Sección 4.7 Ecuación de un Hiperplano Afín
¶Sea \(S(x_0,\mathcal{U})\) un hiperplano afín y \((x_0,B)\) un sistema de coordenadas en \(X\text{.}\) Supongamos
\begin{equation*}
[x_1]_{(x_0,B)}=\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix} \text{ y } [x]_{(x_0,B)}\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Sea \(x\in S(x_0,\mathcal{U})\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
[\overrightarrow{x_1 x}]_B \amp = \amp [\overrightarrow{x_1 x_0}+ \overrightarrow{x_0 x}]_B \\
\amp = \amp [\overrightarrow{x_0 x}]_B-[\overrightarrow{x_0 x_1}]_B \\
\amp = \amp [x]_{(x_0,B)}-[x_1]_{(x_0,B)}
\end{array}
\end{equation*}
finalmente
\begin{equation*}
[\overrightarrow{u}]_B=\begin{pmatrix}
x_1-a_1 \\
x_2-a_2\\
\vdots \\
x_n-a_n
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Como \(\overrightarrow{u}\in \mathcal{U} \) y \(\mathcal{U}\) es hiperplano, entonces tenemos que existe \(\alpha_i \in \mathbb{K}\text{,}\) tal que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\alpha_1 \cdot (x_1-a_1)+\alpha_2 \cdot (x_2-a_2)+\cdots +\alpha_n \cdot (x_n-a_n) \amp = \amp 0 \\
\alpha_1 \cdot x_1-\alpha_1 \cdot a_1+\alpha_2 \cdot x_2 - \alpha_2 \cdot a_2+ \cdots +\alpha_n \cdot x_n -\alpha_n \cdot a_n \amp = \amp 0 \\
\end{array}
\end{equation*}
Despejando obtenemos
\begin{equation*}
\alpha_1 \cdot x_1 +\alpha_2 \cdot x_2 + \cdots + \alpha_n \cdot x_n = \alpha_1 \cdot a_1 + \alpha_2 \cdot a_2 + \ldots + \alpha_n \cdot a_n
\end{equation*}
Ecuación hiperplano afín
\begin{equation*}
\alpha_1 \cdot x_1 +\alpha_2 \cdot x_2 + \cdots + \alpha_n \cdot x_n = d
\end{equation*}
Sea \(V=X=\mathbb{R}^3\text{.}\) Si \(B=\{(1,1,0),(1,0,1)(1,0,0)\}\) base ordenada de \(\mathbb{R}^3\text{,}\) \(S_1=S\left((1,1,1),\left \langle (2,1,3),(0,1,-1)\right\rangle\right)\) y \(x_0=(1,2,3)\text{.}\)
Determine la ecuación cartesiana del hiperplano afín \([S_1]_{(x_0,B)}\text{.}\)
Sea \((x,y,z)\in S_1\text{,}\) entonces \((x,y,z)=(1,1,1)+ \alpha(2,1,3)+\beta(0,1,-1)\text{,}\)luego:
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
[(x,y,z)]_{(x_0,B)} \amp = \amp [(1,1,1)]_{(x_0,B)}+\alpha [(2,1,3)]_B +\beta[(0,1,-1)]_B\\
\amp = \amp [\overrightarrow{(1,2,3)(1,1,1)}]_B+ \alpha [(2,1,3)]_B +\beta[(0,1,-1)]_B\\
\amp = \amp [(0,-1,-2)]_B+\alpha[(2,1,3)]_B+ \beta[(0,1,-1)]_B
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
[(x,y,z)]_{(x_0,B)}
=\begin{pmatrix}
-1 \\ -2\\ 3
\end{pmatrix}+
\alpha\begin{pmatrix}
1 \\ 3 \\ -2
\end{pmatrix}+
\beta \begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
de otro modo
\begin{equation*}
[(x,y,z)]_{(x_0,B)}
=\begin{pmatrix}
-1+\alpha + \beta \\ -2+3\alpha-\beta\\ 3-2\alpha
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Por lo tanto
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x_1 \amp = \amp -1+\alpha + \beta \\
y_1 \amp = \amp -2+3\alpha-\beta \\
z_1 \amp = \amp 3-2\alpha
\end{array}
\end{equation*}
del cual se concluye que la ecuación del hiperplano afín es
\begin{equation*}
x_1+y_1+2z_1=3.
\end{equation*}
Subsección Ejercicios
Sea \(V=X=\mathbb{R}^3\text{.}\) Si \(B=\{(1,1,1),(1,1,0)(1,0,0)\}\) base ordenada de \(\mathbb{R}^3\text{,}\) \(U= \left\langle (1,2,1),(0,1,2) \right\rangle\) y \(x_0=(3,1,2)\text{.}\)
Determine la ecuación cartesiana del hiperplano afín \([S(\left((1,1,1),U \right)]_{(x_0,B)}\text{.}\)
Subsección Ejercicios
Sea \(\pi_1 \) un plano en \(\mathbb{R}^3\text{,}\) cuya ecuación en el sistema \((x_0,B)\) es \(x+y-z=5\text{,}\) con \(x_0=(1,2,3)\) y \(B=\{(1,1,0),(1,1,1)(1,0,0)\}\) base.
Determine la ecuación cartesiana del hiperplano afín
\begin{equation*}
[\left(\pi_1\right)]_{((1,3,1),\{(1,3,2),(2,3,1), (2,1,3)\} )}.
\end{equation*}