Teorema 2.3.1
Sea \(\Pi=(\mathcal{P},\mathcal{L},\mathcal{I})\) un plano proyectivo.
El plano dual \(\Pi^*=(\mathcal{P}^*,\ \mathcal{L}^*, \ \mathcal{I}^*)\) es un plano proyectivo, llamado plano proyectivo dual.
Sección 2.3 Plano Proyectivo Dual
¶El principio de la dualidad, es que todo propiedad sobre puntos y rectas es una propiedad sobre rectas y puntos.
Sea \(\Pi=(\mathcal{P},\mathcal{L},\mathcal{I})\) un plano proyectivo y se define \(\Pi^*\) el plano dual, donde los puntos son rectas y las rectas son puntos. De otro modo tenemos la estructura de incidencia dada por \(\Pi^*=(\mathcal{P}^*,\mathcal{L}^*,\mathcal{I}^*)\) tal que
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
\mathcal{P}^* \amp = \amp \mathcal{L} \\
\mathcal{L}^* \amp = \amp \mathcal{P} \\
\mathcal{I}^*:l \ \mathcal{I}^* \ P \amp \Leftrightarrow \amp P \ \mathcal{I} \ l
\end{array}
\end{equation*}
Demostración
Verifiquemos las axiomas del plano proyectivo.
Axioma uno: Por dos puntos distintos pasa una única recta.
Sea \(l,m \in \mathcal{P}^* \text{ luego } l,m \in \mathcal{L}\text{,}\) entonces por axioma dos:
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
l \cap m \amp \neq \amp \varnothing \\
l \cap m \amp = \amp \{P\}
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(P \mathcal{I} l \wedge P \mathcal{I}m\) entonces \(l \mathcal{I}^* P \wedge m \mathcal{I}^* P\text{,}\) de este modo tenemos
\begin{equation*}
(\exists ! P \in \mathcal{L}^*)( l \mathcal{I}^* P \wedge m \mathcal{I}^* P)
\end{equation*}
Axioma dos: Sea \(P,Q \in \mathcal{L}^* \text{ tal que } P \neq Q \text{,}\) entonces \(P \cap Q \neq \varnothing\text{.}\)
Si \(P,Q \in \mathcal{L}^*\) entonces \(P,Q \in \mathcal{P}\text{,}\) luego existe unica \(l \in \mathcal{L}\) tal que \(P\mathcal{I}l \wedge Q\mathcal{I}l\) es decir, \((l \ \mathcal{I}^* \mathcal{P}\wedge l \ \mathcal{I}^* \ Q)\text{,}\) por lo tanto
\begin{equation*}
(\exists ! l \in \mathcal{P}^*)(l\mathcal{I}^* P\wedge l\mathcal{I}^* Q)
\end{equation*}
Axioma tres: Existe un cuadrángulo, en \(\Pi\) existe un cuadrángulo.
Por lo tanto, el cuadrangulo es \(l_{PQ},l_{SP}, l_{SR}, L_{RQ}\)
\begin{equation*}
\Pi^* \text{ es un plano proyectivo}
\end{equation*}
Observación 2.3.2
Recordemos el propiedad
"En el plano proyectivo, todas las rectas tienen el mismo número de puntos."
por dualidad ahora tenemos
"En el plano proyectivo, por todos los puntos pasan el mismo número de rectas."