Geometría Afín

Por axioma tres existen \(A,B,C \in \mathcal{P}\) (tres puntos no colineales)

Por lo tanto \([l_{AC}] \neq [l_{AB}] \neq [l_{BC}]\neq [l_{AC}]\text{,}\) en consecuencia existen al menos tres haces de paralelas.

Por el absurdo, supongamos que \(l \parallel m\) y \(m \cap t \neq \varnothing \wedge l \cap t = \varnothing\text{,}\) es decir, \(l \parallel t\text{,}\) entonces \(l \parallel m,\ l \parallel t \text{ y } t \cap m =\{P\}\text{,}\) en consecuencia por \(P\) pasan dos rectas paralelas a \(l\text{,}\) lo cual es una contradicción por unicidad de axioma dos.

Dada \(l, m\in \mathcal{L}\text{,}\) denotamos por \(\mathcal{P}_l =\{P\in \mathcal{P}\ | \ P\mathcal{I}l\}\text{,}\) debemos probar que \(\#\mathcal{P}_l=\#\mathcal{P}_m\text{.}\)

La demostración se realizara en dos caso,

1. Supongamos que \(l \nparallel m \) entonces \(l \cap m = \{ P\}\)

   Sea \(A \in \mathcal{P},\ A {\not\mathcal{I}} l \text{ y } A {\not\mathcal{I}} m\text{.}\) Por axioma dos sea \(l_{1} \in \mathcal{L}\) tal que \(A\mathcal{I}l_{1}\) y \(l_{1} \parallel l\text{,}\) de lo cual \(l_{1} \cap m=\{x_{1}\}\text{,}\) nuevamente por axioma dos tenemos que \(\exists! \ m_{1} \in \mathcal{L}\) tal que \(A\mathcal{I}m_{1} \text{ y } m_{1} \parallel m \text{,}\) luego \(m_{1} \cap l=\{x_{2}\}\text{.}\)

   Gracias a estos antecedentes podemos construir la siguiente función:

   \begin{equation*} \begin{matrix} f:\amp\{ x_2,P\} \amp \longrightarrow \amp \{ x_1,P \} \\ \amp x_{2} \amp\longrightarrow \amp x_{1} \\ \amp P \amp\longrightarrow \amp P \end{matrix} \end{equation*}
   

   Ahora veamos otros puntos. Sea \(P_1 \ \mathcal{I} \ l \text{ tal que } P_1 \neq P \text{ y } P_1 \neq x_1 \text{.}\) Unimos \(P_1\) con \(A\) a través de la recta \(l_{A P_1}\text{,}\) entonces

   

   luego tenemos \(l_{A P_{1}} \nparallel m\text{,}\) es decir, \(l_{A P_{1}}\cap m \neq \phi\text{,}\) luego, \(l_{A P_{1}} \cap m = \{P'_{1}\}\text{.}\)

   Por lo tanto

   \begin{equation*} \begin{matrix} f: \amp\mathcal{P}_l\amp\longrightarrow \amp\mathcal{P}_m \\ \amp P_1\amp\longrightarrow\amp P'_{1}\\ \amp P\amp\longrightarrow \amp P \\ \amp x_2\amp \longrightarrow \amp x_1 \end{matrix} \end{equation*}

   De modo que \(f\) es una función biyectiva, entonces el \(\#\mathcal{P}_l =\#\mathcal{P}_m\)

2. Supongamos ahora que \(l \parallel m\text{.}\)

   Sea \(t \in \mathcal{L}\) tal que \(t \cap l \neq \varnothing\text{,}\) por teorema anterior:

   

   Sabemos que \(t \nparallel l \text{ y } t \nparallel m\) por la primera parte entonces

   \begin{equation*} \#\mathcal{P}_t=\#\mathcal{P}_l \text{ y }\#\mathcal{P}_t=\#\mathcal{P}_m \end{equation*}

   del cual

   \begin{equation*} \#\mathcal{P}_l=\#\mathcal{P}_m. \end{equation*}

Sean \(l,m \in \mathcal{L}\text{,}\) con \(l \cap m \neq \varnothing\) y \([l]\) haz de rectas paralelas de dirección \(l\text{.}\) Construimos la correspondencia de cada recta del haz, le asociamos la intersección con \(m\)

Por lo tanto \(\#[l]=\#\mathcal{P}_m\text{.}\) En consecuencia todas las haces de paralelas tienen la misma cantidad de rectas

1. Sean \(P \in \mathcal{P}\text{ y } l \in \mathcal{L}\text{ tal que } P {\not\mathcal{I}} l\) en donde \(\#\Pi=n \wedge \#[l]=n\text{.}\)

   Al unir cada punto de \(l\) con el punto \(P\) obtenemos \(n\)-rectas y por axioma dos

   \begin{equation*} \left ( \exists!m\in \mathcal{L})(P\mathcal{I}m \wedge m \parallel l\right) \end{equation*}

   por lo tanto por \(P\) pasan \(n+1\) rectas.

   

2. Dada un recta entonces existe una paralela que pasa por \(P\) y considerando el resultado anterior que por \(P\) pasan \(n+1\) rectas, entonces existen \(n+1\) haces de paralelas.

3. Sea \(l \in \mathcal{L}\text{,}\) luego pertenece a únicos haz de paralelas \([l]\text{,}\) cada haz tiene \(n\) rectas y por lo anterior hay \(n+1\) haces de paralelas, por lo tanto

   \begin{equation*} \#\mathcal{L}=n(n+1)=n^2+n. \end{equation*}
   

4. Sea \([l]\) haz de paralelas, cada recta contiene \(n\) puntos y cada haz de paralelas contiene \(n\) rectas, por lo tanto

   \begin{equation*} \#P=n\cdot n = n^2. \end{equation*}