Axioma 1.4.1
La suma es cerrada, esto es si \(a,b\in \mathbb{R}^+\text{,}\) entonces \(a+b\in \mathbb{R}^+.\)
Sección 1.4 \(\mathbb{R}\) es un Cuerpo Ordenado
La construcción de \(\mathbb{R}\) como cuerpo ordenado, se puede caracterizar con una relación de orden total o a través del cono positivo, en esta presentación hemos escogido la segunda es por ello definimos los siguiente axiomas.
Subsección 1.4.1 Axiomas de Orden
Existe un subconjunto de \(\mathbb{R}-\{0\}\text{,}\) el cual sera denotado por \(\mathbb{R}^+\text{.}\) Los elementos de este subconjunto se llaman números reales positivos y cumplen los siguientes axiomas:
Axioma 1.4.2
El producto es cerrado, esto es si \(a,b\in \mathbb{R}^+\text{,}\) entonces \(ab\in \mathbb{R}^+.\)
Axioma 1.4.3
Ley de Tricotomía.
Si \(a\in \mathbb{R}\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
a\in \mathbb{R}^+\,\, \veebar\,\,
a=0\,\, \veebar\,\, -a\in \mathbb{R}^+.
\end{equation*}
Observación: Los axiomas recién dados nos permiten ordenar totalmente los números reales y aún más graficar este orden en una recta, llamada recta real.
Proposición 1.4.4
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\) entonces se verifican:
Si \(a\in \mathbb{R}-\{0\}\) entonces \(a^2\in \mathbb{R}^+\text{,}\) en particular \(1\in \mathbb{R}^+\text{.}\)
Si \(a\in \mathbb{R}^+\) entonces \(a^{-1}\in \mathbb{R}^+.\)
Si \(a-b\in \mathbb{R}^+ \wedge b-c\in \mathbb{R}^+\) entonces \(a-c\in \mathbb{R}^+.\)
\(b-a\in \mathbb{R}^+\) si y sólo si \((b+c)-(a+c)\in \mathbb{R}^+.\)
Si \(b-a\in \mathbb{R}^+ \wedge c\in \mathbb{R}^+\) entonces \(bc-ac\in \mathbb{R}^+.\)
Si \(b-a\in \mathbb{R}^+ \wedge -c\in \mathbb{R}^+\) entonces \(ac-bc\in \mathbb{R}^+.\)
Demostración
-
Tenemos que \(a\in \mathbb{R}-\{0\}\text{,}\) entonces por axioma
\begin{equation*} a\in \mathbb{R}^+\quad \veebar\quad -a\in \mathbb{R}^+. \end{equation*}Si \(a\in \mathbb{R}^+\) entonces por axioma Axioma 1.4.2, \(a\cdot a\in \mathbb{R}^+\text{,}\) es decir
\begin{equation*} a\in \mathbb{R}^+ \Rightarrow a^2\in \mathbb{R}^+. \end{equation*}Si \(-a\in \mathbb{R}^+\) entonces por axioma Axioma 1.4.1, \((-a)(-a)\in \mathbb{R}^+\) pero por proposición Proposición 1.3.7 parte \((7)\text{,}\) \((-a)(-a)=(-a)^2=a^2\text{,}\) luego \(a^2\in \mathbb{R}^+\text{.}\)
Así
\begin{equation*} a\in \mathbb{R}-\{0\}\Rightarrow a^2\in \mathbb{R}^+. \end{equation*} -
Procedamos por absurdo.
Sea \(a\in \mathbb{R}^+\) y supongamos que \(a^{-1}\not \in \mathbb{R}^+\text{,}\) entonces
\begin{equation*} a^{-1}=0\quad \veebar\quad -(a^{-1})\in \mathbb{R}^+. \end{equation*}Supongamos \(a^{-1}=0\) entonces \(aa^{-1}=0\text{,}\) pero \(aa^{-1}=1\text{,}\) lo cual es una contradicción y por lo tanto \(a^{-1}\neq 0\text{.}\)
Supongamos que \(-(a^{-1})\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Como \(a\in \mathbb{R}^+\) tenemos por axioma Axioma 1.4.2 que \(-(a^{-1})a=-1\in \mathbb{R}^+\text{,}\) lo cual es una contradicción.
Luego tenemos que
\begin{equation*} a\in \mathbb{R}^+ \Rightarrow a^{-1}\in \mathbb{R}^+. \end{equation*} -
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\) tal que
\begin{equation*} \begin{array}{clc} \amp a-b\in \mathbb{R}^+ \wedge b-c\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp (a-b)+(b-c)\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp a+(-b+b)-c\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp a+0-c\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp a-c\in \mathbb{R}^+. \amp \end{array} \end{equation*} -
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\) tal que
\begin{equation*} \begin{array}{clc} \amp b-a\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Leftrightarrow \amp b-a+0\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Leftrightarrow \amp b-a+c-c\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Leftrightarrow \amp (b+c)+(-a-c)\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Leftrightarrow \amp (b+c)+(a+c)\in \mathbb{R}^+. \amp \end{array} \end{equation*} -
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\) tal que
\begin{equation*} \begin{array}{clc} \amp b-a\in \mathbb{R}^+ \wedge c\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp (b-a)c\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp bc-ac\in \mathbb{R}^+ .\amp \\ \end{array} \end{equation*} -
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\) tal que
\begin{equation*} \begin{array}{clc} \amp b-a\in \mathbb{R}^+ \wedge -c\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp (b-a)(-c)\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp (-bc)-(-ac)\in \mathbb{R}^+ \amp \\ \Rightarrow \amp ac-bc\in \mathbb{R}^+. \amp \\ \end{array} \end{equation*}
Definición 1.4.5
Se define el conjunto de los números reales negativos como
\begin{equation*}
\mathbb{R}^-= \{a\in \mathbb{R}\,\,|\,\,-a\in \mathbb{R}^+\}.
\end{equation*}
Observación: Notemos que por el axioma 3 podemos descomponer \(\mathbb{R}\) en la unión disjunta de \(\mathbb{R}^+, \{0\}\) y \(\mathbb{R}^-\text{,}\) esto es
\begin{equation*}
\mathbb{R}=\mathbb{R}^+\,\dot{\cup} \,\{0\}\, \dot{\cup}\, \mathbb{R}^-.
\end{equation*}
Definición 1.4.6
Sean \(a,b\in \mathbb{R}\text{.}\) Se dice que \(a\) es mayor que \(b\) ó \(b\) es menor que \(a\) si y sólo si
\begin{equation*}
a-b\in \mathbb{R}^+
\end{equation*}
este hecho se anota como
\begin{equation*}
a \gt b\quad\textrm{o bien}\quad b \lt a.
\end{equation*}
Diremos que \(a\) es mayor o igual que \(b\) o bien \(b\) es menor o igual que \(a\) si y sólo si \(a\) es mayor que \(b\) o \(a\) es igual a \(b\text{,}\) es decir
\begin{equation*}
a \gt b\ \text{ o }\ a=b,
\end{equation*}
de modo abreviado anotaremos este hecho como sigue
\begin{equation*}
a\geq b\ \text{ o bien }\ b\leq a.
\end{equation*}
Observación: De acuerdo a las notaciones precedentes, tenemos:
\(a\in \mathbb{R}^+\) si y sólo si \(a \gt 0.\)
\(a\in \mathbb{R}^-\) si y sólo si \(a \lt 0.\)
Corolario 1.4.7
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\)
Si \(a\in \mathbb{R}-\{0\}\) entonces \(a^2 \gt 0.\)
Si \(a \gt 0\) entonces \(a^{-1} \gt 0.\)
Si \(a \gt b \wedge b \gt c\) entonces \(a \gt c.\)
\(b \gt a\) si y sólo si \(b+c \gt a+c.\)
Si \(b \gt a \wedge c \gt 0\) entonces \(bc \gt ac.\)
Si \(b \gt a \wedge c \lt 0\) entonces \(bc \lt ac.\)
Notación: Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\text{,}\) por comodidad se utilizara la siguiente notación \(a\leq b\leq c \) para denotar \(a\leq b \wedge b\leq c.\)
Teorema 1.4.8 [Tricotomía]
Para todo \(a,b\in \mathbb{R}\text{,}\) se verifica una y sólo una de las siguientes proposiciones
\begin{equation*}
a \gt b,\quad a=b,\quad a \lt b.
\end{equation*}
Demostración
Directa del axioma 3 y que \(a-b \in \mathbb{R}\text{.}\)
Observación: La relación \(a\leq b\text{,}\) para \(a,b\in \mathbb{R}\) es una relación de orden total. Pues se verifican que, para todo \(a,b,c \in \mathbb{R}\)
-
Reflexividad
\begin{equation*} a\leq a. \end{equation*} -
Antisimetría
\begin{equation*} (a\leq b \wedge b\leq a) \Rightarrow a=b. \end{equation*} -
Transitividad
\begin{equation*} (a\leq b \wedge b\leq c) \Rightarrow a\leq c. \end{equation*} -
Tricotomía
\begin{equation*} a \lt b\,\, \veebar\,\, a=b \,\,\veebar\,\, b \lt a. \end{equation*}
Proposición 1.4.9
Sean \(p,q\in \mathbb{Q}\) con \(p \lt q\text{,}\) entonces existe \(r\in \mathbb{Q}\) tal que \(p \lt r \lt q\text{.}\)
Demostración
Para la demostración debemos tener presente el corolario Corolario 1.4.7
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
p \lt q \amp \Rightarrow \amp p+p \lt p+q\quad \text{ por corolario parte } iv\\
\amp \Rightarrow \amp 2p \lt p+q\\
\amp \Rightarrow \amp p \lt \dfrac{p+q}{2}.\\
\end{array}
\end{equation*}
Por otro lado
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
p \lt q \amp \Rightarrow \amp p+q \lt q+q\quad \textrm{por corolario parte } iv\\
\amp \Rightarrow \amp p+q \lt 2q\\
\amp \Rightarrow \amp \dfrac{p+q}{2} \lt q.\\
\end{array}
\end{equation*}
Tenemos entonces que existe \(r= \dfrac{p+q}{2}\in \mathbb{Q}\) tal que \(p \lt r \lt q\text{.}\)
Subsección 1.4.2 Raíz n-ésima
La existencia de la raíz n-ésima, se demuestra usando el axioma del supremo, que aún no hemos presentado, por ello asumiremos los siguientes resultados.
Proposición 1.4.10
Dado \(a\) un número real positivo y un número natural \(n\text{,}\) existe un único \(b\) real positivo tal que
\begin{equation*}
a=b^n
\end{equation*}
en símbolos
\begin{equation*}
(\forall a\in \mathbb{R}^+)(\forall n\in \mathbb{N})(\exists !
b\in \mathbb{R}^+)(b^n=a).
\end{equation*}
Definición 1.4.11
El número \(b\) de la propiedad anterior se llama raíz n-ésima de \(a\) y se denota por
\begin{equation*}
b=\sqrt[n]{a}\quad \vee \quad b=a^{\frac{1}{n}}.
\end{equation*}
Más aún, si \(m\in \mathbb{Z}\) se define
\begin{equation*}
a^{\frac{m}{n}}:= (a^{\frac{1}{n}})^m=(\sqrt[n]{a})^m\,\,\textrm{con}\,\,
a \gt 0\,\,\textrm{y}\,\,n\in \mathbb{N},
\end{equation*}
ahora bien si \(n\) resulta ser un número impar, podemos extender esta definición a bases negativas, esto es
\begin{equation*}
\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a},\quad a \gt 0.
\end{equation*}
Observación: Si \(a\geq 0\) podemos asegurar que
\begin{equation*}
a^{\frac{m}{n}}=(a^m)^{\frac{1}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=(\sqrt[n]{a})^m.
\end{equation*}
están bien definida y tiene sentido todas ellas
Proposición 1.4.12
Si \(a,b\in \mathbb{R}^+, m\in \mathbb{Z}\) y \(n\in \mathbb{Z}-\{0\}\) entonces
\begin{equation*}
(ab)^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m}{n}}b^{\frac{m}{n}}.
\end{equation*}
Este hecho nos dice que las propiedades de potencia dadas en el Teorema se preservan para exponentes racionales.
Proposición 1.4.13
Si \(n\) es un número natural par y \(a \lt 0\text{,}\) entonces no existe un número real \(b\) tal que
\begin{equation*}
a=b^n.
\end{equation*}
Demostración
Supongamos que existe \(b\in \mathbb{R}\) tal que
\begin{equation*}
a=b^n,
\end{equation*}
como \(n\) es par se tiene que \(n=2k\) para algún \(k\in \mathbb{Z}^+\) luego
\begin{equation*}
a=b^{2k}=(b^k)^2.
\end{equation*}
Ahora si \(b=0\) entonces \(a=0\) y si \(b\neq 0\text{,}\) entonces \((b^k)^2 \gt 0\text{,}\) es decir \(a \gt 0\text{.}\) Lo cual en ambos casos es una contradicción pues \(a \lt 0\text{.}\)
Proposición 1.4.14
Si \(n\) es un número natural impar y \(a \lt 0\text{,}\) entonces existe un único número real \(b\) tal que
\begin{equation*}
a=b^n.
\end{equation*}
Demostración
Como \(a \lt 0\text{,}\) luego \(-a \gt 0\text{,}\) por la propiedad Proposición 1.4.10, se tiene que existe \(b \in \mathbb{R}\) tal que
\begin{equation*}
-a=b^n,
\end{equation*}
como \(n\) es impar se tiene que \(n=2k+1\) para algún \(k\in\mathbb{Z}^+\) luego
\begin{equation*}
a=-(b^n)=- (b^{2k})b=((-b)^2)^k(-b)= (-b)^n.
\end{equation*}
El cual debe ser único por la propiedad.
Ejemplo 1.4.15
\(\sqrt{2}\) es irracional.
En efecto procedamos por absurdo, es decir supongamos que \(\sqrt{2}\) es racional, esto es
\begin{equation*}
\sqrt{2}= \dfrac{p}{q}
\end{equation*}
con \(p\in \mathbb{Z}\) y \(q\in \mathbb{Z}-\{0\}\text{,}\) de modo tal, que la fracción \(\dfrac{p}{q}\) esta simplificada al máximo, ahora bien
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccc}
\dfrac{p}{q}=\sqrt{2} \amp \Leftrightarrow \amp \dfrac{p^2}{q^2} \amp = \amp 2\\
\amp \Leftrightarrow \amp p^2 \amp = \amp 2q^2
\end{array}
\end{equation*}
luego tenemos que \(p^2\) es un número par, entonces por (\ref{par}) \(p\) es par, es decir \(p=2k\) para algún \(k\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) luego tenemos que
\begin{equation*}
p^2=4k^2
\end{equation*}
pero \(p^2=2q^2\text{,}\) por lo tanto \(2q^2=4k^2\) de aquí que \(q^2=2k^2\text{,}\) lo cual nos dice que \(q^2\) es un número par y nuevamente por (\ref{par}) tenemos que \(q\) es par.
Hemos concluido entonces que \(p\) y \(q\) son pares lo que contradice el supuesto que la fracción \(\dfrac{p}{q}\) estaba simplificada al máximo, de este modo obtenemos por absurdo que \(\sqrt{2}\) es un número irracional.
Ejemplo 1.4.16
Simplificar completamente, para los valores de \(a,b\in \mathbb{R}\) donde estén bien definida la siguiente expresión:
\begin{equation*}
X= \dfrac{(a+b)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a-b}}-(a-b)^{\frac{3}{2}}(a+b)^{-\frac{1}{2}}-
\dfrac{2(a^2+b^2)(a+b)^{-\frac{1}{2}}}{(a-b)^{\frac{1}{2}}}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl} X \amp = \amp
\dfrac{(a+b)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a-b}}-(a-b)^{\frac{3}{2}}(a+b)^{-\frac{1}{2}}-
\dfrac{2(a^2+b^2)(a+b)^{-\frac{1}{2}}}{(a-b)^{\frac{1}{2}}}\\
\amp = \amp \dfrac{\sqrt{(a+b)^3}}{\sqrt{a-b}}+ \dfrac{\sqrt{(a-b)^3}}
{\sqrt{a+b}}- \dfrac{2(a^2+b^2)}{\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}}\\
\amp = \amp \dfrac{\sqrt{(a+b)^4}+\sqrt{(a-b)^4}-2a^2-2b^2}{\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}}\\
\amp = \amp \dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2-2a^2-2b^2}{\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}}\\
\amp = \amp \dfrac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2-2a^2-2b^2}{\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}}\\
\amp = \amp \dfrac{0}{\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}} = 0
\end{array}
\end{equation*}
En este caso se tiene \(X=0\text{.}\)
Observación: Racionalizar una fracción , consiste en obtener un expresión equivalente, en la cual el denominador correspondiente, no incluye expresiones con raíces. Para lograr este cometido se recurre a los Productos Notables.
Ejemplo 1.4.17
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt{2}}\amp =\amp \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =
\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.18
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}
\end{equation*}
Para resolver este problema tenga presente
\begin{equation*}
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt{3}-1}\amp =\amp \frac{1}{\sqrt{3}-1}\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} =
\frac{\sqrt{3}+1}{2}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.19
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}\amp =\amp
\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{\sqrt{2}+1}}
=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2-1}}= \sqrt{\sqrt{2}+1}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.20
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}
\amp =\amp \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}\cdot
\frac{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}} \\
\amp =\amp
\frac{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}}\\
\amp =\amp \frac{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{\sqrt{3-2}}\\
\amp =\amp \sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.21
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\amp =\amp \frac{1}{\sqrt[3]{4}}\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} =
\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4\cdot 2}}
=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.22
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+1}
\end{equation*}
Para resolver este problema tenga presente
\begin{equation*}
(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}\amp =\amp
\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}
= \frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}^3+1^3}
= \frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{3}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.23
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1 }\amp =\amp \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}\cdot
\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}
=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-1^2}\\
\amp =\amp \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-1}{4+2\sqrt{6}}\\
\amp =\amp \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-1}{2(2+\sqrt{6})}\cdot\frac{2-\sqrt{6}}{2-\sqrt{6}} \\
\amp =\amp \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{6})}{2(4-6)} \\
\amp =\amp \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}-2)}{4}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.24
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}}
\amp =\amp
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}}\frac{\sqrt{2}-\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}-\sqrt[4]{2}}
=\frac{\sqrt{2}-\sqrt[4]{2}}{2-\sqrt{2}}\\
\amp =\amp \frac{\sqrt{2}-\sqrt[4]{2}}{2-\sqrt{2}}\cdot
\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\\
\amp =\amp \frac{(\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(2-\sqrt{2})}{2}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.25
Racionalizar la fracción
\begin{equation*}
\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}
\end{equation*}
Para resolver este problema tenga presente
\begin{equation*}
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}
\amp =\amp
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}\frac{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}
=\frac{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}{2-\sqrt[3]{4}}\\
\amp =\amp \frac{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}{2-\sqrt[3]{4}}\cdot
\frac{4+2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}{4+2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}\\
\amp =\amp \frac{(\sqrt{2}-\sqrt[3]{2})(4+2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16})}{8-4}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.26
Para los valores de \(a=\sqrt{3}\text{,}\) \(b=(-2)^{-1}\text{,}\) \(c=\frac{2}{-3}\text{.}\)
Determine en forma exacta y racionalizada el valor de
\begin{equation*}
A=\frac{1+\frac{a}{bc}}{\frac{1}{b} - \frac{a}{c}}
\end{equation*}
Simplifiquemos antes de reemplazar la expresión que la define
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
A= \frac{1+\frac{a}{bc}}{\frac{1}{b} - \frac{a}{c}}
= \frac{\frac{bc+a}{bc}}{\frac{c-ba}{bc}}
= \frac{bc+a}{c-ba}
\end{array}
\end{equation*}
Ahora reemplacemos los valores conocidos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
A = \frac{(-2)^{-1}\cdot \frac{2}{-3}+\sqrt{3}}{\frac{2}{-3}-(-2)^{-1}\cdot \sqrt{3}}
= \frac{\frac{2}{-2\cdot-3}+\sqrt{3}}{\frac{2}{-3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}
= \frac{\frac{1}{3}+\sqrt{3}}{ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}}
= \frac{2+6\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-4}
\end{array}
\end{equation*}
Finalmente racionalizamos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
A = \frac{2+6\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-4} \cdot \frac{3\sqrt{3}+4}{3\sqrt{3}+4}=
\frac{(2+6\sqrt{3})(3\sqrt{3}+4)}{(3\sqrt{3})^2-4^2}
= \frac{62+30\sqrt{3}}{11}
\end{array}
\end{equation*}
Subsección 1.4.3 Ecuación de Segundo Grado
Definición 1.4.27
Se llama ecuación de segundo grado en la variable \(x\) a una expresión del tipo
\begin{equation*}
ax^2+bx+c=0\quad \textrm{con}\quad a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq 0.
\end{equation*}
Además, se llama polinomio de segundo grado en la variable \(x\) a una expresión del tipo
\begin{equation*}
ax^2+bx+c\quad \textrm{con}\quad a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq 0.
\end{equation*}
Ahora determinaremos las soluciones de la ecuación de segundo grado, para ello veamos lo siguiente
\begin{equation*}
\begin{array}{crcl}
\amp ax^2+bx+c \amp = \amp 0 \quad /\cdot 4a\\
\Leftrightarrow \amp 4a^2x^2+4abax+4ac \amp = \amp 0\\
\Leftrightarrow \amp (2ax)^2+2(2ax)b +b^2-b^2+ 4ac \amp = \amp 0\\
\Leftrightarrow \amp \left(2ax+b\right)^2 \amp = \amp
b^2-4ac
\end{array}
\end{equation*}
Notemos que estas ecuación tiene solución o raíces en \(\mathbb{R}\) propiedad Proposición 1.4.14 si y sólo si
\begin{equation*}
b^2-4ac \geq 0.
\end{equation*}
y en este caso podemos calcular
\begin{equation*}
\begin{array}{crcl}
\amp 2ax+b \amp =\amp
\pm \sqrt{b^2-4ac}\\
\Leftrightarrow \amp 2ax \amp = \amp -b \pm
\sqrt{b^2-4ac}\\
\Leftrightarrow \amp x\amp = \amp \dfrac{- b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
\end{array}
\end{equation*}
Además note que, en el caso que el discriminante es no negativo, podemos factorizar el polinomio de segundo grado del siguiente modo
\begin{equation*}
ax^2+bx+c= a\left(x - \dfrac{- b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)\left(x- \dfrac{- b+
\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)
\end{equation*}
Definición 1.4.28
El discriminante de la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) o del polinomio de segundo grado \(ax^2+bx+c\) con \(a\neq 0\) corresponde a la expresión
\begin{equation*}
\bigtriangleup= b^2-4ac.
\end{equation*}
Teorema 1.4.29
Considerando la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\)o el polinomio \(ax^2+bx+c\text{,}\) tenemos que:
-
Si \(\bigtriangleup \gt 0\text{,}\) entonces la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) tiene dos soluciones o raíces distintas en \(\mathbb{R}\)
\begin{equation*} x_1= \dfrac{-b+\sqrt{\bigtriangleup}}{2a},\quad x_2= \dfrac{-b-\sqrt{\bigtriangleup}}{2a}. \end{equation*} -
Si \(\bigtriangleup = 0\text{,}\) entonces la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) tiene dos soluciones raíces iguales en \(\mathbb{R}\)
\begin{equation*} x_1=x_2=- \dfrac{b}{2a}. \end{equation*} Si \(\bigtriangleup \lt 0\text{,}\) entonces la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) tiene soluciones vacía o no tiene raíces en \(\mathbb{R}\text{.}\)
Observación: Si denotamos \(\mathcal{S}\) al conjunto solución de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\text{,}\) entonces tenemos que
Si \(\bigtriangleup \gt 0\text{,}\) \(\mathcal{S}=\{x_1,x_2\}.\)
Si \(\bigtriangleup=0\text{,}\) \(\mathcal{S}=\{x_1\}.\)
Si \(\bigtriangleup \lt 0\text{,}\) \(\mathcal{S}=\emptyset.\)
Ejemplo 1.4.30
Determinar las raíces y factoricé el polinomio
\begin{equation*}
5x^2+7x-3.
\end{equation*}
Como \(\bigtriangleup=(7)^2+60=109 \gt 0\text{,}\) entonces la ecuación tiene dos raíces reales y distintas, a saber:
\begin{equation*}
x_1= \dfrac{-7+\sqrt{109}}{10},\quad x_2= \dfrac{-7+\sqrt{109}}{10}.
\end{equation*}
La factorización esta dada por
\begin{equation*}
5x^2+7x-3=
5\left(x- \dfrac{-7+\sqrt{109}}{10}\right)\left(x- \dfrac{-7-\sqrt{109}}{10}\right)
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.31
Determinar las raíces y factoricé el polinomio
\begin{equation*}
x^2+2\sqrt{3}x+3.
\end{equation*}
En este caso \(\bigtriangleup=(2\sqrt{3})^2-12=0\text{,}\) luego la ecuación tiene una raíz real (dos raíces iguales)
\begin{equation*}
x_1=x_2=-\sqrt{3}.
\end{equation*}
La factorización es la siguiente
\begin{equation*}
x^2+2\sqrt{3}x+3=(x+\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=(x+\sqrt{3})^2
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.32
Determinar, si existen las raíces de la ecuación
\begin{equation*}
x^2+x+1.
\end{equation*}
Como \(\bigtriangleup=-3 \lt 0\text{,}\) tenemos que la ecuación no tiene raíces reales y por lo tanto no se puede factorizar en producto de factores lineales.
Ejemplo 1.4.33
Resolver la ecuación
\begin{equation*}
\sqrt{x}+x=12.
\end{equation*}
La restricción del problema es \(\mathbb{R}^+_0\) y usemos el cambio de variable \(u=\sqrt{x}\) es decir \(u^2=x\text{.}\)
Reemplazando tenemos que
\begin{equation*}
u^2+u-12=0,
\end{equation*}
y su discriminate es \(\bigtriangleup=1-4\cdot 1\cdot(-12)=49 \gt 0\text{,}\) luego tenemos que
\begin{equation*}
u=\frac{ -1\pm 7}{2}
\end{equation*}
es decir
\begin{equation*}
u=3\ \vee \ u=-4
\end{equation*}
pero volviendo a la variable original, tenemos una sola posibilidad
\begin{equation*}
\sqrt{x}=3
\end{equation*}
y por lo tanto \(S=\{9\}\text{.}\)
Ejemplo 1.4.34
Resolver la ecuación
\begin{equation*}
x^2-x=\frac{9}{x^2-x}.
\end{equation*}
La restricción del problema es \(\mathbb{R}-\{0,1 \}\text{,}\) luego
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
(x^2-x)^2=9 \\
x^2-x=\pm \sqrt{9}\\
x^2-x\mp 3=0
\end{array}
\end{equation*}
Para la primera ecuación \(x^2-x-3=0\text{,}\) se tiene \(\bigtriangleup=13 \gt 0\text{.}\) luego la solución es
\begin{equation*}
S_1=\left\{\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right\}.
\end{equation*}
Para la segunda ecuación \(x^2-x+3=0\text{,}\) tenemos \(\bigtriangleup=-11 \lt 0\text{.}\) luego la solución es vacía
\begin{equation*}
S_2= \phi.
\end{equation*}
Con lo cual se obtiene que
\begin{equation*}
S=S_1 \cup S_2= S_1 \cup \phi= \left\{\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2}
\right\}
\end{equation*}
Subsección 1.4.4 Sistemas de Ecuaciones no Lineales.
Una herramienta de gran utilidad para la resolución de sistemas no lineales, es la propiedad anteriormente vista que dice, para todo \(x,y \in \mathbb{R}\)
\begin{equation*}
x\cdot y=0 \text{ si y sólo si } x=0 \vee y=0
\end{equation*}
de otras manera, la necesidad de factorizar la expresión polinomial o algebraica no olvidado que debe estar igualada a cero.
Ejemplo 1.4.35
Resolver
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl|}
(x-y)^2 \amp = \amp 9 \\
x+y \amp = \amp 2 \\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
De la primera ecuación \((x-y)^2 = 9\) tenemos los casos
\begin{equation*}
x-y=3\quad \vee\quad x-y=-3.
\end{equation*}
-
Si \(x-y=3\) se tiene que
\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} x-y\amp = \amp 3\\ x+y\amp = \amp 2\\ \hline \end{array} \end{equation*}de donde \(x= \dfrac{5}{2}\) y \(y=- \dfrac{1}{2}.\)
-
Si \(x-y=-3\) se tiene que
\begin{equation*} \begin{array}{rcr|} x-y\amp = \amp -3\\ x+y\amp = \amp 2\\ \hline \end{array} \end{equation*}de donde \(x=- \dfrac{1}{2}\) y \(y= \dfrac{5}{2}.\)
Por lo tanto existen dos soluciones para el sistema, estas son
\begin{equation*}
(x,y)=\left( \dfrac{5}{2},- \dfrac{1}{2}\right), \quad
(x,y)=\left(- \dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right).
\end{equation*}
o bien
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{ \left( \dfrac{5}{2},- \dfrac{1}{2}\right),
\left(- \dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right) \right\} .
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.36
Resolver
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl|}
2x-1 \amp = \amp 2zx\\
4y \amp = \amp 2zy\\
x^2+y^2 \amp = \amp 1\\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
De la segunda ecuación \(4y = 2zy \) tenemos que
\begin{equation*}
2y(z-2)=0
\end{equation*}
de donde
\begin{equation*}
y=0\quad \vee\quad z=2.
\end{equation*}
-
Supongamos \(y=0\text{,}\) reemplazando en la tercera ecuación \(x^2+y^2 = 1\) obtenemos que
\begin{equation*} x^2=1 \end{equation*}de donde
\begin{equation*} x=1\quad \vee\quad x=-1. \end{equation*}luego, si \(x=1\text{,}\) entonces \(z= \dfrac{1}{2}\) y si \(x=-1\text{,}\) entonces \(z= \dfrac{3}{2}\text{.}\)
Así tenemos dos soluciones
\begin{equation*} (x,y,z)=\left(1,0, \dfrac{1}{2}\right),\quad (x,y,z)=\left(-1,0, \dfrac{3}{2}\right). \end{equation*} -
Supongamos ahora \(z=2\text{,}\) reemplazando en la primera ecuación \(2x-1 = 2zx\) se tiene que \(x=- \dfrac{1}{2}\text{.}\)
Luego reemplazando en la tercera ecuación y obtenemos que
\begin{equation*} y^2- \dfrac{3}{4}=0, \end{equation*}de donde
\begin{equation*} y= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \vee\quad y=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{equation*}Tenemos entonces dos soluciones más
\begin{equation*} (x,y,z)=\left(- \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2},2\right),\quad (x,y,z)=\left(- \dfrac{1}{2},- \dfrac{\sqrt{3}}{2},2\right). \end{equation*}
Por lo tanto existen cuatro soluciones para el sistema, estas son:
\begin{equation*}
(x,y,z)=\left(1,0, \dfrac{1}{2}\right),\quad (x,y,z)=\left(-1,0,
\dfrac{3}{2}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
(x,y,z)=\left(- \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2},2\right),\quad
(x,y,z)=\left(- \dfrac{1}{2},- \dfrac{\sqrt{3}}{2},2\right).
\end{equation*}
o bien
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{ \left(1,0, \dfrac{1}{2}\right),\quad \left(-1,0,
\dfrac{3}{2}\right),\quad \left(- \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2},2\right),\quad
\left(- \dfrac{1}{2},- \dfrac{\sqrt{3}}{2},2\right) \right\}.
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.37
Resolver
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl|}
y+2z+wyz \amp = \amp 0\\
x+2z+wxz \amp = \amp 0\\
2x+2y+wxy\amp = \amp 0\\
xyz \amp = \amp \sqrt{5}\\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
Restando la segunda ecuación a la primera se tiene que
\begin{equation*}
y-x+wz(y-x)=0 \Leftrightarrow (y-x)(1+wz)=0
\end{equation*}
de donde
\begin{equation*}
y=x \vee \left(w=- \dfrac{1}{z},\textrm{con}\,\,z\neq
0\right)
\end{equation*}
-
Supongamos \(w=- \dfrac{1}{z}\text{,}\) reemplazando en la primera ecuación tenemos que
\begin{equation*} 2z=0 \end{equation*}con lo cual \(z=0\text{,}\) esto es una contradicción pues \(z\neq 0\text{,}\) así el caso \(1+wz=0\) no se puede dar.
-
Supongamos entonces \(x=y\text{,}\) reemplazando en la tercera ecuación obtenemos
\begin{equation*} x(4+wx)=0 \end{equation*}de donde
\begin{equation*} x=0\quad \vee\quad w=- \dfrac{4}{x},\textrm{pues}\,\,x\neq 0 \end{equation*}ahora si \(x=0\text{,}\) lo reemplazamos en la cuarta ecuación obtenemos que \(0=\sqrt{5}\text{.}\) Lo que claramente es una contradicción.
Ahora si \(w=- \dfrac{4}{x}\text{,}\) lo reemplazamos en la segunda ecuación tenemos que
\begin{equation*} x=2z. \end{equation*}Finalmente sustituyendo \(x=y\) y \(x=2z\) en la cuarta ecuación obtenemos que
\begin{equation*} \dfrac{x^3}{2}=\sqrt{5} \end{equation*}de donde \(x=\sqrt[3]{2\sqrt{5}}=y\text{,}\) \(z= \dfrac{\sqrt[3]{2\sqrt{5}}}{2}\) y \(w=- \dfrac{4}{\sqrt[3]{2\sqrt{5}}}\)
Así la solución al sistema es
\begin{equation*} (x,y,z,w)=\left(\sqrt[3]{2\sqrt{5}},\sqrt[3]{2\sqrt{5}}, \dfrac{\sqrt[3]{2\sqrt{5}}}{2}, - \dfrac{4}{\sqrt[3]{2\sqrt{5}}}\right). \end{equation*}
Proposición 1.4.38
Sean \(a,b\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}\) entonces tenemos que
-
Si \(n \) es impar entonces
\begin{equation*} a=b \Leftrightarrow a^n=b^n \end{equation*} -
Si \(n \) es par y \(a,b\in \mathbb{R}^+_0\) entonces
\begin{equation*} a=b \Leftrightarrow a^n=b^n \end{equation*}
Observación: Tenga presente las hipótesis de las propiedades, no hacerlo le puede significar mas de un problema o error, por ejemplo:
\begin{equation*}
\sqrt{x}=-1 \leftrightarrow \sqrt{x}^2=(-1)^2 \leftrightarrow x=1
\end{equation*}
La primera ecuación tiene como conjunto solución a \(\phi\) y la última ecuación tiene como conjunto solución a \(\{1\}\text{.}\) Por lo tanto, cuidado con la hipótesis.
Ejemplo 1.4.39
Resolver
\begin{equation*}
\sqrt{3x+1}=2
\end{equation*}
La ecuación tiene la siguiente restricción:
\begin{equation*}
3x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -\frac{1}{3}
\end{equation*}
Como \(\sqrt{3x+1} \geq 0 \) y \(2\geq 0\text{,}\) luego podemos aplicar la propiedad
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{3x+1}\amp =\amp 2\ \ \ /(\ )^2 \\
3x+1\amp =\amp 4\ \ \ \\
x\amp =\amp 1
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.40
Resolver
\begin{equation*}
\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-3}=2
\end{equation*}
Las restricciones de la ecuación están dadas por:
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
(2x+1\geq 0 \wedge x-3\geq 0) \Leftrightarrow (x\geq -\frac{1}{2}\wedge x\geq 3)
\end{array}
\end{equation*}
Para aplicar la propiedad, ambas expresiones deben ser no negativas, por ello despejamos del siguiente modo
\begin{equation*}
\sqrt{2x+1}=2+\sqrt{x-3}
\end{equation*}
Así tenemos que \(\sqrt{2x+1} \geq 0 \) y \(2+\sqrt{x-3}\geq 0\text{,}\) luego podemos elevar al cuadrado
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{2x+1}\amp =\amp 2+\sqrt{x-3}\ \ \ /(\ )^2 \\
2x+1\amp =\amp 4+4\sqrt{x-3}+x-3\ \ \ \\
x\amp =\amp 4\sqrt{x-3}
\end{array}
\end{equation*}
Por restricción, sabemos que \(x \geq 3 \gt 0\text{,}\) de este modo, volvemos aplicar la misma propiedad
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x\amp =\amp 4\sqrt{x-3}\ \ \ /(\ )^2 \\
x^2\amp =\amp 16(x-3)\ \ \ \\
x^2-16x+48\amp =\amp 0.
\end{array}
\end{equation*}
Calculando el discriminante de la ecuación de segundo grado, obtenemos que \(\bigtriangleup = 64 \gt 0\text{,}\) luego las soluciones están dada por
\begin{equation*}
x=\frac{16\pm 8}{2}
\end{equation*}
Con lo cual
\begin{equation*}
x=12 \ \ \text{ o }\ \ x=4
\end{equation*}
Y considerando la restricción obtenemos el conjunto solución
\begin{equation*}
S=\{4,12\}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.41
Resolver
\begin{equation*}
\sqrt{x+1}+\sqrt{x-7}=4
\end{equation*}
La ecuación tiene la siguiente restricciones
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
(x+1\geq 0 \wedge x-7\geq 0) \Leftrightarrow (x\geq -1\wedge x\geq 7)
\end{array}
\end{equation*}
es decir, la restricción es \(x\geq 7\text{.}\)
Como \(\sqrt{x+1} +\sqrt{x-7}\geq 0 \) y \(4\geq 0\text{,}\) luego podemos elevar al cuadrado
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{x+1} +\sqrt{x-7}\amp =\amp 4\ \ \ /(\ )^2 \\
x+1+2\sqrt{(x+1)(x-7)}+x-7\amp =\amp 16 \\
22-2x\amp =\amp 2\sqrt{(x+1)(x-7)}\\
11-x\amp =\amp \sqrt{(x+1)(x-7)}
\end{array}
\end{equation*}
Además \(\sqrt{(x+1)(x-7)}\geq 0\text{,}\) luego tenemos \(11-x\geq 0\text{.}\) Con lo cual tenemos que \(x \leq 11\text{,}\) así podemos elevar al cuadrado
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
11-x\amp =\amp \sqrt{(x+1)(x-7)}\ \ \ /(\ )^2 \\
121-22x+x^2\amp =\amp x^2-6x-7\ \ \ \\
16x\amp =\amp 128\\
x\amp =\amp 8
\end{array}
\end{equation*}
Considerando la restricción obtenemos
\begin{equation*}
S=\{8 \}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.42
Resolver
\begin{equation*}
\sqrt{x+1}+x=6
\end{equation*}
La ecuación tiene la siguiente restricción
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1
\end{array}
\end{equation*}
po ello, el conjunto restricción es
\begin{equation*}
\mathcal{R}= [-1, \infty [
\end{equation*}
Como \(\sqrt{x+1}\geq 0 \text{,}\) luego \(6-x \geq 0\text{,}\) es decir, \(6\geq x\text{,}\) elevando al cuadrado tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{x+1} \amp =\amp 6-x /()^2\\
x+1\amp =\amp 36-12x+x^2 \\
x^2-13x+35\amp =\amp 0
\end{array}
\end{equation*}
Su discriminante es \(169-140=29 \gt 0\text{,}\) luego tenemos
\begin{equation*}
x= \frac{13\pm \sqrt{29}}{2}
\end{equation*}
Note que un de los valores es mayor que 6, y ambos son mayores que -1, luego se obtiene
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{ \frac{13-\sqrt{29}}{2} \right\}.
\end{equation*}
Subsección 1.4.5 Valor Absoluto
Definición 1.4.43
Sea \(x\in \mathbb{R}\text{,}\) se define el valor absoluto de \(x\) como
\begin{equation*}
|x|=\left \{ \begin{array}{rcc}
x \amp \text{si} \amp x\geq 0\\
-x \amp \text{si} \amp x \lt 0
\end{array} \right.
\end{equation*}
Observación: Note que se cumple \(\sqrt{a^2}=|a|,\quad \forall a\in \mathbb{R}.\)
Ejemplo 1.4.44
Comprobar los siguientes valores
- \(|-3|=3\)
- \(|\sqrt{3}-2|= 2-\sqrt{3}\)
- \(|3-|\sqrt{3}-2||= |3-(2-\sqrt{3})|=|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}\)
- \(|\sqrt{5}-|2-\sqrt{5}||= 2\)
Proposición 1.4.45
Sean \(a,b\in \mathbb{R}, c\in\mathbb{R}^+_0 \) entonces:
- \(|a|\geq 0.\)
- \(|a|=|-a|.\)
- \(|ab|=|a||b|.\)
- \(|a|^2=|a^2|=a^2.\)
- \(-|a|\leq a \leq |a|.\)
- \(|a|=|b|\Leftrightarrow a^2=b^2.\)
- \(\sqrt{a^2}=|a|.\)
- \(|a|=c \Leftrightarrow (a=c \vee a=-c).\)
- \(|a|=|b|\Leftrightarrow (a=b \vee a=-b).\)
Ejemplo 1.4.46
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
|x|=3
\end{equation*}
De la propiedad anterior item h, tenemos que
\begin{equation*}
x=3\ \vee\ x=-3
\end{equation*}
Luego el conjunto solución es:
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\{3,-3\}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.47
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
|x-3|=\sqrt{3}-1
\end{equation*}
Como \(\sqrt{3}-1 \gt 0\text{,}\) de la propiedad anterior item h, tenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x-3=\sqrt{3}-1 \amp \vee\amp x-3=-(\sqrt{3}-1)\\
x=\sqrt{3}+2 \amp \vee\amp x=-\sqrt{3}+4
\end{array}
\end{equation*}
Luego el conjunto solución es:
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\{\sqrt{3}+2,-\sqrt{3}+4\}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.48
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
|2x-7|=\sqrt{5} -3
\end{equation*}
Como \(\sqrt{5}-3 \lt 0 \text{,}\) luego por propiedad anterior item a, tenemos que el conjunto solución es:
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\phi
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.49
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
|3-x|=3x-1
\end{equation*}
Como \(|3-x|\geq 0\text{,}\) luego tenemos que \(3x+1\geq 0\) y por lo tanto \(x\geq -\frac{1}{3}\text{,}\) ahora de la propiedad anterior item h, tenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
3-x=3x-1 \amp \vee\amp 3-x=-(3x-1)\\
-4x=-4\amp \vee\amp 2x=-2 \\
x=1\amp \vee\amp x=-1
\end{array}
\end{equation*}
Note que uno de los valores no cumple la restricción, luego el conjunto solución es:
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\{1\}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.50
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
||x-1|-3|=5
\end{equation*}
De la propiedad anterior item h, tenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
|x-1|-3=5 \amp \vee\amp |x-1|-3=-5\\
|x-1|=8 \amp \vee\amp |x-1|=-2
\end{array}
\end{equation*}
Como \(0\leq |x-1|=-2 \lt 0\) es una contradicción, luego continuamos con la otra igualdad
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\amp |x-1|=8 \\
x-1=8 \amp \vee\amp x-1=-8\\
x=9 \amp \vee\amp x=-7
\end{array}
\end{equation*}
Luego el conjunto solución es:
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\{-7,9\}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.51
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
||x-1|-3x|=2
\end{equation*}
Podemos aplicar la propiedad anterior item h y tenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
|x-1|-3x=2 \amp \vee\amp |x-1|-3x=-2\\
|x-1|=2+3x \amp \vee\amp |x-1|=-2+3x
\end{array}
\end{equation*}
Lo resolveremos por caso
Primer Caso \(|x-1|=2+3x\)
Como \(0\leq |x-1|=2+3x\text{,}\) luego tenemos que \(x\geq -\frac{2}{3}\) y ahora aplicamos la propiedad
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x-1=2+3x \amp \vee\amp x-1=-(2+3x)\\
-2x=3 \amp \vee\amp 4x=-1 \\
x=-\frac{3}{2} \amp \vee\amp x=-\frac{1}{4}
\end{array}
\end{equation*}
Luego tenemos,
\begin{equation*}
\mathcal{S}_1=\left\{-\frac{1}{4}\right\}
\end{equation*}
Segundo Caso \(|x-1|=-2+3x\)
Como \(0\leq |x-1|=-2+3x\text{,}\) luego tenemos que \(x\geq \frac{2}{3}\) y ahora aplicamos la propiedad
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x-1=-2+3x \amp \vee\amp x-1=-(-2+3x)\\
-2x=-1 \amp \vee\amp 4x=3 \\
x=\frac{1}{2} \amp \vee\amp x=\frac{3}{4}
\end{array}
\end{equation*}
Luego tenemos
\begin{equation*}
\mathcal{S}_2=\left\{\frac{3}{4}\right\}
\end{equation*}
Así el conjunto solución es:
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{-\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right\}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.52
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
|2x-7|-|x|=2
\end{equation*}
Despejando tenemos
\begin{equation*}
|2x-7|=|x|+2
\end{equation*}
Ahora podemos aplicar la propiedad anterior item h y tenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
2x-7=|x|+2 \amp \vee\amp 2x-1=-(|x|+2)\\
|x|=2x-9 \amp \vee\amp |x|=-1-2x
\end{array}
\end{equation*}
Lo resolveremos por caso
Primer Caso \(|x|=2x-9\)
Como \(0\leq |x|=2x-9\text{,}\) luego tenemos que \(x\geq \frac{9}{2}\) y ahora usamos la propiedad
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x=2x-9 \amp \vee\amp x=-(2x-9)\\
x=9 \amp \vee\amp 3x=9 \\
x=9 \amp \vee\amp x=3
\end{array}
\end{equation*}
Luego tenemos,
\begin{equation*}
\mathcal{S}_1=\left\{9 \right\}
\end{equation*}
Segundo Caso \(|x|=-1-2x\)
Como \(0\leq |x-1|=-1-2x\text{,}\) luego tenemos que \(x\geq -\frac{1}{2}\) y ahora usamos la propiedad
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
x=-1-2x \amp \vee\amp x=-(-1-2x)\\
3x=-1 \amp \vee\amp -x=1 \\
x=-\frac{1}{3} \amp \vee\amp x=-1
\end{array}
\end{equation*}
Luego tenemos
\begin{equation*}
\mathcal{S}_2=\left\{-\frac{1}{3}\right\}
\end{equation*}
Así el conjunto solución es:
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{-\frac{1}{3},\ 9\right\}
\end{equation*}
Subsección 1.4.6 Inecuaciones
En la secciones anteriores, hemos resuelto problemas donde figura el símbolo de igualdad en la función proposición, lo que hemos llamado ecuación. Ahora emprenderemos el desafió de resolver problemas donde aparece el símbolo de desigualdad, llamadas inecuaciones.
Para ello, a continuación formalizamos algunos conceptos que ya hemos utilizados anteriormente.
-
Conjunto Restricción
Llamaremos conjunto restricción de una expresión que involucra términos \(P(x)\) y \(Q(x)\) al conjunto \(\mathcal{R}\) de los \(x\in \mathbb{R}\) para los cuales cada término de la expresión esta definido en \(\mathbb{R}\text{.}\) Los términos \(P(x)\) y \(Q(x)\) son tales que al menos uno de ellos involucra la variable \(x\text{.}\)
-
Conjunto Solución
Llamaremos conjunto solución de la ecuación \(P(x)=Q(x)\) o de la inecuación \(P(x)\leq Q(x)\) al subconjunto \(\mathcal{S}\) de los \(x\) en \(\mathcal{R}\) que satisfacen la ecuación o inecuación, es decir
\begin{equation*} \mathcal{S}=\{x\in \mathcal{R}\,\,|\,\,P(x)=Q(x)\}\quad \vee \quad \mathcal{S}=\{x\in \mathcal{R}\,\,|\,\,P(x)\leq Q(x)\}. \end{equation*}
Intervalos en \(\mathbb{R}\) : Sean \(a,b\in \mathbb{R} \text{,}\) con \(a\leq b\) se denotan
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
[a,b[ = \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, a \leq x \lt b\}; \amp \quad \amp
]-\infty,b] = \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, x\leq b\}; \\
]a,b] = \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, a \lt x\leq b\}; \amp \amp
]-\infty,b[ = \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, x \lt b\};\\
]a,b[ = \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, a \lt x \lt b\}; \amp \amp
]a,\infty[ = \{ x\in \mathbb{R}\ | \ x \gt a\}; \\
\left[a,b \right] = \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, a\leq x\leq b\}; \amp \amp
[a, \infty [ = \{ x\in \mathbb{R}\ | \ x\geq a \}.
\end{array}
\end{equation*}
Una inecuación lineal, es decir, una inecuación de uno de los siguientes tipos
\begin{equation*}
ax+b \leq 0 \text{ o bien } ax+b \lt 0 \text{ o bien }
ax+b \geq 0 \text{ o bien } ax+b \gt 0
\end{equation*}
donde \(a,b \in \mathbb{R} \)
Veamos un caso particular de resolver la inecuación \(ax+b \leq 0 \) significa despejar la variable para ello
\begin{equation*}
ax+b \leq 0 \text{ si y sólo si } ax \leq -b
\end{equation*}
para concluir necesitamos saber el signo de \(a\text{.}\) Veamos dos ejemplos
Ejemplo 1.4.53
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
3x+5\leq 10.
\end{equation*}
En este caso \(\mathcal{R}\) es todo \(\mathbb{R}\text{,}\) ahora bien
\begin{equation*}
\begin{array}{crcl}
\amp 3x+5 \amp \leq \amp 10\\
\Leftrightarrow \amp 3x \amp \leq \amp 5\\
\Leftrightarrow \amp x \amp \leq \amp \dfrac{5}{3}.
\end{array}
\end{equation*}
Tenemos entonces que
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{x\in
\mathbb{R}\,\,\left|\,\,x\leq \dfrac{5}{3}\right.\right\}=\left
]-\infty, \dfrac{5}{3}\right ].
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.54
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
8-5x\leq -6.
\end{equation*}
En este caso \(\mathcal{R}\) es todo \(\mathbb{R}\text{,}\) ahora bien
\begin{equation*}
\begin{array}{crcl}
\amp 8-5x\amp \leq \amp -6\\
\Leftrightarrow \amp -5x \amp \leq \amp -14\\
\Leftrightarrow \amp x \amp \geq \amp \dfrac{14}{5}.
\end{array}
\end{equation*}
Tenemos entonces que
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{x\in
\mathbb{R}\,\,\left|\,\,x\geq \dfrac{14}{5}\right.\right\}=\left
[\dfrac{14}{5},\infty\right[.
\end{equation*}
Subsección 1.4.7 Factores lineales
Proposición 1.4.55
Sean \(a,b\in \mathbb{R}\)
- \(ab \gt 0 \Leftrightarrow (a \gt 0 \wedge b \gt 0) \vee (a \lt 0 \wedge b \lt 0).\)
- \(ab\geq 0 \Leftrightarrow (a\geq 0 \wedge b \geq 0) \vee (a\leq 0 \wedge b\leq 0).\)
- \(ab \lt 0 \Leftrightarrow (a \gt 0 \wedge b \lt 0)\vee(a \lt 0 \wedge b \gt 0).\)
- \(ab\leq0 \Leftrightarrow (a\geq 0 \wedge b \leq 0)\vee(a\leq 0 \wedge b\geq 0).\)
Demostración
Demostraremos sólo el primer item, ya que, la demostración de los otros ítemes, es análoga y se dejará como ejercicio.
\((\Rightarrow)\) Sean \(a,b\in \mathbb{R}\text{,}\) y suponemos que \(ab \gt 0 \)
Primer caso. Si \(a\in \mathbb{R}^+\) entonces \(a^{-1}\in \mathbb{R}^+\text{,}\) luego por axioma (2) y asociatividad se tiene que \(a^{-1}(ab)=b\in \mathbb{R}^+\) y en consecuencia
\begin{equation*}
ab\in \mathbb{R}^+ \Rightarrow a\in \mathbb{R}^+ \wedge b\in
\mathbb{R}^+
\end{equation*}
\begin{equation*}
ab \gt 0 \Rightarrow a \gt 0 \wedge b \gt 0.
\end{equation*}
Segundo caso. Si \(a\in \mathbb{R}^-\) entonces \(a^{-1}\in \mathbb{R}^-\text{,}\) luego por axioma (2) y asociatividad se tiene que \(a^{-1}(ab)=b\in \mathbb{R}^-\) y en consecuencia
\begin{equation*}
ab\in \mathbb{R}^+ \Rightarrow a\in \mathbb{R}^- \wedge b\in
\mathbb{R}^-
\end{equation*}
por lo tanto
\begin{equation*}
ab \gt 0 \Rightarrow a \lt 0 \wedge b \lt 0
\end{equation*}
tenemos entonces que \(ab \gt 0 \Rightarrow (a \gt 0 \wedge b \gt 0) \vee (a \lt 0 \wedge b \lt 0).\)
\((\Leftarrow)\) Sean \(a,b\in \mathbb{R}\text{,}\) y suponemos que \((a \gt 0 \wedge b \gt 0) \vee (a \lt 0 \wedge b \lt 0) \)
Claramente por el axioma (2)
\begin{equation*}
(a\in \mathbb{R}^+ \wedge b\in \mathbb{R}^+)
\Rightarrow ab\in \mathbb{R}^+
\end{equation*}
y la otra posibilidad
\begin{equation*}
(a\in \mathbb{R}^- \wedge b\in \mathbb{R}^-)
\end{equation*}
luego tenemos que
\begin{equation*}
ab=(-a)(-b)\in \mathbb{R}^+.
\end{equation*}
En consecuencia
\begin{equation*}
[(a \gt 0 \wedge b \gt 0) \vee (a \lt 0 \wedge
b \lt 0)]\Rightarrow ab \gt 0.
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.56
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
(x-3)(x+5)\geq 0.
\end{equation*}
El conjunto restricción de la inecuación es \(\mathcal{R}=\mathbb{R},\) ahora bien obtenemos que:
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
(x-3)(x+5)\geq 0 \amp \Leftrightarrow \amp (x-3\geq 0 \wedge (x+5) \geq 0)
\vee (x-3\leq
0 \wedge (x+5) \leq 0)\\
\amp \Leftrightarrow \amp (x\geq 3 \wedge x \geq -5) \vee (x\leq 3 \wedge
x \leq -5)\\
\amp \Leftrightarrow \amp (x\geq 3) \vee (x \leq -5).
\end{array}
\end{equation*}
Por lo tanto
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{x\in \mathcal{R}\,\,\left|\,\,
(x-3)(x+5)\geq 0\right.\right\}=\, ]-\infty,-5]\cup
[3,\infty[.
\end{equation*}
Observación: La resolución de la inecuación \((x-3)(x+5)\geq 0\text{,}\) se puede resumir en la siguiente tabla
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\amp ]-\infty,-5[\amp -5\amp ]-5,3[\amp 3\amp ]3,\infty[\\
\hline
x-3\amp -\amp \amp -\amp 0\amp +\\
\hline
x+5\amp -\amp 0\amp +\amp \amp +\\
\hline (x-3)(x+5)\amp +\amp 0\amp -\amp 0\amp +\\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
Donde el signo \(+\) y \(-\) indican que el factor es positivo o negativo en el intervalo analizado, y en la última fila se anota el signo del producto.
Ahora observando la última fila de la tabla tenemos que, la solución a la inecuación
\begin{equation*}
(x-3)(x+5)\geq 0
\end{equation*}
es \(\mathcal{S}=]-\infty,-5] \cup [3,\infty[\text{.}\)
Ejemplo 1.4.57
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
\dfrac{2x-5}{3x+9}\geq 0.
\end{equation*}
El conjunto restricción de la inecuación es
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\{x\in
\mathbb{R}\,\,|\,\,3x+9\neq 0\}=\mathbb{R}-\{-3\},
\end{equation*}
ahora bien notando que \(a\) y \(a^{-1}\) ambos son negativos o positivos, de otro modo el signo de \(a\) y \(a^{-1}\) es el mismo, obtenemos que:
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\dfrac{2x-5}{3x+9}\geq 0 \amp \Leftrightarrow \amp (2x-5\geq 0 \wedge (3+9)^{-1} \gt 0)
\vee (2x-5\leq
0 \wedge (3x+9)^{-1} \lt 0)\\
\amp \Leftrightarrow \amp (2x-5\geq 0 \wedge 3x+9 \gt 0)
\vee (2x-5\leq 0 \wedge 3x+9 \lt 0)\\
\amp \Leftrightarrow \amp (x\geq 5/2 \wedge x \gt -3) \vee (x\leq 5/2 \wedge
x \lt -3)\\
\amp \Leftrightarrow \amp (x\geq 5/2) \vee (x \lt -3).
\end{array}
\end{equation*}
Por lo tanto
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\left\{x\in \mathcal{R}\,\,\left|\,\,
\dfrac{2x-5}{3x+9}\geq 0\right.\right\}=\, ]-\infty,-3[ \cup
[5/2,\infty[.
\end{equation*}
De otro modo, tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
\amp ]-\infty,-3[\amp -3\amp ]-3,5/2[\amp 5/2\amp ]5/2,\infty[\\
\hline
2x-5\amp -\amp \amp -\amp 0\amp +\\
\hline
3x+9\amp -\amp 0\amp +\amp \amp +\\
\hline \dfrac{2x-5}{3x+9}\amp +\amp \not \exists \amp -\amp 0\amp +\\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
El conjunto solución de la inecuación es
\begin{equation*}
\mathcal{S}= ]-\infty,-3[ \cup [5/2,\infty[.
\end{equation*}
Observación: Recuerde que una expresión del tipo \(ax+b\text{,}\) con \(a\neq 0\) en un punto es cero, y en los intervalos complementarios es positivo o negativo, lo que se resumen en la siguiente tabla:
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|cc\|}\hline
\amp ]-\infty,-b/a[\amp -b/a \amp ]-b/a,\infty[ \\
\hline
ax+b \amp -\amp 0\amp + \amp \text{ si } a\gt 0\\
\hline
ax+b\amp +\amp 0\amp -\amp \text{ si } a\lt 0 \\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.58
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
\dfrac{(4-2x)(x+3)}{x^2-49}\leq 0.
\end{equation*}
La restricción de la inecuación es \(\mathcal{R}=\{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,x^2-49\neq 0\}=\mathbb{R}-\{-7,7\}\text{,}\) ahora bien
\begin{equation*}
\begin{array}{crc}
\dfrac{(4-2x)(x+3)}{x^2-49} \leq 0
\amp \Leftrightarrow \amp \dfrac{(4-2x)(x+3)}{(x+7)(x-7)} \leq 0.
\end{array}
\end{equation*}
Consideremos la tabla formada por todos los factores involucrados
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \amp
]-\infty,-7[ \amp -7 \amp ]-7,-3[ \amp -3 \amp ]-3,2[ \amp 2 \amp ]2,7[ \amp 7
\amp ]7,\infty[ \\ \hline
4-2x \amp + \amp \amp + \amp \amp + \amp 0 \amp -\amp \amp - \\ \hline
x+3 \amp - \amp \amp - \amp 0 \amp + \amp \amp + \amp \amp +\\ \hline
x+7 \amp - \amp 0 \amp + \amp \amp + \amp \amp + \amp \amp + \\ \hline
x-7 \amp - \amp \amp - \amp \amp - \amp \amp - \amp 0 \amp + \\ \hline
\frac{(4-2x)(x+3)}{x^2-49}\amp - \amp \not \exists \amp + \amp
0 \amp -\amp 0 \amp + \amp \not \exists \amp - \\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
Observando la tabla tenemos que \(\dfrac{(4-2x)(x+3)}{x^2-49}\leq 0\) en \(]-\infty,-7[\cup [-3,2] \cup ]7,\infty[\text{,}\) luego
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\mathcal{R} \cap (]-\infty,-7[\cup [-3,2] \cup ]7,\infty[)=
]-\infty,-7[\cup [-3,2] \cup ]7,\infty[.
\end{equation*}
Subsección 1.4.8 Inecuaciones con factores no lineales
Proposición 1.4.59
Sean \(a,b,c,d\in \mathbb{R}^+\) y \(n\in \mathbb{N}\)
- \((a \lt b \wedge c \lt d) \Rightarrow ac \lt bd.\)
- \(a \lt b \Leftrightarrow a^n \lt b^n.\)
Demostración
Inmediato del corolario Corolario 1.4.7 parte \(5\text{.}\)
-
\((\Rightarrow)\) De anterior item es claro que
\begin{equation*} (a \lt b \wedge a \lt b) \Rightarrow a^2 \lt b^2. \end{equation*}Continuando con este proceso, se prueba inductivamente, ya que
\begin{equation*} (a \lt b \wedge a^n \lt b^n) \Rightarrow a^{n+1} \lt b^{n+1}. \end{equation*}\((\Leftarrow)\)Sea
\begin{equation*} L=(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots + ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{equation*}entonces se tiene que
\begin{equation*} a^n-b^n=(a-b)L. \end{equation*}Ahora bien como \(a,b\in \mathbb{R}^+\) tenemos que \(L\in \mathbb{R}^+\) y así por corolario Corolario 1.4.7 parte \(2\) \(L^{-1}\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Por hipótesis tenemos que \(a^n \lt b^n \Leftrightarrow a^n-b^n \lt 0\text{,}\) es decir
\begin{equation*} (a-b)L \lt 0 \end{equation*}pero \(L^{-1} \gt 0\text{,}\) luego \((a-b)LL^{-1} \lt 0\text{,}\) de donde
\begin{equation*} a-b \lt 0 \Leftrightarrow a \lt b \end{equation*}concluyendo así la demostración.
Corolario 1.4.60
Para todo \(a,b\in \mathbb{R}^+\) y \(n\in \mathbb{N}\)
\begin{equation*}
a \lt b \Leftrightarrow \sqrt[n]{a} \lt \sqrt[n]{b}
\end{equation*}
Demostración
Como \(a\) y \(b\in \mathbb{R}^+\text{,}\) entonces \(a=(\sqrt[n]{a})^n\) y \(b=(\sqrt[n]{b})^n\text{,}\) luego de acuerdo a la proposición anterior tenemos que
\begin{equation*}
\sqrt[n]{a} \lt \sqrt[n]{b}\Leftrightarrow(\sqrt[n]{a})^n \lt (\sqrt[n]{b})^n
\Leftrightarrow a \lt b.
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.61
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
x-5 \leq \sqrt{x^2-2}.
\end{equation*}
Veamos primero la restricción de la inecuación
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\mathcal{R} \amp = \amp \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,x^2-2\geq 0\} \\
\amp = \amp \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\geq 0\} \\
\amp = \amp \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,x\geq \sqrt{2} \vee x\leq
-\sqrt{2}\}\\
\amp = \amp ]-\infty,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2},\infty[.
\end{array}
\end{equation*}
Ahora debemos analizar los casos \(x-5\geq 0 \wedge x-5 \lt 0\text{,}\) esto es
-
Supongamos \(x-5\leq 0\) y \(x\in \mathcal{R}\text{,}\) es decir
\begin{equation*} x\in \mathcal{R}_1=\mathcal{R} \cap ]-\infty,5]= ]-\infty,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2},5] \end{equation*}como \(x-5\leq 0\) y \(0\leq \sqrt{x^2-2}\text{,}\) para \(x\in \mathcal{R}_1\) la desigualdad \(x-5 \leq \sqrt{x^2-2}\) se satisface. Luego la solución en este caso está dada por
\begin{equation*} \mathcal{S}_1=]-\infty,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2},5]. \end{equation*} -
Supongamos ahora \(x-5\geq 0\) y \(x\in \mathcal{R}\text{,}\) es decir
\begin{equation*} x\in \mathcal{R}_2=\mathcal{R} \cap [5,\infty[=[5,\infty[ \end{equation*}ahora bien como \(x-5\geq 0\) y \(\sqrt{x^2-2}\geq 0\) para \(x\in \mathcal{R}_2\text{,}\) podemos elevar al cuadrado la desigualdad dada, así
\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp x-5 \amp \leq \amp \sqrt{x^2-2}\\ \Leftrightarrow \amp x^2 -10x+25 \amp \leq \amp x^2-2\\ \Leftrightarrow \amp x \amp \geq \amp \dfrac{27}{10} \end{array} \end{equation*}luego la solución en este caso está dada por
\begin{equation*} \mathcal{S}_2= \mathcal{R}_2 \cap \left[ \dfrac{27}{10},\infty\right[=[5,\infty[. \end{equation*}Tenemos entonces que la solución de la inecuación es
\begin{equation*} \mathcal{S}=\mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2=]-\infty,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2},\infty[. \end{equation*}
Ejemplo 1.4.62
Resolver la inecuación
\begin{equation*}
\sqrt{x-3}-\sqrt{2x+1}\leq 1
\end{equation*}
La restricciones son \(x-3 \geq 0 \ \wedge\ 2x+1 \geq 0\text{,}\) es decir, \(x \geq 3 \ \wedge\ x \geq -\frac{1}{2}\text{,}\) luego el conjunto restricción de la inecuación es
\begin{equation*}
\mathcal{R}=[3,\infty [.
\end{equation*}
Para poder elevar al cuadrado, debemos tener seguridad que los términos son no negativos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{x-3}-\sqrt{2x+1}\amp \leq \amp 1 \\
\sqrt{x-3}\amp \leq \amp 1 +\sqrt{2x+1} \ \ ()^2 \\
x-3\amp \leq \amp 1+2\sqrt{2x+1}+2x+1 \\
-x-5\amp \leq \amp 2\sqrt{2x+1}
\end{array}
\end{equation*}
Considerando la restricción tenemos que
\begin{equation*}
x \geq 3\Leftrightarrow -x-5 \leq -8
\end{equation*}
Por lo cual obtenemos que,
\begin{equation*}
\underset{-}{ \underbrace{-x-5}} \leq \underset{+}{\underbrace{\sqrt{2x+1}}}
\end{equation*}
de este modo la desigualdad se cumple siempre.
Así el conjunto solución es
\begin{equation*}
S=[3, \infty[.
\end{equation*}
Proposición 1.4.63
Dado el polinomio cuadrático \(ax^2+bx+c\text{,}\) tenemos que:
-
Si \(\bigtriangleup=b^2-4ac \lt 0\) y \(a \gt 0\text{,}\) entonces
\begin{equation*} ax^2+bx+c \gt 0,\quad \forall x\in \mathbb{R}. \end{equation*} -
Si \(\bigtriangleup=b^2-4ac \lt 0\) y \(a \lt 0\text{,}\) entonces
\begin{equation*} ax^2+bx+c \lt 0,\quad \forall x\in\mathbb{R}. \end{equation*}
Demostración
Dada la polinomio de segundo grado, tenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
(4a) (ax^2+bx+c) \amp =\amp 4a^2x^2+4abx+4ac \\
\amp =\amp (2ax)^2+2(2ax)b + b^2-b^2 +4ac \\
\amp =\amp \left(2ax+b\right)^2 + 4ac-b^2
\end{array}
\end{equation*}
De este modo tenemos
\begin{equation*}
ax^2+bx+c= \dfrac{\left(2ax+b\right)^2 + 4ac-b^2}{4a}
\end{equation*}
Supongamos ahora que \(\bigtriangleup \lt 0\) y \(a \gt 0\text{,}\) entonces se tiene que las expresiones \(\left(2ax+b\right)^2\) y \(4ac-b^2\) son siempre positivas, de lo cual se obtiene que \(\left(2ax+b\right)^2+ (4ac-b^2) \gt 0\text{,}\) es decir,
\begin{equation*}
ax^2+bx+c \gt 0,\quad \forall x\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
Análogamente se obtiene que si \(\bigtriangleup \lt 0\) y \(a \lt 0\text{,}\) entonces \(ax^2+bx+c \lt 0,\quad \forall x\in \mathbb{R}\text{.}\)
Ejemplo 1.4.64
Resolver la siguiente inecuación
\begin{equation*}
x^2+2x+7 \gt 0
\end{equation*}
Para resolver la ecuación cuadráticas
\begin{equation*}
x^2+2x+7 \gt 0
\end{equation*}
veamos su discriminate
Tenemos que \(\bigtriangleup=-24 \lt 0; a=1 \gt 0\text{.}\) Usando la propiedad Proposición 1.4.63 tenemos que
\begin{equation*}
S=\mathbb{R}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.65
Resolver la siguiente inecuación
\begin{equation*}
2x^2+2x+3 \lt 0
\end{equation*}
Para resolver la ecuación cuadráticas
\begin{equation*}
2x^2+2x+3 \lt 0
\end{equation*}
veamos su discriminate
Tenemos que \(\bigtriangleup=-20 \lt 0; a=2 \gt 0\text{.}\) Usando la propiedad Proposición 1.4.63 tenemos que
\begin{equation*}
S=\phi
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.66
Resolver la siguiente inecuación
\begin{equation*}
-x^2+2x-4 \gt 0
\end{equation*}
Para resolver la ecuación cuadráticas
\begin{equation*}
-x^2+2x-4 \gt 0
\end{equation*}
veamos su discriminate
Tenemos que \(\bigtriangleup=-12 \lt 0; a=-1 \lt 0\text{.}\) Usando la propiedad Proposición 1.4.63 tenemos que
\begin{equation*}
S=\phi
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.67
Resolver la siguiente inecuación
\begin{equation*}
-x^2-3x-5 \lt 0
\end{equation*}
Para resolver la ecuación cuadráticas
\begin{equation*}
-x^2-3x-5 \lt 0
\end{equation*}
veamos su discriminate
Tenemos que \(\bigtriangleup=-11 \lt 0; a=-1 \lt 0\text{.}\) Usando la propiedad Proposición 1.4.63 tenemos que
\begin{equation*}
S=\mathbb{R}
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.68
Resolver la inecuación
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{2}\cdot x}{x+1} \lt -\frac{1}{x}
\end{equation*}
La restricciones son \(x+1 \neq 0 \ \wedge\ x \neq 0\text{,}\) luego el conjunto de restricción es
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\mathbb{R}-\{0,-1\}
\end{equation*}
La resolución del problema lo tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{\sqrt{2} x}{x+1} \lt -\frac{1}{x} \\
\frac{\sqrt{2} x}{x+1}+\frac{1}{x} \lt 0 \\
\frac{\sqrt{2} x^2+x+1}{x(x+1)} \lt 0
\end{array}
\end{equation*}
Como \(\bigtriangleup(\sqrt{2} x^2+x+1)=1-4\sqrt{2} \lt 0; a=\sqrt{2} \gt 0\text{,}\) luego se tiene que
\begin{equation*}
\sqrt{2} x^2+x+1 \gt 0, \forall x\in\mathcal{R}.
\end{equation*}
Para continuar con el desarrollo, utilizaremos una tabla
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\amp ]-\infty,-1[ \amp -1 \amp ]-1,0[ \amp 0 \amp ]0,\infty[ \\ \hline
x \amp - \amp \amp - \amp 0 \amp + \\ \hline
x+1 \amp - \amp 0 \amp + \amp \amp + \\ \hline
\sqrt{2} x^2+x+1 \amp + \amp \amp + \amp \amp + \\ \hline
\frac{\sqrt{2} x^2+x+1}{x(x+1)} \amp + \amp \not \exists \amp - \amp \not \exists
\amp
+ \\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
así se obtiene que
\begin{equation*}
S=]-1,0[
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.69
Resolver la inecuación
\begin{equation*}
\frac{2x-1}{x+1}+\frac{x}{x-1}\leq 2
\end{equation*}
La restricciones son \(x+1 \neq 0 \ \wedge\ x-1 \neq 0\text{,}\) luego el conjunto de restricción es
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\mathbb{R}-\{-1,1\}
\end{equation*}
La resolución o búsqueda de la solución del problema, la obtenemos de lo tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{2x-1}{x+1}+\frac{x}{x-1}\leq 2 \\
\frac{2x-1}{x+1}+\frac{x}{x-1}- 2\leq 0 \\
\frac{(2x-1)(x-1)+x(x+1)-2(x^2-1)}{x^2-1}\leq 0 \\
\frac{x^2-2x+3}{x^2-1}\leq 0
\end{array}
\end{equation*}
Como \(\bigtriangleup(x^2-2x+3)=4-12=-8 \lt 0;\ a=1 \gt 0\text{,}\) luego tenemos que
\begin{equation*}
x^2-2x+3 \gt 0, \forall x\in \mathcal{R}.
\end{equation*}
Para concluir el desarrollo usaremos una tabla
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\amp ]-\infty,-1[ \amp -1 \amp ]-1,1[ \amp 1 \amp ]1,\infty[ \\
\hline
x+1 \amp - \amp 0 \amp + \amp \amp + \\
\hline
x-1 \amp - \amp \amp - \amp 0 \amp + \\
\hline
x^2-2x+3 \amp + \amp \amp + \amp \amp + \\
\hline \frac{ x^2-2x+3}{x^2-1} \amp + \amp \not \exists \amp - \amp \not \exists
\amp + \\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
así tenemos que
\begin{equation*}
S=]-1,1[
\end{equation*}
Subsección 1.4.9 Inecuaciones con Valor absoluto
Teorema 1.4.70
Sean \(x,y\in \mathbb{R}\) entonces:
- \(|x|\leq y \Leftrightarrow (-y\leq x \leq y).\)
- \(|x|\geq y \Leftrightarrow (y\geq x \vee x\leq -y).\)
Demostración
\((\Rightarrow )\) Supongamos que \(|x|\leq y.\)
Como \(x\leq |x| \wedge |x|\leq y\text{,}\) entonces por transitividad
\begin{equation*}
x \leq y.
\end{equation*}
Además
\begin{equation*}
|x|\leq y \Leftrightarrow -y\leq -|x|
\end{equation*}
pero por Proposición Proposición 1.4.45 parte (e) tenemos que
\begin{equation*}
-|x|\leq x
\end{equation*}
y nuevamente por transitividad
\begin{equation*}
-y \leq x
\end{equation*}
Luego tenemos que \(-y \leq x \leq y.\)
\((\Leftarrow )\) Supongamos que \(-y\leq x\leq y.\)
-
[Caso 1:] Si \(x\geq 0\) entonces \(|x|=x\)
además
\begin{equation*} x\leq y \end{equation*}luego
\begin{equation*} |x|\leq y. \end{equation*} -
[Caso 2:] Si \(x \lt 0\) entonces \(|x|=-x\) es decir, \(-|x|=x\)
además
\begin{equation*} -y\leq x \end{equation*}luego
\begin{equation*} -y\leq -|x| \Leftrightarrow |x|\leq y. \end{equation*}
En consecuencia
\begin{equation*}
|x|\leq y \Leftrightarrow -y\leq x \leq y
\end{equation*}
con lo cual la demostración está terminada.
Demostremos ahora la segunda parte, usando la equivalencia
\begin{equation*}
(p
\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow (\overline{p} \Leftrightarrow
\overline{q})
\end{equation*}
Aplicándola en la primera parte obtenemos
\begin{equation*}
|x| \gt y \Leftrightarrow (x \gt y \vee x \lt -y)
\end{equation*}
la cual puede ser extendida a
\begin{equation*}
|x|\geq y \Leftrightarrow (x\geq y \vee x\leq -y)
\end{equation*}
Así la demostración concluye.
Observación: Notemos que el teorema precedente es válido para todo \(y\in \mathbb{R}\text{,}\) sin embargo el caso en que \(y \lt 0\) nos permite proceder de manera más rápida, es decir, si \(y \lt 0\) entonces la proposición \(|x| \lt y\) es falsa, y la proposición \(|x| \gt y\) es verdadera.
El hecho de asegurar que la expresión \(|x| \lt y\) es falsa, se traduce diciendo que el conjunto solución de dicha inecuación es
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\emptyset.
\end{equation*}
Análogamente si la expresión \(|x| \gt y\) es verdadera, su conjunto solución es
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\mathbb{R}.
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.71
Resolver la inecuación
\begin{equation*}
|x| \lt -2
\end{equation*}
Solución
Considere la observación anterior, luego el conjunto solución es \(\mathcal{S}=\emptyset\text{.}\)
Pero si consideramos la inecuación
\begin{equation*}
|x| \gt -2
\end{equation*}
tenemos que la solución es \(\mathcal{S}=\mathbb{R}.\)
Ejemplo 1.4.72
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
|x+2|\geq 3.
\end{equation*}
Solución
Aplicando el teorema anterior tenemos que:
\begin{equation*}
\begin{array}{lcl}
|x+2|\geq 3 \amp \Leftrightarrow \amp x+2\geq 3 \,\vee\, x+2\leq -3\\
\amp \Leftrightarrow \amp x\geq 1 \,\vee\, x\leq -5\\
\amp \Leftrightarrow \amp x\in [1,\infty[ \,\cup\, ]-\infty,-5]\\
\amp \Leftrightarrow \amp x\in \mathbb{R}-]-5,1[.
\end{array}
\end{equation*}
Luego el conjunto solución de la inecuación \(|x+2|\geq 3\) está dado por
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\mathbb{R}-]-5,1[.
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.73
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
|x+\sqrt{2}|\leq \pi.
\end{equation*}
Solución
De acuerdo al teorema precedente se tiene que:
\begin{equation*}
\begin{array}{lcl}
|x+ \sqrt{2}|\leq \pi \amp \Leftrightarrow \amp -\pi \leq x+ \sqrt{2}\leq
\pi\\
\amp \Leftrightarrow \amp -\pi-\sqrt{2}\leq x\leq \pi-\sqrt{2}\\
\amp \Leftrightarrow \amp x\in [-\pi-\sqrt{2},\pi-\sqrt{2}].
\end{array}
\end{equation*}
Luego el conjunto solución de la inecuación esta dado por
\begin{equation*}
\mathcal{S}=[-\pi-\sqrt{2},\pi-\sqrt{2}].
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.74
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
|x-\sqrt{2}| \leq \sqrt{x^2-3}.
\end{equation*}
La restricción se obtiene de
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\mathcal{R} \amp = \amp \{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,x^2-3\geq 0\}\\
\amp = \amp \{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,|x|\geq \sqrt{3}\}\\
\amp = \amp \{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,x\geq \sqrt{3} \vee x\leq -\sqrt{3}\}\\
\amp = \amp ]-\infty,-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3},\infty[.
\end{array}
\end{equation*}
Ahora elevando al cuadrado en la desigualdad (\ref{||}) se tiene
\begin{equation*}
\begin{array}{crcl}
\amp |x-\sqrt{2}|^2 \amp \leq x^2-3\\
\Leftrightarrow \amp x^2-2\sqrt{2}x+2 \amp \leq \amp x^2-3\\
\Leftrightarrow \amp 5 \amp \leq \amp 2\sqrt{2}x\\
\Leftrightarrow \amp x \amp \geq \amp \dfrac{5}{2\sqrt{2}}.
\end{array}
\end{equation*}
Tenemos así que el conjunto solución de la inecuación (\ref{||}) está dado por
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\mathcal{R} \cap \left[ \dfrac{5}{2\sqrt{2}},\infty\right[
=\left[ \dfrac{5}{2\sqrt{2}},\infty\right[.
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.75
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
\dfrac{(x^2-2x-3)\sqrt{4-|x-2|}}{(x-1)(x^2-x+2)} \geq
0.
\end{equation*}
La restricción de
\begin{equation*}
\dfrac{(x^2-2x-3)\sqrt{4-|x-2|}}{(x-1)(x^2-x+2)} \geq
0.
\end{equation*}
es \(\mathcal{R}=\{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,4-|x-2|\geq 0 \wedge x-1\neq 0 \wedge x^2-x+2\neq 0\}.\) Analicemos cada caso:
- \begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp 4-|x-2| \amp \geq \amp 0\\ \Leftrightarrow \amp |x-2| \amp \leq \amp 4\\ \Leftrightarrow \amp -4 \leq x-2 \amp \wedge \amp x-2\leq 4\\ \Leftrightarrow \amp -2 \leq x \amp \wedge \amp x\leq 6\\ \Leftrightarrow \amp x\in [-2,6]. \end{array} \end{equation*}
- \begin{equation*} x-1\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 1. \end{equation*}
-
Debemos encontrar los \(x\in \mathbb{R}\) de modo que \(x^2-x+2\neq 0\text{,}\) ahora bien como el discriminante de la ecuación cuadrática es \(\bigtriangleup=-7 \lt 0\) y \(a=1 \gt 0\) tenemos por Propiedad Proposición 1.4.63 parte \((1)\) que la ecuación \(x^2-x+2 \gt 0, \forall x\in \mathbb{R}\text{,}\) lo cual en particular nos asegura que \(x^2-x+2\neq 0, \forall x\in \mathbb{R}\text{.}\)
Recuerde que el conjunto restricción corresponde a la intersección de los casos anteriores, ya que cada una de ella debe cumplirse, entonces que \(\mathcal{R}=[-2,6]-\{1\}\text{.}\)
Resolveremos la inecuación, con el apoyo de una tabla, pero antes analicemos algunos factores, \(\sqrt{4-|x-2|}\geq 0\) y \(x^2-x+2 \gt 0\) para todo \(x\in \mathcal{R}\text{,}\) basta sólo resolver la inecuación
para tener que
\begin{equation*}
\dfrac{(x^2-2x-3)\sqrt{4-|x-2|}}{(x-1)(x^2-x+2)}\geq 0.
\end{equation*}
Resolvamos entonces inecuaciones
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\amp ]-\infty,-1[ \amp -1 \amp ]-1,1[ \amp 1 \amp ]1,3[ \amp 3 \amp ]3,\infty[
\\ \hline
x-3 \amp - \amp \amp - \amp \amp - \amp 0 \amp + \\ \hline
x-1 \amp - \amp \amp - \amp 0 \amp + \amp \amp + \\ \hline
x+1 \amp - \amp 0 \amp + \amp \amp + \amp \amp + \\ \hline
\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)} \amp - \amp 0 \amp + \amp \not \exists \amp - \amp 0
\amp + \\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
De esto es claro que (\ref{sub}) se satisface en \([-1,1[ \cup [3,\infty[\text{,}\) luego la solución a la inecuación es
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\mathcal{R} \cap ([-1,1[ \cup
[3,\infty[)=[-1,1[ \cup [3,6].
\end{equation*}
Ejemplo 1.4.76
Determinar el conjunto solución de la inecuación
\begin{equation*}
|x-1|+|x-2| \leq |x-3|
\end{equation*}
Sea \(x\) que cumple
\begin{equation*}
|x-1|+|x-2| \leq |x-3|
\end{equation*}
Para dar solución a este problema consideremos la siguiente tabla, que nos ayuda en la clasificación de los casos que debemos estudiar.
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\amp ]-\infty,1[ \amp ]1,2[ \amp ]2,3[ \amp ]3,\infty[ \\ \hline
x-1 \amp - \amp + \amp + \amp + \\ \hline
x-2 \amp - \amp - \amp + \amp + \\ \hline
x-3 \amp - \amp - \amp - \amp + \\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
Note que esta tabla no permite resolver la inecuación como en el ejemplo anterior, pero gracias a la definición de valor absoluto podemos obtener la siguiente información:
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\amp ]-\infty,1[ \amp ]1,2[ \amp ]2,3[ \amp ]3,\infty[ \\ \hline
|x-1| \amp -(x-1) \amp x-1 \amp x-1 \amp x-1 \\ \hline
|x-2| \amp -(x-2) \amp -(x-2) \amp x-2 \amp x-2 \\ \hline
|x-3| \amp -(x-3) \amp -(x-3) \amp -(x-3) \amp x-3 \\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
Esto nos sugiere estudiar los siguientes casos cuatro casos:
-
Consideremos \(x\in ]-\infty,1] \text{,}\) luego reemplazando se tiene
\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp -(x-1)+(-(x-2)) \amp \leq \amp -(x-3)\\ \Leftrightarrow \amp 1-x+2-x \amp \leq \amp 3-x\\ \Leftrightarrow \amp x \amp \geq \amp 0. \end{array} \end{equation*}Así la solución en este caso es
\begin{equation*} \mathcal{S}_1=]-\infty,1] \cap [0,\infty[=[0,1]. \end{equation*} -
Consideremos \(x\in ]1,2] \text{,}\) luego reemplazando se tiene
\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp x-1+(-(x-2)) \amp \leq \amp -(x-3)\\ \Leftrightarrow \amp x-1+2-x \amp \leq \amp 3-x\\ \Leftrightarrow \amp x \amp \leq \amp 2. \end{array} \end{equation*}Así la solución en este caso es
\begin{equation*} \mathcal{S}_2=]1,2] \cap ]-\infty,2[=]1,2]. \end{equation*} -
Consideremos \(x\in ]2,3] \text{,}\) luego reemplazando se tiene
\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp x-1+x-2 \amp \leq \amp -(x-3)\\ \Leftrightarrow \amp 2x-3 \amp \leq \amp 3-x\\ \Leftrightarrow \amp x \amp \leq \amp 2. \end{array} \end{equation*}Así la solución en este caso es
\begin{equation*} \mathcal{S}_3=]2,3] \cap ]-\infty,2[=\emptyset. \end{equation*} -
Consideremos \(x\in ]3,\infty[ \text{,}\) luego reemplazando se tiene
\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp x-1+x-2 \amp \leq \amp x-3\\ \Leftrightarrow \amp 2x-3 \amp \leq \amp x-3\\ \Leftrightarrow \amp x \amp \leq \amp 0. \end{array} \end{equation*}Así la solución en este caso es
\begin{equation*} \mathcal{S}_4=]3,\infty[ \cap ]-\infty,0]=\emptyset. \end{equation*}
Tenemos entonces que la solución de la inecuación es
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2 \cup \mathcal{S}_3 \cup \mathcal{S}_4
=[0,2].
\end{equation*}
Teorema 1.4.77 [Desigualdad Triangular]
Sean \(x,y\in \mathbb{R}\) entonces
\begin{equation*}
|x+y|\leq |x|+|y|.
\end{equation*}
Demostración
Tenemos por Propiedad Proposición 1.4.45 parte (f) que para todo \(x,y\in \mathbb{R}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{lcr}
-|x|\leq x\leq |x|\\
-|y|\leq y\leq |y|
\end{array}
\end{equation*}
luego sumando, se tiene que
\begin{equation*}
-(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|
\end{equation*}
así
\begin{equation*}
|x+y|\leq |x|+|y|.
\end{equation*}
Corolario 1.4.78
Sean \(x,y\in \mathbb{R}\) entonces \(||x|-|y||\leq |x-y|.\)
Demostración
Notemos que \(|x|=|(x-y)+y|\leq |x-y|+|y|\)
De lo cual se obtiene
\begin{equation*}
|x|-|y| \leq |x-y|.
\end{equation*}
Por otro lado \(|y|=|(y-x)+x|\leq |y-x|+|x|\)
\begin{equation*}
\begin{array}{lcr}
|y|-|x| \amp \leq \amp |y-x| \\
\Leftrightarrow |y|-|x|\amp \leq \amp |x-y| \\
\Leftrightarrow |x|-|y| \amp \geq \amp -|x-y|.
\end{array}
\end{equation*}
Luego, tenemos que
\begin{equation*}
-|x-y|\leq |x|-|y|\leq |x-y| \Leftrightarrow ||x|-|y||\leq |x-y|.
\end{equation*}
Subsección 1.4.10 Ejercicios
Resolver las siguientes inecuaciones
- \(\dfrac{x}{x+1}\leq 1\)
- \((3x+1)(x+2) \gt 0\)
- \((x+1)(x+2) \lt (x+1)(4x-7)\)
- \(\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{x}{x-1} \lt 2\)
- \(\dfrac{x^2(x^2+1)(x+2)}{(x-1)(x^2+3)} \geq 0\)
- \(\sqrt{3x+1} \lt 2\)
- \(\sqrt{2x+5}\leq 3-x \)
- \(\sqrt{x-3} \geq 7-2x\)
- \(\sqrt{\sqrt{2+1}-1} \lt \sqrt{ x }\)
- \(|5x-7| \gt 2-x\)
- \(|3x-5| \gt x+2\)
- \(|2x-1|-|x-2| \lt 3x-7\)
- \(||2x-1|-x| \lt 3x-5\)
- \(\sqrt{2x+1} \lt |x|+3\)
El Conjunto solución en cada caso es:
- \(S= ]-1,\infty[\)
- \(S=]-\infty, -2[\cup ]-1/3,\infty[\)
- \(S=]-\infty, -1[\cup ]3,\infty[\)
- \(S=]-1,1[\)
- \(S=]-\infty ,-2]\cup \{0\}\cup ]-1,\infty[\)
- \(S=[1/3,5/3[\)
- \(S=[-5/2,4-\sqrt{12}[\)
- \(S=[13/4, \infty [\text{.}\)
- \(S=]0, \infty [\text{.}\)
- \(S=]-\infty, 5/4[\cup ]3/2,\infty[\)
- \(S=[3/4,7/2]\)
- \(S=]4,\infty[\)
- \(S=]2,\infty[\)
- \(v]-1/2,\infty[\)