(\overline{0},\overline{2})\}=l_{3}\\
l_{3}=\{(\overline{0},\overline{2}),(\overline{1},\overline{2}),(\overline{2},\overline{2})\}\amp\longrightarrow \amp f(l_{3})=\{(\overline{1},\overline{1}),(\overline{2},\overline{1}),(\overline{0},\overline{1})\}=l_{2}
\end{array}
\end{equation*}
además debe cumplir con:
Dado el punto \((\overline{0},\overline{0})\mathcal{I} l_{1}\text{,}\) debe cumplir \(f(\overline{0},\overline{0}) \mathcal{I} f(l_{1})\) lo cuales verdadero, ya que \((\overline{1},\overline{2}) \mathcal{I} l_{3}\) y además se extiende por puntos
Dado las rectas \(l_1,l_3\text{,}\) se tiene que \(l_{1} \parallel l_{3}\text{,}\) debe \(f(l_{1}) \parallel f(l_{3})\) lo cual también es verdadero, ya que \(l_{3} \parallel l_{2}\text{.}\)
En general, tenemos que \(l \in \mathcal{L}\text{,}\) \(l= \{ a(x_1,x_2)+ (y_1,y_2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\}\)
-
Aplicando \(f\) a \(l\) tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
f(l) \amp=\amp \{ f(a(x_1,x_2)+ (y_1,y_2)) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\} \\
\amp=\amp \{ f(ax_1+y_1,ax_2+y_2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\} \\
\amp=\amp \{ (ax_1+y_1+1,ax_2+y_2+2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\} \\
\amp=\amp \{ a(x_1,x_2)+ (y_1+1,y_2+2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\} \\
\amp=\amp \{ a(x_1,x_2)+ f(y_1,y_2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\}.
\end{array}
\end{equation*}
Sea \(P \mathcal{I}l\text{,}\) luego tenemos que \(l = \lt w \gt +P\text{,}\) por lo anterior tenemos que \(f(l) : \lt w\gt + f(P)\text{,}\) de lo cual \(f(P)\mathcal{I}f(l)\text{.}\)
Sea \(l \parallel l'\text{,}\) luego tenemos que \(l = \lt w\gt +u\) y \(l'=\lt w \gt+v\text{,}\) por la primera parte tenemos que \(f(l) : \lt w\gt + f(u)\text{,}\) \(f(l') : \lt w\gt + f(v)\text{,}\) de lo cual \(f(l)\parallel f(l')\text{.}\)
De este modo \(f\) sea una colineación.