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Sección 1.5 Colineación en el Plano Afín

Definición 1.5.1

Sean \(\Pi\) plano afín y \(f\) una función biyectiva. Se dice que \(f\) es colineación de \(\Pi\text{,}\) si se cumple:

  1. \(f:\mathcal{L}\longrightarrow \mathcal{L}\) y \(f:\mathcal{P} \longrightarrow \mathcal{P}\) son biyectiva.

  2. Preserva incidencia:

    Para todo \(P,l\) se tiene que si \(P\mathcal{I}l\) entonces \(f(P)\mathcal{I}f(l)\text{.}\)

  3. Preserva paralelismo:

    Para todo \(l,m\) se tiene que si \(l \parallel m \) entonces \(f(l) \parallel f(m)\text{.}\)

Subsección Ejercicios

Sea \(\Pi:\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}\text{.}\)

Considere los movimientos rígidos del cuadrado, Determinar cual de ellas corresponde a colineación de \(\Pi\text{.}\)

Subsección Ejercicios

Sea \(\Pi:\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}\)

Determine el número de colineación de \(\Pi\text{.}\)

Sea \(\Pi:\mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}\) y la función

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f:\amp\mathcal{P}\amp \longrightarrow \amp \mathcal{P}\\ \amp(x,y) \amp\rightsquigarrow \amp f(x,y)=(x+1,y+2) \end{array} \end{equation*}

que se extiende a la rectas afines del siguiente modo \(f(l)= \{ f(P) \ | \ P \mathcal{I}l\}\text{.}\)

Determine si \(f\) es una colineación.

Solución 1

Claramente \(f\) es biyectiva, \(f^{-1}(x,y)=(x-1,y-2)\text{.}\)

Veamos algunos ejemplos particulares primero:

Para ello sea

\begin{equation*} l_{1}=\{(\overline{0},\overline{0}),(\overline{1},\overline{0}),(\overline{2},\overline{0})\}; l_{2}=\{(\overline{0},\overline{1}),(\overline{1},\overline{1}),(\overline{2},\overline{1})\}; l_{3}=\{(\overline{0},\overline{2}),(\overline{1},\overline{2}),(\overline{2},\overline{2})\}. \end{equation*}

Evaluando la función, tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} l_{1}=\{(\overline{0},\overline{0}),(\overline{1},\overline{0}),(\overline{2},\overline{0})\}\amp \longrightarrow \amp f(l_{1})=\{(\overline{1},\overline{2}),(\overline{2},\overline{2}),(\overline{0},\overline{2})\}=l_{3}\\ l_{3}=\{(\overline{0},\overline{2}),(\overline{1},\overline{2}),(\overline{2},\overline{2})\}\amp\longrightarrow \amp f(l_{3})=\{(\overline{1},\overline{1}),(\overline{2},\overline{1}),(\overline{0},\overline{1})\}=l_{2} \end{array} \end{equation*}

además debe cumplir con:

  1. Dado el punto \((\overline{0},\overline{0})\mathcal{I} l_{1}\text{,}\) debe cumplir \(f(\overline{0},\overline{0}) \mathcal{I} f(l_{1})\) lo cuales verdadero, ya que \((\overline{1},\overline{2}) \mathcal{I} l_{3}\) y además se extiende por puntos

  2. Dado las rectas \(l_1,l_3\text{,}\) se tiene que \(l_{1} \parallel l_{3}\text{,}\) debe \(f(l_{1}) \parallel f(l_{3})\) lo cual también es verdadero, ya que \(l_{3} \parallel l_{2}\text{.}\)

En general, tenemos que \(l \in \mathcal{L}\text{,}\) \(l= \{ a(x_1,x_2)+ (y_1,y_2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\}\)

  1. Aplicando \(f\) a \(l\) tenemos

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} f(l) \amp=\amp \{ f(a(x_1,x_2)+ (y_1,y_2)) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\} \\ \amp=\amp \{ f(ax_1+y_1,ax_2+y_2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\} \\ \amp=\amp \{ (ax_1+y_1+1,ax_2+y_2+2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\} \\ \amp=\amp \{ a(x_1,x_2)+ (y_1+1,y_2+2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\} \\ \amp=\amp \{ a(x_1,x_2)+ f(y_1,y_2) \ |\ a\in \mathbb{Z}_{3}\}. \end{array} \end{equation*}
  2. Sea \(P \mathcal{I}l\text{,}\) luego tenemos que \(l = \lt w \gt +P\text{,}\) por lo anterior tenemos que \(f(l) : \lt w\gt + f(P)\text{,}\) de lo cual \(f(P)\mathcal{I}f(l)\text{.}\)

  3. Sea \(l \parallel l'\text{,}\) luego tenemos que \(l = \lt w\gt +u\) y \(l'=\lt w \gt+v\text{,}\) por la primera parte tenemos que \(f(l) : \lt w\gt + f(u)\text{,}\) \(f(l') : \lt w\gt + f(v)\text{,}\) de lo cual \(f(l)\parallel f(l')\text{.}\)

De este modo \(f\) sea una colineación.

Definición 1.5.3

Sea \(\Pi\) un plano afín y \(f\) una colineación de \(\Pi\text{.}\)

  1. \(P\) es un punto fijo de \(f\) si y sólo si \(f(P)=P\text{.}\)

  2. \(l\) es recta fija de \(f\) si y sólo si \(f(l)=l\text{.}\)

En el ejemplo anterior \(\Pi:\mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}\text{,}\) y la colineación

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f:\amp\mathcal{P}\amp \longrightarrow \amp \mathcal{P}\\ \amp(x,y) \amp\rightsquigarrow \amp f(x,y)=(x+1,y+2) \end{array} \end{equation*}

Determine los puntos y rectas fijas si existen.

Solución 2

Tenemos que \(f\) esta dada por

\begin{equation*} f(x,y)=(x+\overline{1},y+\overline{2}) \end{equation*}
  1. Puntos fijos
    \begin{equation*} \begin{array}{ccc} f(x,y) \amp = \amp (x,y) \\ (x+\overline{1},y+\overline{2}) \amp = \amp (x,y) \end{array} \end{equation*}
    \begin{equation*} \begin{array}{rcl|} x + \overline{1} \amp =\amp x \\ y+\overline{2}\amp = \amp y \\ \hline \end{array} \end{equation*}

    lo cual, tiene solución vacía, ya que \(\overline{1}\neq 0 \text{ y } \overline{2}\neq 0\text{,}\) por lo tanto, \(f\) no tiene puntos fijos.

  2. Rectas fijas

    Las rectas fijas de \(f\text{,}\) entonces \(f(l)=l\text{,}\) pues consideremos la recta \(l=\{(\overline{0},\overline{2}),(\overline{1},\overline{1}),(\overline{2},\overline{0})\}\) tenemos que

    \begin{equation*} l=\{(\overline{0},\overline{2}),(\overline{1},\overline{1}),(\overline{2},\overline{0})\} \text{ y } f(l)=\{(\overline{1},\overline{1}),(\overline{2},\overline{0}),(\overline{0},\overline{2})\} \end{equation*}

    Por lo tanto la recta \(l\) es una recta fija.

    Note que \(l=\{ (x,y)\ | \ ax+by=c\}\) y \(f(l)=\{ (x,y)\ | \ ax+by=c+a+2b\}\) luego debe tenerse que \(a+2b=0\text{,}\) se deja de ejercicio, determinar que las únicas rectas que cumple son las paralelas a la anterior.

Sea \(\Pi=\mathbb{R}^2\) el plano vectorial afín y \(f\) una función definida como

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}^2 \amp\longrightarrow\amp \mathbb{R}^2 \\ (x,y) \amp \rightsquigarrow \amp f(x,y)=(2x+3y-1,x-2y+2) \end{array} \end{equation*}

Demuestre que \(f\) es colineación de \(\Pi\text{.}\)

  1. \(f\) es biyectiva.

    1. Inyectiva

      \begin{equation*} (\forall (a,b),(c,d)\in \mathbb{R}^2)(f(a,b)=f(c,d)\Rightarrow (a,b)=(c,d)) \end{equation*}
      \begin{equation*} (2a+3b-1,a-2b+2)=(2c+3d-1,c-2d+2) \end{equation*}
      \begin{equation*} \begin{array}{rcl|} 2a+3b-1\amp=\amp 2c+3d-1 \\ a-2b+2\amp=\amp c-2d+2 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

      Multiplicando la segunda ecuación por \(-2\) y sumamos obtenemos que \(b=d\text{,}\) reemplazando en la primera ecuación se obtiene que \(a=c\text{,}\) luego \((a,b)=(c,d)\text{.}\)

    2. Epiyectiva

      Si \(\Pi=\mathbb{R}^2\text{,}\) basta demostrar que \(\mathbb{R}^2\subseteq Rec(f)\text{.}\)

      Dado un \((c,d)\in \mathbb{R}^2\text{,}\) debe existir \((a,b) \in \mathbb{R}^2\) tal que \(f(a,b)=(c,d)\)

      \begin{equation*} (2a+3b-1,a-2b+2)=(c,d) \end{equation*}
      \begin{equation*} \begin{array}{rcl|} 2a+3b-1 \amp = \amp c \\ a-2b+2 \amp = \amp d \\ \hline \end{array} \end{equation*}

      Resolviendo el sistema se establece que:

      \begin{equation*} b=\frac{c-2d+5}{7} ; a=\frac{2c+3d-4}{7} \end{equation*}

      De este modo \(f\) es epiyectiva, entonces \(f\) es biyectiva.

  2. \(f:\mathcal{L}\longrightarrow \mathcal{L}\text{.}\)

    Sea \(l:\left\langle (a,b)\right\rangle +(c,d)\) recta, luego tenemos,

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} l\amp=\amp\{\alpha (a,b)+(c,d)\ |\ \alpha \in \mathbb{R}\} \\ l\amp=\amp\{(\alpha a+c,\alpha b+d)\ |\ \alpha \in \mathbb{R}\} \end{array} \end{equation*}

    Evaluando se obtiene

    \begin{equation*} \begin{array}{l} f(l)=\{f(\alpha a+c,\alpha b+d)\ |\ \alpha \in \mathbb{R}\} \\ %f(l)\amp=\amp\{ (2(\alpha a+c)+3(\alpha b+d)-1,\alpha a+c-2(\alpha b +d)+2) / \alpha \in \mathbb{R}\} \\ f(l)=\{ (2 \alpha a +2c+3 \alpha b +3d-1,\alpha a +c -2 \alpha b+2d+2) \ |\ \alpha \in \mathbb{R}\} \\ f(l)=\{ \alpha(2a+3b,a-2b)+(2c+3d-1,c-2d+2) \ |\ \alpha \in \mathbb{R}\} \end{array} \end{equation*}

    Luego tenemos

    \begin{equation*} f(l)=\left\langle (2a+3b,a-2b)\right\rangle +(2c+3d-1,c-2d+2). \end{equation*}
  3. Si \(P \ \mathcal{I} \ l \) entonces \(f(P) \ \mathcal{I} \ f(l)\)

    Sea \(l=\left\langle (a,b)\right\rangle +(c,d)\text{,}\) si \(P \ \mathcal{I} \ l \text{ entonces } P=\alpha_{0}(a,b)+(c,d)\)

    \begin{equation*} f(P)=\alpha_{0}(2a+3b,a-2b)+(2c+3d-1,c-2d+2) \end{equation*}

    en donde este punto \(\alpha_{0}(2a+3b,a-2b)+(2c+3d-1,c-2d+2)\) incide con \(f(l)\text{,}\) por ello \(f(P) \mathcal{I} f(l)\text{.}\)

  4. Si \(l\parallel m \) entonces \(f(l) \parallel f(m)\)

    \begin{equation*} \begin{matrix} l \amp = \amp \left\langle (a,b) \right \rangle +(c,d) \\ m \amp = \amp \left\langle (a,b) \right \rangle +(e,f) \\ \end{matrix} \end{equation*}
    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} f(l)\amp=\amp \left\langle (2a+3b,a-2b)\right\rangle +(2c+3d-1,c-2d+2)\\ f(m)\amp=\amp \left\langle (2a+3b,a-2b)\right\rangle +(2e+3f-1,e-2f+2) \end{array} \end{equation*}

    Luego

    \begin{equation*} f(l) \parallel f(m) \end{equation*}

    De este modo tenemos que \(f\) es colineación de \(\Pi\)

Observación 1.5.7

Sean \(l = \left\langle (a,b)\right\rangle +(c,d) \text{ y }m = \left\langle (x,y)\right\rangle +(z,w)\text{.}\)

\(l \parallel m\) si y sólo si \(\{(a,b),(x,y)\}\) son linealmente dependientes.

Notación
\begin{equation*} Aut(\Pi):=\{f:\Pi\longrightarrow \Pi \ |\ f \text{ es colineación }\}\subseteq Biy(\Pi). \end{equation*}