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Sección 3.4 Plano Elíptico

En esta seccion estudiaremos los planos métricos, que no cumplen el quinto axioma de Euclides, una de las posible forma es la no existencia de rectas paralelas, a continuacion construiremos modelos de la realización de estos planos Elípticos

Un plano elíptico \(\Pi=(\mathcal{L},\ \mathcal{P},\ \mathcal{I}, \ \perp)\) es un plano métrico \(\Pi\) que satisface el axioma elíptico, es decir,

  1. Los axiomas afines

  2. Los axiomas de ortogonalidad

  3. Los axiomas de colinealidad

  4. Axioma elíptico: Para toda \(l,m \in \mathcal{L} \text{, entonces } l \cap m \neq \varnothing\)

Subsección 3.4.1 Modelo de Plano Elíptico

Construyamos un modelo de Plano Elíptico, para ello consideremos la esfera unitaria y centro en el origen, es decir,

\begin{equation*} S=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \ | \ a^2+b^2+c^2=1 \}. \end{equation*}
  1. Notemos que una recta vectorial intersecta a la esfera \(S \) en dos puntos.

    Puntos del plano elíptico

    \begin{equation*} \mathcal{P}=\{ [(x,y,z),(-x,-y,-z)];(x,y,z) \in S \} \end{equation*}

    Los puntos \([(x,y,z),(-x,-y,-z)]\) se les llama puntos antipolares o bipuntos, tambien por comodidad lo denotamos por \([(x,y,z),(-x,-y,-z)]=\lt (x,y,z)\gt \)

  2. Un plano vectorial intersecta a la esfera \(S\) en una circunferencia de radio máximo.

    Rectas del plano elíptico

    \(\mathcal{L}=\{\text{circunferencia de radio máximo de }S\}\text{,}\) si \(l_1,l_2\) son rectas, entonces en \(S\) tienen ecuaciones de la forma:

    \begin{equation*} \begin{array}{ccc} l_1 \amp : \amp a_1x+b_1y+c_1z=0 \\ l_2 \amp : \amp a_2x+b_2y+c_2z=0 \end{array} \end{equation*}
  3. La incidencia\(P \mathcal{I} l\) si y sólo si \(P\subseteq l\)

  4. La Ortogonalidad en \(\mathcal{L}\text{.}\)

    Sean \(l_1\) y \(l_2\) en \(\mathcal{L}\text{,}\) definida por:

    \begin{equation*} \begin{array}{ccc} l_1 \amp : \amp a_1x+b_1y+c_1z=0 \\ l_2 \amp : \amp a_2x+b_2y+c_2z=0 \end{array} \end{equation*}

    note que podemos escribir las ecuaciones del siguiente modo

    \begin{equation*} \begin{array}{ccc} l_1 \amp : \amp (a_1, b_1 ,c_1)(x,y,z)=0 \\ l_2 \amp : \amp (a_2, b_2, c_2)(x,y,z)=0 \end{array} \end{equation*}

    Los vectores \((a_1, b_1, c_1),(a_2, b_2, c_2)\) son perpendicular a los respectivos planos en el espacio.

    Por ello se define, la ortogonalidad

    \begin{equation*} l_1 \perp l_2 \text{ si y sólo si } a_1 \cdot a_2+ b_1\cdot b_2+c_1\cdot c_2 =0 \end{equation*}

Consideremos las planos \(XY\text{,}\)\(XZ\) y \(YZ\) donde las ecuaciones están dadas por \(l_z: z=0\text{,}\) \(l_y: y=0\text{,}\) \(l_x :x=0\) respectivamente.

Los rectas en el plano elíptico son perpendiculares ya que

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} l_z \perp l_y \amp\Leftrightarrow\amp 0 \cdot 0+ 0\cdot 1+1\cdot 0 =0 \\ l_z \perp l_x \amp\Leftrightarrow\amp 0 \cdot 1+ 0\cdot 0+1\cdot 0 =0 \\ l_y \perp l_x \amp\Leftrightarrow\amp 0 \cdot 1+ 1\cdot 0+0\cdot 0 =0 \end{array} \end{equation*}

Una visualización en el primer octante \(x,y,z>0\text{,}\) de los planos asociado a los ejes están dados por

Definición 3.4.3

Sean \(\Pi\) plano métrico y \(a,b,c \in \mathcal{L}\text{.}\)

Se dice que \(a,b,c\) es un Triángulo Polar si y sólo si \(a \perp b , \ b \perp c \) y \(c \perp a\text{.}\)

Observación 3.4.4

En el figura anterior, tenemos que \(x=0\text{,}\) \(y=0\text{,}\) \(z=0\) forman un triángulo polar en el primer octante, con los bipuntos \(\lt (1,0,0)\gt, \lt (0,1,0)\gt, \lt (0,0,1)\gt\) y además la suma de los ángulos interiores de este triángulo son tres rectos.

Definición 3.4.5

Sea \(\Pi\) plano métrico, \(P \in \mathcal{P}\) y \(l \in \mathcal{L}\text{.}\)

Se dice que \(P\) es polo de \(l\) si y sólo si existen \(u,v \in \mathcal{L}\text{,}\) distintas tales que \(u \perp l , \ v \perp l\) y \(u \cap v = \{ P \}\text{.}\)

Comprobar que \(\lt (0,0,1)\gt\) es el polo de \(l=\lt (0,1,0), (1,0,0)\gt\text{.}\)

Solución 1

En la figura anterior, tenemos que \(u=\lt (1,0,0), (0,0,1)\gt\text{,}\) \(v=\lt (0,1,0), (0,0,1)\gt\) son recta ortogonales a \(l\text{,}\) ya que forman un triángulo polar.

Sea \(\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}^3)\) plano elíptico.

Determinar la recta que une \(P=\left\langle (2,3,-1)\right\rangle\) y \(Q=\left\langle(1,1,5)\right\rangle\)

Solución 2

La recta que pasa por \(P\) y \(Q\) es

\begin{equation*} l_{PQ}=\left \langle (2,3,-1),(1,1,5)\right \rangle \end{equation*}

y su ecuación cartesiana esta dada por

\begin{equation*} l_{PQ}: \left | \begin{array}{ccc} x \amp y \amp z \\ 2 \amp 3 \amp -1 \\ 1 \amp 1 \amp 5 \end{array}\right | = 0 \end{equation*}

De lo cual se obtiene \(l_{PQ}:16x-11y-z=0\text{.}\)

Además note que las rectas

\begin{equation*} \begin{array}{rrcl} a: \amp 2x+3y-z \amp = \amp 0 \\ b: \amp x+y+5z \amp = \amp 0 \end{array} \end{equation*}

son perpendiculars \(l_{PQ}\) ya que

\begin{equation*} \begin{array}{ccc} (2,3,-1)(16,-11,-1) \amp = \amp 0 \\ (1,1,5)(16,-11,-1) \amp = \amp 0 \end{array} \end{equation*}

Sean \(\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}^3)\) plano elíptico, \(l:2x+3y-z=0\) y \(\delta = \left \langle (1,0,2) \right \rangle\text{.}\)

Determinar los lados y vértices del triángulo polar formado por el vértice \(\delta \) y el lado \(l\text{.}\)

Solución 3

Teniendo presente el ejemplo anterior tenemos que la recta que une los puntos

\begin{equation*} l_{PQ}: \begin{array}{|ccc|} x \amp y \amp z \\ 2 \amp 3 \amp -1 \\ 1 \amp 0 \amp 2 \end{array} = 6x-5y-3z=0 \end{equation*}

Luego

Subsección 3.4.2 Simetrías en el Plano Elíptico

Todo plano vectorial en \(\mathbb{R}^3\) es el eje de una simetría

Los puntos \(P,P'\) son simétricos respecto al plano.

Teniendo presente el producto interno usual en \(\mathbb{R}^3\text{,}\) obtenemos un resultado similar, esto es

\begin{equation*} R_W (\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{x}-2\frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{ n} } \overrightarrow{n} \end{equation*}

donde \(\overrightarrow{n}\) es perpendicular al plano \(W\text{.}\)

Si \(d(O,P)= d(O,P')= d(0,-P)=d(O,-P')\text{,}\) luego si uno de ello pertenece a la circunferencia unitaria, todos pertenecen, por ello tenemos la definida la simetría en los puntos antipolares de Plano Elíptico del siguiente modo

\begin{equation*} R_W([P,-P])= [R_W(P),R_W(-P)]= [P',-P']. \end{equation*}

Sea \(\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}^3)\) plano elíptico.

Determinar la simetrías en el plano elíptico respecto a la recta

\begin{equation*} l: 2x+3y-z=0. \end{equation*}
Solución

En \(\mathbb{R}^3\text{,}\) notemos que \(\overrightarrow{n}= (2,3,-1)\) y \(\overrightarrow{n}\cdot overrightarrow{n}= 4+9+1=14\text{,}\) con lo anterior tenemos la simetría esta dada por

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} R_l(x,y,z)\amp=\amp (x,y,z)-2\frac{1}{14}(2x+3y-z)(2,3,-1)\\ \amp=\amp\frac{1}{7}( 3x-6y+2z, -6x-2y+3z, 2x+3y+6z) \end{array} \end{equation*}

aplicada a un punto antipolar o bipunto, como por ejemplo tenemos

\begin{equation*} R_l([e_1,-e_1])= \left[\left(\frac{3}{7},\frac{-6}{7},\frac{2}{7}\right), -\left(\frac{3}{7},\frac{-6}{7},\frac{2}{7}\right)\right] \end{equation*}

Supongamos que \(P \mathcal{I} l\text{.}\)

Por \(P\) pasan dos rectas perpendiculares a \(l\text{,}\) y estas son \(u,v\) esto es una contradicción, ya que por la recta \(l\) solo pasa una recta perpendicular en \(P\text{.}\)

Si \(P\) es un polo de \(l\text{,}\) luego existen \(u,v \in \mathcal{L}\text{,}\) con \(u \neq v\text{,}\) tales que \(u \perp l, \ v \perp l \) y \(u \cap v= \{P\}\text{.}\)

Por propiedad anterior tenemos que

\begin{equation*} R_{l}(u)=u \text{ y } R_{l}(v)=v \end{equation*}

de este modo tenemos que

\begin{equation*} R_{l}(u) \cap R_{l}(v)=u \cap v= \{P\} \end{equation*}

es decir \(R_{l}(P)=P\text{.}\)

Supongamos que \(l \cap m = \{ Q \}\text{,}\) entonces \(R_{l}(Q)=Q\text{.}\)

Dada la recta \(l_{PQ}\text{,}\) pero \(P\) y \(Q\) son fijos por \(R_l\text{,}\) entonces \(R_{l}(l_{PQ})=l_{PQ}\) por eso es perpendicular a la recta \(l\text{.}\)

Luego tenemos

\begin{equation*} l_{PQ}=m \text{, ya que por } Q \text{ pasa una única ortogonal a la recta }l. \end{equation*}

Supongamos que \(P_1\) y \(P_2\) son polo de \(l\text{,}\) si \(P_1\) es polo de \(l\text{,}\) entonces \(\exists \ u,v \in \mathcal{L}\) distintas tales

\begin{equation*} u \perp l \ \wedge \ u \cap v = \{P_1\} \end{equation*}

Pero \(u \perp l \) y \(v \perp l\text{,}\) por teorema anterior \(P_2 \mathcal{I}u\) y \(P_2 \mathcal{I}v\text{,}\) si los puntos fueran distintos las recta \(u,v\) serían iguales lo cual es imposible, por lo tanto \(P_1=P_2\text{,}\) es decir

\begin{equation*} u \cap v = \{P\}=\{P_1\}=\{P_2\} \end{equation*}

Sea \(Q \mathcal{I}m\text{,}\) tal que \(Q\neq P\) y sea \(l_Q \in \mathcal{L}\) tal que \(Q \mathcal{I}l_Q \ \wedge \ l_Q \perp l\text{,}\) por ello tenemos que \(P \mathcal{I}l_Q \) y además \(Q, P \mathcal{I}m\text{,}\) por ello

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} l_Q \amp = \amp m \\ m \amp \perp \amp l \end{array} \end{equation*}

Sea \(\Pi\) plano métrico y \(P\) es polo de \(l\text{.}\) Dado \(Q\) un punto en el plano métrico.

Primer caso \(Q\mathcal{I}l\text{.}\)

Sea \(l_{PQ}\) la recta que une \(P\text{,}\) \(Q\text{,}\) además \(u\) recta ortogonal a \(l_{PQ}\) en el punto \(P\text{,}\) por ello tenemos que

\begin{equation*} l_{PQ} \perp u \wedge l \perp u \end{equation*}

Además ambas contiene a \(Q\text{.}\)

Segundo caso \(Q\not\mathcal{I} l\text{.}\)

Sea \(l_{PQ}\) la recta que une \(P\text{,}\) \(Q\text{,}\) de este modo tenemos \(l_{PQ} \perp l\text{.}\) Además sea \(u\) la recta tal que \(u\perp l_{PQ}\) y contiene \(P\text{,}\) de este modo \(l_{PQ}\) es la recta polar de \(u \cap l=\{R\}\) y \(Q\) pertenece a ella. Aplicando el caso anterior, se construye la recta polar.

Para la otra parte.

Dado \(l'\) una recta, luego contiene un punto \(P\) y por lo anterior el tiene una recta polar \(l\text{.}\) Luego tenemos \(l\perp l'\text{.}\) Consideremos \(l_P\text{,}\) la recta perpendicular a \(l'\) en el punto \(P\text{,}\) por ello \(l_P \perp l\text{,}\) de este modo tenemos que \(l_P \cap l =\{R\}\) es el polo de \(l'\text{.}\)

Sea \(P\) polo de \(l\) y \(l'\text{.}\)

Toda recta ortogonal a \(l\text{,}\) pasa por \(P\text{,}\) y por ende es ortogonal a \(l'\) y toda recta \(l''\) tal que \(P \mathcal{I}l''\) tenemos que \(l'' \perp l \) y \(l'' \perp l'\text{.}\)

Sea \(Q \mathcal{I}l \ \wedge \ Q \mathcal{I}l'\text{,}\) \(l_Q\) la recta ortogonal a \(l\text{,}\) luego \(P \mathcal{I}l_Q\text{,}\) de lo cual \(l_Q \perp l'\text{.}\)

Es decir, \(l,l'\) son ortogonales a \(l_Q\) en el punto \(Q\text{,}\) luego por unicidad de la recta ortogonal, tenemos que \(l=l'\text{.}\)

Sea \(l_{1},l_{2} \in \mathcal{L}\text{,}\) por demostrar que \(l_{1} \cap l_{2} \neq \varnothing\text{.}\)

Supongamos que \(P\) es el polo de \(l_1\) y \(Q\) es polo de \(l_{2}\text{,}\) como \(l_{1},l_{2} \perp l_{PQ}\text{,}\) entonces \(l_{1}\) y \(l_{2}\) pasan por el polo de \(l_{PQ}\text{,}\) por lo tanto

\begin{equation*} l_{1}\cap l_{2}\neq \varnothing \end{equation*}
  1. Sea \(\Pi\) un plano elíptico, por demostrar que cada recta tiene un polo.

    Dada la recta \(l\) y \(A,B \mathcal{I}l\text{.}\)

    Sean \(u,v \in \mathcal{L}\text{,}\) tal que \(A\mathcal{I}u\text{,}\) \(u \perp l\) y \(B\mathcal{I}v \text{,}\) \(v\perp l\text{,}\) de este modo tenemos \(u\cap v=\{P\}\text{,}\) de donde \(P\) es el polo de \(l\text{.}\)

  2. Si cada recta tiene un polo, por demostrar cada punto tiene una polar.

    Sea \(P\) un punto, escogemos \(Q\) otro punto, luego la recta \(l_{PQ}\) tiene un polo \(R\text{,}\) trazamos la recta \(l_{PR}\) y la recta ortogonal a \(l_R\text{,}\) ortogonal a \(l_{PR}\text{,}\) de la construcción obtenemos que \(l_R\) es la recta polar a \(P\text{.}\)

  3. Si cada punto tiene una recta polar entonces existe un par polo-polar.

    Este demostración se deja para el lector, dado que es trivial.

  4. Si existe un par polo-polar entonces el plano \(\Pi\) contiene un triángulo polar.

    Sea \((P,l)\) par polo polar.

    Sea \(m \in \mathcal{L}\) tal que \(m \perp u \ \wedge P \mathcal{I} m\text{,}\) entonces \(m \perp l\)

    existe un triángulo polar.
  5. Si existe un triángulo polar entonces \(\Pi\) es un plano elíptico.

    Sea \((P,l)\) una par polar, por teorema \ref{teo33} toda recta tiene un polo y aplicando teorema \ref{teo35} \(\Pi\) es elíptico.

Subsección 3.4.3 Colineaciones en el Plano Elíptico

Sean \(\Pi\) plano elíptico y \((P,l)\) par polo-polar.

Si \(P\) es polo de \(l\text{,}\) entonces existen \(u,v \in \mathcal{L}\) tales que \(u,v \perp l \text{ } \wedge \text{ } u \cap v = \{P\}\text{.}\)

De lo cual obtenemos que \(R_{l}(P) = P\text{.}\)

Observación 3.4.20

Recordemos que una rotación \(\sigma\) de centro \(Q\) en un plano métrico significa que existen \(u,v \in \mathcal{L}\) tales que \(u\cap v =\{Q\}\) y \(\sigma = R_u\circ R_v\)

Sea \(\sigma\) es rotación, entonces

\begin{equation*} (\exists l,m \in \mathcal{L})(\sigma = R_l \circ R_m \text{ } \wedge \text{ } m \cap l = \{P\}) \end{equation*}

Sea \(t\) la recta polar de \(P\text{,}\) de donde se tiene que \(m \perp t \ \wedge \ l \perp t\text{,}\) entonces

\begin{equation*} \begin{array}{ccc} \sigma(t) \amp = \amp (R_{l} \circ R_{m})(t) \\ \amp = \amp R_{l}(R_{m}(t)) \\ \amp = \amp R_{l}(t) \\ \sigma(t) \amp = \amp t \end{array} \end{equation*}

De este modo se obtiene que \(t\) esta fija.

\begin{equation*} \sigma(t)=t \end{equation*}

Como \(H_P\) es una simetría puntual, existen \(u,v \in \mathcal{L}\) tales que \(u\cap v =\{P\} \wedge u\perp v\) y \(H_P = R_u\circ R_v\text{.}\)

Sea \(l\) la recta polar de \(P\text{,}\) y los puntos de incidencia \(l\cap u=\{Q\}\wedge l\cap v=\{R\}\text{.}\) Por propiedad anterior \(H_P(l)=l\text{.}\)

Sabemos que \(Q\mathcal{I}l,u\text{,}\) \(R_v(Q)\mathcal{I}l, u\text{,}\) de lo cual tenemos \(R_v(Q)=Q\) y por ende tenemos \(H_P(Q)=Q\) análogamente \(H_P(R)=R\text{.}\)