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Sección 4.8 Paralelismo en un Espacio Afín

La nocion de paralelismo dada en los planos afines, podemos extenderla a los subespacios afines en los espacios afines

Sea \((V,X,\cdot)\) un espacio afín, \(S_1=S(x,\mathcal{U}) \text{ y } S_2=S(y,\mathcal{W})\) subespacios afines.

La nocion de paralelismo se puede amplir a multidimensional, del siguiente modo

\(S_{1} \parallel S_2\) si y sólo si la \(\mathcal{U} \leq \mathcal{W}\) o bien \(\mathcal{W} \leq \mathcal{U}\text{.}\)

Al restriguir esta noción a los hiperplanos afines, obtenemos

\(S_{1} \parallel S_2\) si y sólo si la \(S_1=S_2\) o bien \(S_1\cap S_2=\phi \text{.}\)

Determine si \(S_1\) y \(S_2\) son paralelos donde

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} S_1 \amp = \amp \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \text{ } / \text{ } x+2y+z=1\} \\ S_2 \amp = \amp \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \text{ } / \text{ } x+2y+z=-7 \} \end{array} \end{equation*}
Solución

\(S_1:x=1-2y-z\text{,}\) entonces

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (x,y,z) \amp = \amp (1-2y-z,y,z) \\ (x,y,z) \amp = \amp (1,0,0)+(-2y,y,0)+(-z,0,z) \\ (x,y,z) \amp = \amp (1,0,0)+y(-2,1,0)+z(-1,0,1) \end{array} \end{equation*}

entonces

\begin{equation*} S_1 = S\left((1,0,0),\left\langle (-2,1,0),(-1,0,1) \right\rangle \right) \end{equation*}

Análogamente

\begin{equation*} S_2 = S\left( (7,0,0)\left\langle (-2,1,0),(-1,0,1)\right\rangle \right) \end{equation*}

Luego \(S_1 \parallel S_2\)

Supongamos \(S_1 \parallel S_2\text{,}\) por demostrar que existe \(t\) traslación tal que \(t(S_1)=S_2\)

Ya que \(\mathcal{U}=\mathcal{W}\text{,}\) tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{ccccc} S_1 \amp = \amp S(x,\mathcal{U}) \amp = \amp S(x,\mathcal{W}) \\ S_2 \amp = \amp S(y, \mathcal{W}) \amp = \amp S(y,\mathcal{U}) \end{array} \end{equation*}

Sea \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{xy}\text{,}\) luego \(t_{\overrightarrow{v}}(x)=y\) y por lo tanto

\begin{equation*} t_{\overrightarrow{v}}(S(x,\mathcal{U}))=S(\overrightarrow{v} \cdot x, \mathcal{U})=S(y,\mathcal{W}) \end{equation*}

Ahora supongamos que existe \(t\) traslación tal que \(t(S_1)=S_2\text{,}\) por demostrar \(S_1 \parallel S_2\text{.}\)

Sea \(S_1=S(x,\mathcal{U})\) y \(t_{\overrightarrow{v}}(S_1)=t_{\overrightarrow{v}}(S(x,\mathcal{U}))=S(\overrightarrow{v} \cdot x ,\mathcal{U})=S_2\text{,}\) luego ambos tienen la misma dirección por lo tanto \(S_1 \parallel S_2\text{.}\)

Sean \(S_1 = S(x,\mathcal{U}), S_2 = S(y, \mathcal{W})\)

Supongamos \(S_1 \parallel S_2\text{,}\) por demostración \(S_1=S_2 \vee S_1 \cap S_2= \varnothing\)

  1. Si \(S_1 \cap S_2= \varnothing\) listo

  2. Ahora \(S_1 \cap S_2 \neq \varnothing\text{,}\) por el teorema anterior, existe una traslación,luego \(\mathcal{U}=\mathcal{W} \text{,}\) además existe \(z \in X\) tal que \(z \in S_1 \cap S_2\) como \(S_1 \cap S_2\text{.}\) entonces

    \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} S_1 \amp = \amp S(x,\mathcal{U}) \amp = \amp S(z,\mathcal{U}) \\ S_2 \amp = \amp S(y,\mathcal{U}) \amp = \amp S(z,\mathcal{U}) \end{array} \end{equation*}

    Por lo tanto \(S_1 = S_2\)

Ahora supongamos \(S_1=S_2 \vee S_1 \cap S_2 = \varnothing\text{,}\) por demostrar \(S_1 \parallel S_2\text{.}\)

  1. Si \(S_1=S_2\text{,}\) entonces \(S_1 \parallel S_2\) listo

  2. Caso \(S_1 \cap S_2= \varnothing\text{,}\) por absurdo

    Supongamos que \(S_1 \cap S_2 = \varnothing \ \wedge \ S_1\not\, \parallel S_2 \text{.}\) Como \(\mathcal{U},\mathcal{W}\) son hiperplanos distintos se tiene que \(V=\mathcal{U}+\mathcal{W}\text{.}\)

    \(\overrightarrow{xy}\in V\text{,}\) existe \(\overrightarrow{u}\in \mathcal{U},\overrightarrow{w}\in \mathcal{W}\)

    \begin{equation*} \overrightarrow{xy}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w} \end{equation*}
    \begin{equation*} \begin{array}{rclr} (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w})\cdot x \amp = \amp y \amp /-\overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{u}\cdot x\amp = \amp -\overrightarrow{w}\cdot y \amp \end{array} \end{equation*}

    de donde \(\overrightarrow{u}\cdot y =-\overrightarrow{w}\cdot x\in S_1 \cap S_2 \neq \varnothing\)

    Por lo tanto

    \begin{equation*} S_1 \parallel S_2. \end{equation*}
Definición 4.8.4

Sea \((V,X,\cdot)\) un espacio afín y \(S=\{x_0,x_1,x_2,\cdots , x_n\} \subseteq X\text{.}\)

Se dice que \(S\) es linealmente independiente si y sólo si

\((\sharp (S)=1 )\vee \) \((\sharp (S) \gt 1 \wedge \{\overrightarrow{x_0x_1},\overrightarrow{x_0x_2},\cdots , \overrightarrow{x_0x_n}\})\) es linealmente independiente.
Definición 4.8.5

Sea \((V,X,\cdot)\) un espacio afín y \(S=\{x_0,x_1,x_2,\cdots , x_n\} \subseteq X\text{.}\)

Se define el subespacio afín generado por \(S\) es

\begin{equation*} S(x_0, \{\overrightarrow{x_0x_1},\overrightarrow{x_0x_2},\cdots , \overrightarrow{x_0x_n}\}) \end{equation*}

note que \(S=\{x_0,x_1,x_2,\cdots , x_n\} \subseteq S(x_0, \{\overrightarrow{x_0x_1},\overrightarrow{x_0x_2},\cdots , \overrightarrow{x_0x_n}\})\text{.}\)

Notemos que dado \(x,z\in X\) distintos, luego la recta afín que contiene a los puntos esta dada por

\begin{equation*} l_{xz}= S(x, \lt \overrightarrow{xz}\gt ) \end{equation*}

Del mismo modo la intersección de dos rectas afines, es vacía o un punto o son iguales.