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Sección 5.3 Guía Planos Métricos

  1. En \(\mathbb{R}^2\) plano Euclidiano. Sean \(A=(-2,6), \ B=(4,-4)\) y \(R_{l}\) la simetría de eje \(l\text{.}\)

    Encuentre:

    1. La recta de tal manera que \(R_{l}(A)=B\)

    2. Determine \(R_{l}(x,y)\)

  2. En \(\Pi=\mathbb{Z}_{7}^{2}\text{,}\) plano métrico con \(f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1 x_2+y_1 y_2\text{.}\)

    Sean \(A=(5,1)\text{,}\) \(l\) la recta que une los puntos \(B=(1,1)\) y \(C=(2,4)\text{.}\)

    1. Determine la ecuación de la recta \(m\text{,}\) tal que \(A \mathcal{I} m\) y \(m \perp l_{BC}\)

    2. Determine \(R_{m}(x,y)\)

  3. En \(\Pi=\mathbb{Z}_{13}^{2}\text{,}\) plano métrico con \(f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1 x_2-2y_1 y_2\text{.}\)

    Si \(A=(5,6)\text{,}\) \(b=(-1,-3)\) y \(R\) la simetría tal que \(R(A)=B\text{.}\)

    Determine \(R(x,y)\)

  4. En \((\mathbb{Z}_{11}^{2},f)\) plano Euclidiano, con \([f]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 5 \end{pmatrix}\text{,}\) \(\mathcal{B}\) base de \(\mathbb{Z}_{11}^{2}\text{.}\)

    Sean \(A=(2,3), \ B=(-1,5)\) y \(R_{l}\) simetría de eje \(l\text{,}\) tal que \(R_{l}(A)=B\text{.}\)

    Determine \(R_{l}(x,y)\text{.}\)

  5. Sea \(\Pi\) plano métrico, \(\sigma \in \text{Aut}(\Pi)\text{,}\) \(l \in \mathcal{L}\text{.}\)

    Demostrar que \(\sigma \circ R_{l} \circ \sigma^{-1}=R_{\sigma (l)}\)

  6. En \(\mathbb{R}^2\) plano métrico, sean \(P=(4,-3)\) y \(H_P\) la simetría puntual de centro \(P\text{.}\)

    Determine \(H_{P}(x,y)\text{.}\)

  7. En \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\) plano Elíptico.

    Hallar la intersección de las rectas \(l_1\) y \(l_2\) tal que \(l_1\) une los puntos \(\left\langle (2,3,1)\right\rangle,\left\langle (0,1,4)\right\rangle\) y \(l_2\) tiene como polo al punto \(\left\langle (6,5,-1)\right\rangle\text{.}\)

  8. Sea \(\mathbb{Z}_{13}^{2}\) plano Euclidiano con \(f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1 x_2 - 5 y_1 y_2\text{.}\)

    Sea \(S\) la simetría tal que \(S(2,7)=(4,9)\text{.}\) Determine \(S(8,1)\)

  9. Sea \(\mathbb{R}^2\) plano Euclidiano. Sea \(\sigma\) la rotación de centro \((-1,1)\) y ángulo \(30^\circ\text{.}\) Determine \(\sigma(x,y)\)

  10. Sea \(f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C},f(z)=cis \alpha \cdot z\text{,}\) en donde \(cis \alpha=\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha\text{.}\) Compruebe que \(f\) es una rotación de centro \((0,0)\) y ángulo \(\alpha\) en \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

    Donde \(f\) esta dada por

    \begin{equation*} \begin{pmatrix} \cos \alpha \amp - \sin \alpha \\ \sin \alpha \amp \cos \alpha \end{pmatrix} \end{equation*}

  11. En el plano Elíptico \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sean \(l\) la recta de ecuación \(x+2y+z=0\) y \(P=\lt (-1,1,-1) \gt \text{.}\)

    Determine los vertices y lados del triángulo polar si uno de los lados es \(l\) y un vértice \(P\text{.}\)

  12. En el plano Elíptico \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sean \(P=\lt (-1,2,3) \gt \) y \(l:2x-4y-6z=0\text{.}\)

    Determine los vertices y lados del triángulo polar que tiene como vértice al punto \(P\) y lado a la recta \(l\text{.}\)

  13. En el plano Elíptico \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sean \(l\) la recta de ecuación \(2x+4z=0\) y \(P=\lt (-2,2,1) \gt \text{.}\)

    Determine los vertices y lados del triángulo polar si uno de los lados es \(l\) y un vértice \(P\text{.}\)

  14. En el plano Elíptico \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sean \(A=\left\langle(1,2,1)\right\rangle,B=\left\langle(0,1,1)\right\rangle,P=\left\langle(1,1,1)\right\rangle\text{.}\) Determine la ecuación de la recta \(m\) tal que \(P \mathcal{I} m \text{ y } m \perp l_{AB}\)

  15. Exprese \(R_{(1,1)},R_{\text{eje }X},R_{\text{eje }Y}\) mediante números complejos.

  16. Sea \(\Pi\) plano Elíptico. Demostrar que \(R_{a}(P)=P'\text{,}\) entonces \(R_{a}\circ H_{p} \circ R_{a}=H_{P'}\)

  17. Sea \(\Pi\) plano Elíptico. Si \(P \mathcal{I} a\text{,}\) entonces \(R_{a} \circ H_{P}=H_{P} \circ R_{a}\)

  18. En el plano Elíptico \(\mathbb{P}_2(\mathbb{R}^3)\text{,}\) sea \(P=\left\langle(0,1,1)\right\rangle\)

    1. Determine \(l\) y \(m\) tal que \(l \perp m \) y \(l \cap m=\{P\}\)

    2. Calcule \(H_{P}(\left\langle(x,y,z)\right\rangle)\)

  19. En el semiplano de Poincare, sea \(P=(3,1)\) y \(l\) la recta de ecuación \(x=2\text{.}\)

    Determine la recta \(m\) tal que \(P\mathcal{I}m \text{ y } m \perp l\)

  20. En el semiplano de Poincare, sea \(l:x=1, P=(2,3)\text{.}\)

    Determine la ecuación de las paralelas hiperbólicas a \(l\) que pasan por \(P\)

  21. En el semiplano de Poincare, sean \(l=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2\text{ } / \text{ } x^2+y^2=1, y>0\}\text{,}\) \(m\) la recta de ecuación \(x=1\text{.}\)

    Determine la ecuación de \(R_{l}(m)\)

  22. En el semiplano de Poincare, sean \(l:|z|=4\) y \(P=3i\text{.}\)

    Determine la ecuación de \(m\) tal que \(P \mathcal{I} m \text{ y } m \perp l\)

  23. En el semiplano de Poincare, sea \(P=1+2i\text{.}\)

    Calcule \(H_{P}(z)\)

  24. En el semiplano de Poincare. Sean \(l:|z|=5\) y \(P=3i-4\text{.}\)

    Determine la ecuación de \(m\) tal que \(P \mathcal{I}m \text{ y } m \perp l \)

  25. En el semiplano de Poincare. Sean \(P=-1+3i\) y \(Q=6+4i\text{.}\)

    1. Determine la ecuación de \(m\) tal que \(P \mathcal{I}m \) y \(Q \mathcal{I}m \)

    2. Calcule \(R_m(z)\text{.}\)

  26. Dado el semiplano de Poincare:

    1. Si \(t\) traslación a lo largo de la recta \(x=5\text{.}\) Determine \(t(z)\) con \(z\in \mathbb{C}\)

    2. Determine los elementos del grupo de rotaciones de centro \(i\)

  27. \(\bigstar\) En \(\Pi\) plano métrico.

    Demuestre que para todo \(l \in \mathcal{L}\) y \(P\in \mathcal{P}\) tal que \(P\mathcal{I}l\) se tiene que \(H_P(l)=l\text{.}\)

  28. \(\bigstar\) En \(\Pi\) plano métrico. Sean \(a,b,c\) rectas no concurrentes a un punto tales que \(M \mathcal{I} u, v\text{;}\) \(A \mathcal{I}v, C \mathcal{I} u\) tal que \(R_{u}(a)=u\) y \(R_{v}(b)=c\text{.}\)

    Demuestre que existe \(w\) tal que \(u \perp w, R_{w}(c)=(a)\) entonces \(R_{w}=c\)