Geometría Afín

1. \(\parallel\) es refleja, es decir, \((\forall l \in \mathcal{L})(l \parallel l)\text{,}\) para ello tenemos que

   \begin{equation*} l=l \text{, luego } l \parallel l. \end{equation*}

2. \(\parallel\) es simétrica, es decir, \((\forall l, m \in \mathcal{L})(l \| m \Rightarrow m \parallel l)\)

   Consideremos dos rectas paralelas \(l\parallel m\) luego se tiene que

   \begin{equation*} l \cap m =\ \phi\ \vee\ l=m \end{equation*}

   lo cual es equivalente a

   \begin{equation*} m \cap l = \phi\ \vee\ m=l, \end{equation*}

   es decir, \(m\parallel l\text{.}\)

3. \(\parallel\) es transitiva, es decir, \((\forall \ l,m,t \in \mathcal{L})(l\parallel m \wedge m \| t \Rightarrow l \parallel t)\text{.}\)

   Lo cual demostraremos por el absurdo. Sean \(l,t,m\) tres rectas tales que \(l\parallel m \ , \ m \parallel t \text{ y } l\nparallel t\text{,}\) como \(l \nparallel t\) luego, \(l \neq t \text{ y }l \cap t = \{P\}\text{,}\) pero por \(P\) pasan dos rectas paralelas a \(m\) contradicción (unicidad del axioma dos). Por lo tanto la relación de paralelismo es una relación de equivalencia.

   

Por axioma tres sabemos que existen tres puntos no colineales \(A,B,C\text{,}\) del cual por axioma uno, existen tres rectas que unen a estos tres puntos que los definiremos como \(l_{AB},l_{BC},l_{AC}\) respectivamente como se observa en la imagen.

Consideremos la recta \(l_{AB}\text{,}\) por axioma dos tenemos que existe una recta paralela a \(l_{AB}\) que la designaremos por \(l_{1}\) y que pasa por el punto \(C\text{,}\) análogamente se prueba la existencia de una recta paralela a \(l_{AC}\) que pasa por \(B\) que llamaremos por \(l_{2}\text{,}\) como la recta \(l_{AB} \bigcap l_{AC} \neq \varnothing\) entonces también lo hacen las rectas \(l_{1}\) y \(l_{2}\) en el punto \(D\) y para concluir determinaremos la existencia de la recta \(l_{AD}\) que pasa respectivamente por los puntos \(A,D\text{.}\)

Sean \(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \in \mathcal{V}\) con \(\overrightarrow{w} \neq 0\text{,}\) definamos la recta afines \(l\) en dirección \(\overrightarrow{w}\) y trasladada en \(\overrightarrow{v}\text{,}\) por \(l=\{ \alpha \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v} \ | \ \alpha \in \mathbb{K} \}\)

Sea \(l=\{ \alpha \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v} \ | \ \alpha \in \mathbb{K}\}\) una recta afín, por comodidad se denotara por

La Incidencia esta definida por \(\overrightarrow{P} \ \mathcal{I} \ l \) es equivalente a \(\overrightarrow{P} \in l\text{.}\) De otro modo, existe \(\alpha \in \mathbb{K}\) tal que \(\overrightarrow{P}=\alpha \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\text{.}\)

Verifiquemos los axiomas del plano afín.

1. Sea \(\overrightarrow{A},\overrightarrow{B} \in \mathcal{V}\) con \(\overrightarrow{A} \neq \overrightarrow{B}\text{.}\) Debemos demostrar que existe \(m \in \mathcal{L}\) tal que \(\overrightarrow{A} \ \mathcal{I} \ m\) y \(\overrightarrow{B} \ \mathcal{I} \ m\text{.}\)

   Para ello tenemos que \(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \neq \overrightarrow{0}\) y definamos

   \begin{equation*} m= \left\{ \alpha \left( \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right)+ \overrightarrow{A} \ | \ \alpha \in \mathbb{K} \right\}, \end{equation*}

   luego tenemos que \(\overrightarrow{A}=0 \left( \overrightarrow{A}- \overrightarrow{B} \right)+\overrightarrow{A}\text{,}\) entonces \(\overrightarrow{A} \in m\text{,}\) es decir, \(\overrightarrow{A} \ \mathcal{I} \ m\text{.}\) Análogamente \(\overrightarrow{B}=(-1)\left( \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right)+ \overrightarrow{A}\text{,}\) es decir, \(\overrightarrow{B} \ \mathcal{I} \ m\text{.}\)

   

   Unicidad: Supongamos que \(\exists t \in \mathcal{L}\) de modo que

   \begin{equation*} t=\left\{ \alpha \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v} \ | \ \alpha \in \mathbb{K} \right\} \end{equation*}

   tal que \(\overrightarrow{A} \ \mathcal{I} \ t \text{ y } \overrightarrow{B} \ \mathcal{I} \ t\text{,}\) luego existe un \(\alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{K}\) distintos tales que

   \begin{equation*} \begin{array}{rcl|} \overrightarrow{A} \amp = \amp \alpha_1 \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{B} \amp = \amp \alpha_2 \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v} \\ \hline \end{array} \end{equation*}

   de lo cual

   \begin{align*} \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \amp = \amp \alpha_1 \overrightarrow{w}-\alpha_2 \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v} \amp \\ \amp = \amp \alpha_1 \overrightarrow{w}-\alpha_2 \overrightarrow{w} \amp \\ \amp = \amp (\alpha_1-\alpha_2)\overrightarrow{w} \amp \\ \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \amp = \amp \alpha_3 \overrightarrow{w} \amp \text{ con }\alpha_3 \neq 0 \\ \overrightarrow{w} \amp = \amp (\alpha_3)^{-1}\left( \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right) \amp \end{align*}

   Por lo tanto \(\left \langle \overrightarrow{w} \right\rangle = \left \langle \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} \right \rangle\) y \(\overrightarrow{A} \in t\cap m\text{,}\) luego \(t=m\text{.}\)

2. Sean \(\overrightarrow{A} \in \mathcal{V}, \ l \in \mathcal{L}\text{ y } \overrightarrow{A}\ {\not\mathcal{I}} \ l\text{.}\) Por demostrar que existe una recta \(m \in \mathcal{L}\) tal que \(\overrightarrow{A} \ \mathcal{I} \ m \wedge m \parallel l \text{.}\)

   Sea \(l:\left\langle \overrightarrow{w}\right\rangle + \overrightarrow{v}\) la recta debe tener la misma dirección y contener al vector \(\overrightarrow{A}\text{,}\) entonces la recta \(m\) de define como:

   \begin{equation*} m:\left\langle \overrightarrow{w}\right\rangle + \overrightarrow{A} \end{equation*}
   

   Unicidad

   Supongamos que \(\exists t \in \mathcal{L}\) tal que \(\overrightarrow{A}\mathcal{I}t , \ \overrightarrow{A}\mathcal{I}m\text{,}\) el cual definiremos como \(t:=\lt\overrightarrow{x}\gt + \overrightarrow{y}, m:=\lt\overrightarrow{w}\gt+\overrightarrow{A}\text{.}\)

   Ya que \(\overrightarrow{A} \in t\) entonces \(t=\left\langle \overrightarrow{x}\right\rangle + \overrightarrow{A}\) pero \(t \parallel m\text{,}\) entonces \(\left\langle \overrightarrow{x}\right\rangle = \left\langle \overrightarrow{w}\right\rangle\) luego \(m=\left\langle \overrightarrow{x}\right\rangle+\overrightarrow{A}\) es decir,

   \begin{align*} t \amp = \amp \left\langle \overrightarrow{w}\right\rangle + \overrightarrow{A} \\ m \amp = \amp \left\langle \overrightarrow{w}\right \rangle + \overrightarrow{A} \end{align*}

   en consecuencia \(t=m\text{.}\)

3. Por demostrar que existe un triángulo.

   Sea \(B=\{\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}}\}\) base de \(\mathcal{V}\text{,}\) y \(\overrightarrow{0}\in \mathcal{V}\) entonces tenemos \(\overrightarrow{0},\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}}\) no son colineales, ya si \(l\) contiene a los tres elementos \(\overrightarrow{0} \in l\)

   \begin{equation*} l:\left\langle \overrightarrow{w}\right\rangle +\overrightarrow{0} \end{equation*}

   pero \(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\in l\)

   \begin{equation*} \overrightarrow{v_1}=\alpha_1 \overrightarrow{w} \ , \ \overrightarrow{v_2}=\alpha_2 \overrightarrow{w} \end{equation*}

   luego \(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\) son linealmente dependiente.

   

   De este modo, existen tres puntos no colineales.

   Por lo tanto \(\Pi=(\mathcal{V}, \mathcal{L},\mathcal{I}) \text{,}\) es un {\rm Plano Afín}