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Sección 4.5 Ejercicios Propuestos

Valor de la función trigonométrica

Calcule los siguientes valores, expresando el resultado con la función trigonométrica evaluada en un ángulo en \([0, \pi/2]\text{.}\)

  1. \(\cos(\frac{109 \pi}{30})\)
  2. \(\sin(\frac{109 \pi}{30})\)
  3. \(\tan(\frac{163 \pi}{90})\)
  4. \(\cot(\frac{272 \pi}{45})\)
  5. \(\sec(\frac{109 \pi}{30})\)
  6. \(\csc(\frac{163 \pi}{90})\)
  7. \(\sec(\frac{272 \pi}{45})\)
  8. \(\sin(7 \pi)\)
  9. \(\sec(7 \pi)\)
  10. \(\tan(9 \pi)\)

Identidades Trigonométricas Compruebe las siguientes identidades.

  1. \(\cos(\alpha) \sec(\alpha) = 1\)
  2. \(\sin(\alpha) \sec(\alpha) = \tan(\alpha)\)
  3. \(\frac{\csc(\alpha)}{\sec(\alpha)} = \cot(\alpha)\)
  4. \((1+\cos(\alpha))(1-\cos(\alpha)) = \sin^{2}(\alpha)\)
  5. \(\frac{\sin(\alpha)}{\csc(\alpha)} + \frac{\cos(\alpha)}{ \sec(\alpha)} =1\)
  6. \((\tan(\alpha) + \cot(\alpha)) \tan(\alpha) = \sec^{2}(\alpha)\)
  7. \(\tan(\alpha) \cot(\alpha)=1\)
  8. \(\cos^{2}(\alpha)-\sin^{2}(\alpha) = 2 \cos^{2}(\alpha) -1\)
  9. \(\cos^{2}(\alpha) (\sec^{2}(\alpha) -1)=\sin^{2}(\alpha)\)
  10. \(1-2\sin^{2}(\alpha) = 2 \cos^{2}(\alpha)-1\)
  11. \((1+\sin(\alpha))(1-\sin(\alpha))= \frac{1}{\sec^{2}(\alpha)}\)
  12. \((1-\sin^{2}(\alpha))(1+ \tan^{2}(\alpha))=1\)
  13. \(\frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}= 1+\tan(\alpha)\)
  14. \(\cos(\alpha + \beta) \cos(\beta) + \sin(\alpha + \beta) \sin(\beta)= \cos(\alpha)\)
  15. \(\frac{1}{1+\sin(\alpha)} + \frac{1}{1- \sin(\alpha)} = 2 \sec^{2}(\alpha)\)
  16. \(\sec^{2}(\alpha)+ \csc^{2}(\alpha)= \sec^{2}(\alpha)\csc^{2}(\alpha)\)
  17. \(\tan(\alpha)+ \cot(\alpha) = \sec(\alpha) \csc(\alpha)\)
  18. \(\frac{\cos(\alpha)}{1-\sin(\alpha)} - \frac{1-\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}= 2 \tan(\alpha)\)
  19. \(\cot(2\alpha)= \frac{1}{2} [\cot(\alpha) - \tan(\alpha)]\)
  20. \(\frac{\sin^{3}(\alpha)+ \sin(3\alpha)}{\cos^{3}(\alpha)- \cos(3\alpha)} = \cot(\alpha)\)
  21. \(\csc^{4}(\alpha) - \cot^{4}(\alpha)= \csc^{2}(\alpha)[\sin^{2}(\alpha)+2 \cos^{2}(\alpha)]\)
  22. \(\frac{1- \cos(2 \alpha) + \sin(2 \alpha)}{1+ \cos(2 \alpha) + \sin(2 \alpha)} = \tan(\alpha)\)
  23. \(\tan(\frac{\alpha}{2}) + \cot(\frac{\alpha}{2})= 2 \csc(\alpha)\)
  24. \(\frac{1- \tan^{2}(\alpha)}{1+\tan^{2}(\alpha)} = \cos(2 \alpha)\)
  25. \(\cos(3 \alpha) = 4 \cos^{3}(\alpha) - 3 \cos(\alpha)\)
  26. \(\frac{2 \tan(\alpha)}{\tan(\alpha) + \cot(\alpha)}+ \cos(2 \alpha) = 1\)
  27. \(\frac{\sin(2 \alpha) - \frac{1}{\sec(\alpha)}}{1 - \sin(\alpha) + \sin^{2}(\alpha)- \cos^{2}(\alpha)} = \cot(\alpha)\)
  28. \(\tan^{2}(\alpha) +1 = \sec^{2}(\alpha)\)
  29. \(\cot(\alpha + \beta)= \frac{\cot(\alpha)\cot(\beta)-1}{\cot(\alpha)+ \cot(\beta)}\)
  30. \(\cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} \big[ \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \big]\)
  31. \(\sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} \big[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\big] \)
  32. \(\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} \big[ \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) \big] \)
  33. \(\cos(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} \big[ \sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha + \beta) \big] \)
  34. \(\sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})\)
  35. \(\sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\)
  36. \(\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})\)
  37. \(\cos(\alpha) - \cos(\beta) = 2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\)

Ecuaciones Trigonométricas}

  1. \(\sin(\alpha) = 1\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{2} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  2. \(\sin^{2}(\alpha)-2 \cos(\alpha)+\frac{1}{4}=0\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{3} + 2 k \pi,\frac{5\pi}{3} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  3. \(\cos^{2}(\alpha) + 2 \sin(\alpha) + 2 = 0\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{3\pi}{2} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  4. \(\sec(\alpha) \cos^{2}(\alpha) = \sqrt{3}\sin(\alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{6} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  5. \(\sin(5\alpha - \frac{23 \pi}{180}) = \cos(2 \alpha + \frac{5 \pi}{18})\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{20} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  6. \(2\csc^{2}(\alpha) = 3 + \cot^{2}(\alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{4} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  7. \(3 \cos^{2}(\alpha) = 3 - \sin^{2}(\alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  8. \(2 (\cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha)) = 1\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi,\frac{7 \pi}{6} + 2 k \pi,\frac{11 \pi}{6} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  9. \(\sec^{2}(\alpha) + \tan^{2}(\alpha) = 7\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{3} + k \pi, \frac{2 \pi}{3} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  10. \(\csc(\alpha) \sin^{2}(\alpha) = \frac{1}{3} \sqrt{3} \cos(\alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{6} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  11. \(\frac{2 \tan(\alpha)}{1+ \tan^{2}(\alpha)}= \frac{1}{2}\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{12} + 2 k \pi \mid,\frac{5 \pi}{12} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  12. \(\frac{1}{\cot^{2}(\alpha) + \frac{1}{\csc^{2}(\alpha)}} = 2 - \frac{1}{\sec^{2}(\alpha)}\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{4} + 2k \pi, \frac{3 \pi}{4} +2k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  13. \(1+ \frac{1}{\cot^{2}(\alpha)} = \frac{\cot(\alpha)}{1- \sin^{2}(\alpha)}\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{4} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  14. \(\sin(\alpha) - \frac{1}{\cot^{2}(\alpha)}= 1\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{2} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  15. \(\frac{2}{\sec^{2}(\alpha)} = 2 + \frac{\tan(\alpha) - \cot(\alpha)}{\tan(\alpha) + \cot(\alpha)}\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  16. \(\frac{2}{\csc^{2}(\alpha)} = \frac{\cot^{2}(\alpha)-1}{1+\cot^{2}(\alpha)}\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{6} + k \pi, \frac{5 \pi}{6} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  17. \(\frac{2 \sin^{2}(\alpha)-1}{2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)} = \sec(\alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{1258\pi}{1125} + 2 k \pi, \frac{4229\pi}{2250} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  18. \(\frac{\sin(\alpha)}{\csc(\alpha) - \cot(\alpha)} + \frac{1}{\sec(\alpha)} = 2\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{3} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  19. \(\frac{\cot(\alpha)}{1+\tan(\alpha)} - \frac{1}{1+ \cot(\alpha)} = 2 \tan(\alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{4} + 2 k \pi,\frac{7663\pi}{9000} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  20. \(\tan^{2}(\alpha) = 2 \cot^{2}(\alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  21. \(\frac{1}{\sec^{2}(\alpha)} - 4 \sin^{2}(\alpha)=\cos^{2}(\alpha)-3\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{3} + k \pi,\frac{2\pi}{3} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  22. \(\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{4} \sqrt{3}\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{\pi}{3} + 2 k \pi,\frac{\pi}{6} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  23. \(2\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \cos(\alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{-3 \pi}{2} + 2 k \pi,\frac{3 \pi}{2} + 2 k \pi,\frac{\pi}{6} + 2 k \pi,\frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi, \frac{\pi}{2} + 2 k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  24. \(- \tan(\alpha) = \cos(2 \alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ 2 k \pi , \pi + 2k \pi , \frac{\pi}{2}+2k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  25. \(\sqrt{3} \cos(2 \alpha)+ \sin(2 \alpha) = 1\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ \frac{-\pi}{12} + 2 k \pi , \frac{13 \pi}{12} \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  26. \(\frac{1- \tan(\alpha)}{1+\tan(\alpha)} = 1 - \sin(2 \alpha)\)

    \([Resp. \ \alpha \in \{ k \pi ,\frac{\pi}{4} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}]\)

  27. \(2\cos ^{2}(x)-3\cos (x)=2\)

    \([Resp. \ S_{0}=\{\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\}]\)

  28. \(\sin (x)\sec (x)+\sqrt{2}\sin (x)-\sec (x)-\sqrt{2}=0\)

    \([Resp. \ S_{0}=\{ \frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\}]\)

  29. \(\sqrt{3}\sec ^{2}(x)+2\tan (x)-2\sqrt{3}=0\)

    \([Resp. \ S_{0}=\{\frac{2\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{8\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\}]\)

  30. \(\tan (x)-\sin (2x)=0\)

    \([Resp. \ S_{0}=\{0,\frac{\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4}\}]\)

  31. \(\sin (2x)+\sin (4x)=2\sin (3x)\)

    \([Resp. \ S_{0}=\{0,\frac{\pi }{3},\frac{% 2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\}]\)

  32. \(\tan ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)=7\)

    \([Resp. \ S_{0}=\{\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\}]\)

  33. \(\cos (6x)-3\cos (3x)=-2\)

    \([Resp. \ S_{0}=\{0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{% 3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\}]\)

Ejercicios de Planteo

  1. Desde un barco se observan \(2\) puntos de la costa en direcciones que forman un ángulo de \(135^\circ\text{.}\) Si la distancia desde el barco a cada uno de esos puntos es de \(20\) y \(5\) millas, respectivamente, entonces. ¿Cuál es la distancia entre ambos puntos?

    \([Resp. \ 23.76 millas]\)

  2. Desde un vehículo que se desplaza por una carretera en linea recta, se divisa sobre la cima de un cerro, que se encuentra ubicado en la misma dirección del vehículo una antena repetidora de T.V. en un ángulo de elevación de \(35^\circ\text{.}\) Momentos antes de entrar al puente y cuando se ha avanzado \(0.8km\) desde el punto anterior la antena se observa con un ángulo de elevación de \(42^\circ\text{.}\) ¿Cuál es la menor distancia la que pasara respecto de la base de la altura?

    \([Resp. \ 3.82 mts]\)

  3. Al poco rato de haber despegado \(2\) aviones se cruzan en el aire cuando son las \(16:00\) hrs. Uno se dirige en linea recta hacia una isla ubicada a \(68^\circ\) al noreste, mientras el otro va a una ciudad ubicada al este. Si el primero se desplaza con una velocidad de \(650\) \(km/hrs\) y el segundo a \(820\) \(km/hrs\text{.}\) ¿Qué distancia habrá entre ellos a las \(17:15\) hrs?

    \([Resp. \ 1800.87 mts]\)

  4. Durante una carrera de atletismo, \(3\) jueces \(A,B,C\) se ubican en \(3\) puntos distintos de la pista de forma oval de modo que, medidas las distancias que hay entre ellos de línea recta al juez \(A\) dicta \(100mts\) de \(B\text{,}\) este dicta \(140mts\) de \(C\text{,}\) y este ultimo dicta \(160mts\) del juez \(A\text{.}\) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que se forman al unir los puntos que representan la posición de los jueces?

    \([Resp. \ \alpha = 60^\circ , \beta = 78^\circ 5' \ o \ 101^\circ 5' \ y \ \gamma = 41^\circ 5' \ o \ 18^\circ 5' ]\)

  5. Calcular el ancho de una calle (incluido vereda) si una escalera de \(22mts\) de largo al apoyarla contra la pared forma un ángulo de \(18^\circ\) con el suelo y al apoyarla contra la pared del frente sin cambiar el punto de apoyo forma un ángulo de \(24^\circ\) con el suelo.

    \([Resp. \ 20.9 mts]\)

  6. ¿A que altura se encuentra un volantín si el hilo que lo sostiene mide \(120 mts\) y el ángulo de elevación del volantín es de \(40^\circ\text{?}\)

    \([Resp. \ 76.8 mts]\)

  7. Un observador ve una torre con un ángulo de elevación de \(40^\circ\text{,}\) si se acerca a \(100mts\) hacia la torre el ángulo de elevación seria de \(62^\circ\text{.}\) Calcular la altura de la torre si el instrumento que sirvió para medir los ángulos de elevación se encuentra a \(1.6mts\) del suelo.

    \([Resp. \ 150.19 mts]\)

  8. El asta de una bandera de \(6mts\) de longitud esta ubicado sobre el techo de una casa. Desde un punto en el plano de la base de la casa los ángulos de elevación a la punta y a la base del asta son \(\frac{\pi}{3}\) y \(\frac{\pi}{4}\) respectivamente. Hallar la altura de la casa.

    \([Resp. \ 8.2 mts]\)

  9. El piloto de un avion observa que el ángulo de depresión a una luz situada exactamente abajo de su linea de vuelo es de \(\frac{\pi}{6}\text{.}\) Un minuto mas tarde el ángulo de depresión es de \(\frac{\pi}{4}\text{.}\) Si esta volando horizontalmente a una velocidad de \(900 km/hrs\text{.}\) Hallar

    1. La altura a la que esta volando.

    2. La distancia de la luz al primer punto de observación.

    \([Resp. \ a) \ h = 19.88 km \ \ b) \ d = 39.76]\)

  10. Un navío sale exactamente rumbo al este a una velocidad uniforme. A las \(7:00\) hrs se observa desde el barco, un faro hacia el norte a \(10.32\) millas de distancia y a las \(7:30\)hrs el faro esta a \(18^\circ 13'\) al oeste del norte. Hallar la velocidad a la que se mueve el navío y el rumbo de este a las \(10:00\) horas.

    \([Resp. \ v = 6.6 \ mill/hrs \ d = 19.8 \ millas]\)

  11. Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una planicie que se encuentra desde una cierto lugar, el fuerte se ve con un ángulo de \(10^\circ\) y que desde otro lugar \(200mts\) mas cerca del fuerte este se ve con un ángulo de \(15^\circ\text{.}\) ¿Cuál es la altura del fuerte?, ¿Cuál es su distancia del segundo lugar de observación?

    \([Resp. \ h = 98.22 mts \ \ d = 377.77 mts ]\)

  12. Un hombre observa desde un globo que las visuales a las bases de dos torres que están separadas por una distancia de \(1\) km, medido sobre un plano horizontal forman un ángulo de \(70^\circ\text{.}\) Si el observador esta exactamente sobre la vertical del punto medio de la distancia de las dos torres. Calcular la altura del globo.

    \([Resp. \ 714.28 km]\)

  13. Dos bollos son observados en la dirección sur desde lo alto de un acantilado cuya parte superior esta a \(312mts\) sobre el nivel del mar. Hallar la distancia entre los bollos si sus ángulos de elevación medidos desde la punta del acantilado son \(46^\circ\) y \(27^\circ\) respectivamente.

    \([Resp. \ 321.09 mts]\)

  14. Una escalera de \(3mts\) de largo esta apoyada sobre la pared de un edificio estando su base a \(1.5mts\) del edificio. ¿Que ángulo forma la escalera con el piso?

    \([Resp. \ \frac{\pi}{3}]\)

  15. Los lados iguales del triángulo isosceles miden \(40cm\) cada uno y los ángulos basales son de \(25^\circ\) cada uno. Resolver el triángulo y calcular su área.

    \([Resp. \ 604.8 cm]\)

  16. Desde una determinada posición de un camino una persona observa la parte mas alta de una torre de alta tensión con un ángulo de elevación de \(25^\circ\text{.}\) Si avanza \(45mts\) en linea recta hacia la base de la torre, divisa ahora su parte mas alta con un ángulo de elevación de \(55^\circ\text{.}\) Considerando que la vista del observador esta a \(1.70mts\) del suelo. ¿Cuál es la altura de la torre?

    \([Resp. \ 32 . 31 mts]\)