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Sección 1.1 Introducción

Veremos algunas de las propiedades que satisfacen algunos conjuntos notables, de modo de reconocerlas después en el conjunto de los números reales.

Consideremos en primer lugar el conjunto

\begin{equation*} \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,6,\ldots\} \end{equation*}

llamado conjunto de los Números Naturales, este conjunto provisto de la operación producto \((\cdot)\) satisface las siguientes propiedades:

  1. Clausura: Si \(n,m\in \mathbb{N}\text{,}\) entonces \(n\cdot m\) es un único elemento en \(\mathbb{N}\) .

  2. Asociatividad: Para todo \(n,m,r\in \mathbb{N}\text{,}\) se tiene que

    \begin{equation*} (n\cdot m)\cdot r=n\cdot(m\cdot r). \end{equation*}

  3. Existencia de neutro: Existe \(e=1\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n\in \mathbb{N}\)

    \begin{equation*} 1\cdot n=n\cdot 1=n. \end{equation*}

  4. Conmutatividad: Para todo \(n,m\in \mathbb{N}\)

    \begin{equation*} n\cdot m=m\cdot n. \end{equation*}

Pero en \(\mathbb{N}\) no se verifica la propiedad de existencia de inverso multiplicativo, esto es, para todo \(n\in \mathbb{N}\) no existe un elemento \(n'\in \mathbb{N}\) tal que:

\begin{equation*} n\cdot n'=1. \end{equation*}

Si consideramos ahora la operación suma \((+)\) en \(\mathbb{N}\text{,}\) tenemos que esta verifica (1), (2), (3) y (4). Del mismo modo, no cumple la propiedad del inverso aditivo, esto es, dado \(n\in \mathbb{N}\) no existe un elemento \(m\in \mathbb{N}\) tal que:

\begin{equation*} n+ m=0. \end{equation*}

Consideremos ahora el conjunto de los Números Enteros

\begin{equation*} \mathbb{Z}=\{\ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} \end{equation*}

este conjunto lo podemos expresar en términos del conjunto anterior, esto es

\begin{equation*} \mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup \mathbb{N}^-, \end{equation*}
\begin{equation*} \mathbb{N}^-=\{-n\,\,|\,\,n\in \mathbb{N}\}. \end{equation*}

El conjunto bajo la suma verifica las siguientes propiedades:

  1. Clausura: Si \(a,b\in \mathbb{Z}\text{,}\) entonces \(a+b\) es un único elemento en \(\mathbb{Z}.\)

  2. Asociatividad: Para todo \(a,b,c\in \mathbb{Z}\text{,}\) se tiene que

    \begin{equation*} (a+b)+c=a+(b+c). \end{equation*}

  3. Existencia de neutro: Existe \(0\in \mathbb{Z}\) tal que para todo \(a\in \mathbb{Z}\)

    \begin{equation*} 0+a=a+0=a. \end{equation*}

  4. Existencia de elemento inverso: Para todo \(a\in \mathbb{Z}\text{,}\) existe \((-a)\in \mathbb{Z}\) tal que

    \begin{equation*} a+(-a)=(-a)+a=0. \end{equation*}

  5. Conmutatividad:Para todo \(a,b\in \mathbb{Z}\)

    \begin{equation*} a+b=b+a. \end{equation*}

Ahora bien, si consideramos la operación producto \((\cdot)\) en \(\mathbb{Z}\) esta verifica (1),(2),(3) y (5). Sin embargo no se verifica (4) pues en general para \(a\in \mathbb{Z}\) no existe \(a^{'}\in \mathbb{Z}\) tal que

\begin{equation*} a\cdot a^{'}=1. \end{equation*}

El hecho de que \(\mathbb{Z}\) con la operación suma \((+)\) satisface las propiedades antes mencionadas se resume diciendo que \(\mathbb{Z}\) con la suma es un grupo.

Consideremos

\begin{equation*} \mathbb{Q}=\left\{\left.\frac{a}{b}\,\,\right|\,\,a\in \mathbb{Z} \wedge b\in \mathbb{Z}-\{0\}\right\} \end{equation*}

el cual recibe el nombre de conjunto de los Números Racionales.

Se definen en él las siguientes operaciones:

  1. Suma

    \begin{equation*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}. \end{equation*}

  2. Producto

    \begin{equation*} \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}. \end{equation*}

Con estas operaciones se tiene que, \(\mathbb{Q}\) con \((+)\) y \(\mathbb{Q}-\{0\}\) con \((\cdot)\) son grupos, es decir, satisfacen las propiedades de clausura, asociatividad, existencia de neutro y existencia de inverso, además se verifica la conmutatividad.

Otro conjunto notable es el conjunto de los Números Irracionales que usualmente es denotado por \(\mathbb{I}\) .

Algunos ejemplos de números irracionales son:

\begin{equation*} \pi,\quad e,\quad\sqrt{2}. \end{equation*}

Observación: El conjunto \(\mathbb{I}\) con la operación \((+)\) no satisface la propiedad de clausura, en efecto, consideremos los irracionales \(\sqrt{2}\) y \(-\sqrt{2}\text{,}\) tenemos que \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\text{,}\) el cual es un número racional (\(0=\frac{0}{1}\) por ejemplo), de esto es evidente que \(\mathbb{I}\) no es un grupo.