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Sección 4.2 Funciones Trigonométricas

Sea \(\mathcal{C}\) la circunferencia unitaria de centro en el origen, es decir, de centro en \(C=(0,0)\) y radio \(1\text{,}\) entonces la ecuación que la define la circunferencia está dada por:

\begin{equation*} x^{2} + y^{2} = 1 \end{equation*}

Así tenemos que

\begin{equation*} \mathcal{C} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \;\; | \; x^{2} + y^{2}= 1 \} \end{equation*}

Algunos puntos distinguidos de la circunferencia unitaria son \((1,0),\) \((0,1),\) \((-1,0), \) \((0,-1)\)

Sea \(\theta \) un ángulo, ubiquemos el lado inicial en el semieje \(X\text{,}\) luego el lado final del ángulo \(\theta\) interseca la circunferencia en un punto, la primera coordenada se denota por \(\cos(\theta), \) y la segunda por \(\sin(\theta)\text{.}\)

De esta manera se definen las primeras funciones trigonométricas.

Definición 4.2.1

  1. La función seno, esta definida por:

    \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} \sin \amp : \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp [-1,1] \\ \amp \amp \theta \amp \longmapsto \amp \sin(\theta) \end{array} \end{equation*}

    donde \(\sin(\theta)\) representa la segunda coordenada del punto de intersección del lado final del ángulo \(\theta\) con la circunferencia, cuando el lado inicial se encuentra en el semieje positivo.

  2. La función coseno, esta definida por:

    \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} \cos \amp : \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp [-1,1] \\ \amp \amp \theta \amp \longmapsto \amp \cos(\theta) \end{array} \end{equation*}

    donde \(\cos(\theta)\) representa la primera coordenada del punto de intersección del lado final del ángulo \(\theta\) con la circunferencia, cuando el lado inicial se encuentra en el semieje positivo.

Los puntos distinguidos de la circunferencia nos permiten calcular algunos valores que a continuación listamos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (1,0) \amp =\amp \big( \cos(0^{\circ}) , \sin(0^{\circ} ) \big) \\ (0,1) \amp =\amp \big( \cos(90^{\circ}) , \sin(90^{\circ} ) \big) \\ (-1,0) \amp =\amp \big( \cos(180^{\circ}) , \sin(180^{\circ} ) \big) \\ (0,-1) \amp =\amp \big( \cos(270^{\circ}) , \sin(270^{\circ} ) \big) \\ (1,0) \amp =\amp \big( \cos(360^{\circ}) , \sin(360^{\circ} ) \big) \end{array} \end{equation*}

Podemos ordenar algunos de los valores de las funciones seno y coseno en la siguiente tabla

\begin{equation*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \theta \amp 0^{\circ} \equiv 0 \amp 90^{\circ} \equiv \frac{\pi}{2} \amp 180^{\circ} \equiv \pi \amp 270^{\circ} \equiv \frac{3 \pi}{2}\amp 360^{\circ} \equiv 2 \pi \\ \hline \sin(\theta) \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \\ \hline \cos(\theta) \amp 1 \amp 0 \amp -1\amp 0 \amp 1 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

Otros valores los podemos obtener, al dibujar un cuadrado de lado \(a\) en el primer cuadrante.

Como el vértice pertenece a la circunferencia luego se tiene que

\begin{equation*} a^2+a^2=1 \end{equation*}

y por lo tanto \(a= \frac{\sqrt{2}}{2} \text{,}\) pero además el ángulo \(\alpha \) es \(\pi/4\text{,}\) con lo cual tenemos que

\begin{equation*} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)= \frac{\sqrt{2}}{2},\ \ \ \ \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)= \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{equation*}

Ahora bien, este cuadrado lo podemos situar en diferentes cuadrante y ello nos permite calcular otros valores.

\begin{equation*} \begin{array}{rclcrcl} \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)\amp =\amp -\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ \amp \ \ \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)\amp =\amp \frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right)\amp =\amp -\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ \amp \ \ \sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)\amp =\amp -\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos \left(\frac{7\pi}{4}\right)\amp =\amp \frac{\sqrt{2}}{2},\ \ \amp \ \ \sin \left(\frac{7\pi}{4}\right)\amp =\amp -\frac{\sqrt{2}}{2}.\\ \end{array} \end{equation*}

Para calcular otro valores, usaremos una propiedad de los triángulos equiláteros, los ángulos son todos iguales y la alturas son mediana.

Consideremos un triángulo equilátero, con lado de longitud 1 y el ángulo interior \(\alpha =60^\circ\text{,}\) luego usando pitágoras tenemos que la altura mide \(\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Luego ubicamos el triángulo en la circunferencia unitaria y teniendo presentes la longitudes, obtenemos que las coordenadas tiene los siguiente valores:

\begin{equation*} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ \ \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{1}{2}. \end{equation*}

Realizando un reemplazo similar, es decir, ubicando el otro vértice del triángulo en el origen, obtenemos

\begin{equation*} \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{1}{2}\ \ \ \ \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{equation*}

como resumen de los valores obtenidos hasta el momento ellos son:

\begin{equation*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \sin \amp 0^{\circ} \equiv 0 \amp 30^{\circ} \equiv \frac{\pi}{6} \amp 45^{\circ} \equiv \frac{\pi}{4} \amp 60^{\circ} \equiv \frac{\pi}{3} \amp 90^{\circ} \equiv \frac{ \pi}{2} \\ \hline \amp \frac{\sqrt{0}}{2} \amp \frac{\sqrt{1}}{2} \amp \frac{\sqrt{2}}{2} \amp \frac{\sqrt{3}}{2} \amp \frac{\sqrt{4}}{2} \\ \hline \cos \amp 90^{\circ} \equiv \frac{ \pi}{2} \amp 60^{\circ} \equiv \frac{\pi}{3}\amp 45^{\circ} \equiv \frac{\pi}{4} \amp 30^{\circ} \equiv \frac{\pi}{6} \amp 0^{\circ}\equiv 0\\ \hline \end{array} \end{equation*}

Las gráfica de las funciones \(seno\) y \(coseno\) son:

La ecuación de la circunferencia unitaria esta dada por:

\begin{equation*} x^{2}+y^{2} = 1 \end{equation*}

y además \(x = \cos(\theta)\) e \(y = \sin(\theta)\text{,}\) son las coordenadas de un punto de la circunferencia, satisface la ecuación de la circunferencia y de este modo obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (\cos(\theta))^{2} + (\sin(\theta))^{2} \amp =\amp 1 \end{array} \end{equation*}

Despejando una de las funciones tenemos en

\begin{equation*} \cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1 \end{equation*}

Obtenemos:

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos^{2}(\theta) = 1 - \sin^{2}(\theta) \amp ;\amp \sin^{2}(\theta) = 1 - \cos^{2}(\theta) \\ \mid \cos(\theta) \mid = \sqrt{1 - \sin^{2}(\theta)}\amp ;\amp \mid \sin(\theta) \mid = \sqrt{1 - \cos^{2}(\theta)}\\ \end{array} \end{equation*}

Para la segunda parte, es decir, para demostrar que la función \(seno\) es una función impar y la función \(coseno \) es una función par, veremos lo siguiente. Sea \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\) luego grafiquemos los correspondiente puntos, \((x_1,y_1), (x_1,-y_1)\) en el plano

Se obtiene claramente que

\begin{equation*} (x_1,y_1)=(\cos (\alpha), \sin (\alpha) );\ \ \ \ (x_1,-y_1)=(\cos(-\alpha), \sin ( -\alpha )) \end{equation*}

de lo cual tenemos que

\begin{equation*} \cos (-\alpha )= \cos (\alpha), \ \ \sin( -\alpha) =- \sin( \alpha ) \end{equation*}
Definición 4.2.3

Una igualdad de funciones trigonométricas, en el dominio común es llamada una identidad trigonométrica.

Sean \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) y \(C(1,0),P,Q,R \in \mathbb{R}^{2}\text{,}\) pertenecen a la circunferencia unitaria, tales que \(\alpha\) es el ángulo que termina en el segmento \(\overline{CP}\) y \(\beta\) que se encuentra entre los segmentos \(\overline{CQ}\) y \(\overline{CP}\text{.}\)

Por lo tanto el ángulo que termina en el segmento \(\overline{CQ}\) es \(\alpha +\beta\) y escogemos \(R\) de modo que el ángulo que termina en \(\overline{CR}\) es \(- \beta\text{.}\)

Además, si tenemos presente que la función \(seno\) es una función impar y \(coseno\) una función par. Luego se obtiene

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} P \amp =\amp (\cos(\alpha) , \sin(\alpha)) \\ Q \amp =\amp (\cos(\alpha + \beta) , \sin(\alpha + \beta)) \\ R \amp =\amp (\cos(- \beta), \sin(- \beta))=(\cos(- \beta), \sin(- \beta)) = (\cos(\beta), - \sin(\beta)) \end{array} \end{equation*}

Recordemos que, si los arcos son iguales entonces los segmentos son iguales y además la distancia entre dos puntos esta dada por:

\begin{equation*} dist(P,Q) = \sqrt{(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}} \end{equation*}

Basándonos en que el arco \(\widehat{CQ}\) mide le mismo ángulo que el arco \(\widehat{PR}\) de la circunferencia unitaria, luego sus distancia al cuadrado son iguales tenemos \(dist^2(C,Q) = dist^2(P,R)\text{,}\) las veremos por separado

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} dist^2(C,Q) \amp =\amp (1- \cos(\alpha + \beta))^{2}+(0- \sin(\alpha + \beta))^{2} \\ \amp =\amp 1-2 \cos(\alpha + \beta)+ \cos^{2}(\alpha + \beta)+ \sin^{2}(\alpha + \beta) \\ \amp =\amp 1-2\cos(\alpha+\beta)+1 \end{array} \end{equation*}

Note que \(\sin^{2}(\gamma)+ \cos^{2}(\gamma)=1 \text{.}\)

La otra distancia

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \amp \amp dist^2(P,R) \\ \amp =\amp (\cos(\alpha)- \cos(\beta))^{2}+(\sin(\alpha)+\sin(\beta))^{2} \\ \amp =\amp \cos^{2}(\alpha) -2\cos(\alpha)\cos(\beta) + \cos^{2}(\beta) + \sin^{2}(\alpha)+ 2 \sin(\alpha)\sin(\beta)+\sin^{2}(\beta) \\ \amp =\amp -2\cos(\alpha)\cos(\beta)+2\sin(\alpha)\sin(\beta)+2 \end{array} \end{equation*}

Igualando tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} dist^2(C,Q) \amp =\amp dist^2(P,R) \\ 2-2\cos(\alpha+\beta) \amp =\amp -2\cos(\alpha)\cos(\beta)+2\sin(\alpha)\sin(\beta)+2 \\ \cos(\alpha+\beta)\amp =\amp \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) \end{array} \end{equation*}

De este modo se obtiene que

\begin{equation*} \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) \end{equation*}

Además, también obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos(\alpha-\beta)\amp =\amp \cos(\alpha+ -\beta) \\ \cos(\alpha-\beta)\amp =\amp \cos(\alpha)\cos(-\beta)- \sin(\alpha)\sin(-\beta)\\ \cos(\alpha-\beta) \amp =\amp \cos(\alpha)\cos(\beta)- \sin(\alpha)\cdot- \sin(\beta)\\ \cos(\alpha-\beta) \amp =\amp \cos(\alpha)\cos(\beta)+ \sin(\alpha)\sin(\beta). \end{array} \end{equation*}

La demostración son directas, basta con aplicar la identidad del teorema anterior y los valores conocidos de las funciones seno y coseno

En la parte (2) del corolario tenemos que \(\cos(\frac{\pi}{2}- \beta)= \sin(\beta)\text{,}\) realizando es cambio de variable \(\alpha = \frac{\pi}{2}-\beta \) tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos(\alpha) \amp =\amp \sin\left(\frac{\pi}{2}- \alpha\right) \end{array} \end{equation*}

Y esto nos permite calcular:

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin(\alpha+\beta) \amp =\amp \cos\left(\frac{\pi}{2}- (\alpha+\beta)\right)\\ \amp =\amp \cos\left((\frac{\pi}{2}- \alpha)-\beta\right)\\ \amp =\amp \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos(\beta)+ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin(\beta)\\ \amp =\amp \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \end{array} \end{equation*}

Además

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin(\alpha-\beta)\amp =\amp \sin(\alpha+ (-\beta))\\ \amp =\amp \sin(\alpha)\cos(-\beta) + \sin(-\beta)\cos(\alpha)\\ \amp =\amp \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\alpha). \end{array} \end{equation*}

Observación: Tenga presente que en general \(\cos(2 \alpha)\) es distinto de \(2 \cos(\alpha)\text{,}\) de la misma manera \(\sin(2 \alpha)\) es distinto de \(2 \sin(\alpha)\text{,}\) es decir,

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos(2 \alpha) \neq 2\cos(\alpha) \amp \qquad \amp \sin(2 \alpha) \neq 2\sin(\alpha) \end{array} \end{equation*}

lo que si es verdadero es

Sea \(\alpha \in \mathbb{R}^{2}\text{,}\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos(2 \alpha) \amp =\amp \cos(\alpha+\alpha)\\ \amp =\amp \cos(\alpha)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\alpha)\\ \amp =\amp \cos^{2}(\alpha)-\sin^{2}(\alpha) \ \qquad \qquad(1)\\ \amp =\amp (1-\sin^{2}(\alpha)) -\sin^{2}(\alpha) \\ \amp =\amp 1-2\sin^{2}(\alpha)\ \qquad \qquad\qquad(2) \end{array} \end{equation*}

o de otra forma

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos(2\alpha)\amp =\amp \cos^{2}(\alpha)-\sin^{2}(\alpha)\\ \amp =\amp \cos^{2}(\alpha)-(1-\cos^{2}(\alpha))\\ \amp =\amp -1+2\cos^{2}(\alpha)\ \qquad \qquad\qquad (3) \end{array} \end{equation*}

Observación: Para conocer otros valores de las funciones trigonométricas seno, coseno podemos usar las identidades trigonométricas obtenidas.

Calcule el valor de \(\sin\left(\frac{7 \pi}{6}\right)\)

Solución 1

El calculo lo podemos realizar en grados o radianes

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin\left(\frac{7 \pi}{6}\right) \amp =\amp \sin(210^{\circ}) \\ \sin(\pi + \frac{\pi}{6})\amp =\amp \sin(180^{\circ}+30^{\circ})\\ \sin(\pi) \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos(\pi) \amp =\amp \sin(180^{\circ}) \cos(30^{\circ}) + \sin(30^{\circ}) \cos(180^{\circ}) \end{array} \end{equation*}

Como \(\sin(\pi) = 0\) y \(\cos(-1)\) reemplazando obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) \amp =\amp \sin(\pi) \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos(\pi) \\ \amp =\amp 0 \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6}) \cdot -1 \\ \amp =\amp - \sin(\frac{\pi}{6}) \\ \amp =\amp - \frac{1}{2} \end{array} \end{equation*}

Calcular los valores de

\begin{equation*} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right),\ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \end{equation*}
Solución 2

Para ello usamos un desarrollo similar, solo hacemos notar que

\begin{equation*} \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{4} \end{equation*}

luego tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \amp =\amp \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \amp =\amp \frac{\sqrt{1}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \amp =\amp \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \end{array} \end{equation*}

con lo cual obtenemos

\begin{equation*} \cos \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}. \end{equation*}

Para el otro valor tenemos,

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \amp =\amp \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \amp =\amp \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{1}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \amp =\amp \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{array} \end{equation*}

con lo cual obtenemos

\begin{equation*} \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. \end{equation*}

Ahora definiremos las otras funciones trigonométricas

Definición 4.2.11

  1. La función \(tangente\)

    \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} \tan \amp :\amp \mathcal{A} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \\ \amp \amp \alpha \amp \longmapsto \amp \tan(\alpha) := \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{array} \end{equation*}

    Donde \(\mathcal{A}= \mathbb{R}- \{ \alpha \in \mathbb{R} \mid \alpha = (2k+1) \frac{\pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \}\text{.}\)

  2. La función \(cotangente\) se define de la siguiente manera:

    \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} \cot \amp :\amp \mathcal{B} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \\ \amp \amp \alpha \amp \longmapsto \amp \cot(\alpha) := \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{array} \end{equation*}

    Donde \(\mathcal{B}= \mathbb{R}- \{ \alpha \in \mathbb{R} \mid \alpha = k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \}\text{.}\)

  3. La función \(secante\)

    \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} \sec \amp :\amp \mathcal{A} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \\ \amp \amp \alpha \amp \longmapsto \amp \sec(\alpha) := \frac{1}{\cos(\alpha)} \end{array} \end{equation*}

    Donde \(\mathcal{A}= \mathbb{R} - \{ \alpha \in \mathbb{R} \mid \alpha = (2k+1)\frac{\pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \}\text{.}\)

  4. Y por último la función \(cosecante\)

    \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} \csc \amp :\amp \mathcal{B} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \\ \amp \amp \alpha \amp \longmapsto \amp \csc(\alpha) := \frac{1}{\sin(\alpha)} \end{array} \end{equation*}

    Donde \(\mathcal{B}= \{ \alpha \in \mathbb{R} \mid \alpha = k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \}\text{.}\)

Las gráficas de esta funciones son las siguientes:

  1. Tomemos \(\tan(- \alpha)\) tenemos:

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \tan(-\alpha) \amp =\amp \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = \frac{-\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = - \tan(\alpha) \end{array} \end{equation*}

    Además podemos obtener la siguiente formula

  2. \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \tan(\alpha + \beta) \amp =\amp \frac{\sin(\alpha + \beta) }{ \cos(\alpha + \beta)} \\ \amp =\amp \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha) }{ \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)} \end{array} \end{equation*}

    Amplifiquemos por \(\frac{\frac{1}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}}{\frac{1}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}} \text{,}\) entonces

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \tan(\alpha + \beta) \amp =\amp \frac{\frac{\sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}}{ \frac{ \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}} \\ \amp =\amp \frac{\frac{\sin(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} + \frac{\sin(\beta) \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}}{ \frac{\cos(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} - \frac{\sin(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}} \\ \amp =\amp \frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1 - \frac{\sin(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}} \\ \amp =\amp \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)} \end{array} \end{equation*}

Observación: Para conocer el valor de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante en ángulo, nos basta saber su valor en el primer cuadrante, algunos de los cual podemos resumir en la siguiente tabla

\begin{equation*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \amp 0 \amp \frac{\pi}{6} \amp \frac{\pi}{4} \amp \frac{\pi}{3} \amp \frac{\pi}{2} \\ \hline \sin(\theta) \amp 0 \amp \frac{1}{2} \amp \frac{\sqrt{2}}{2} \amp \frac{\sqrt{3}}{2} \amp 1 \\ \hline \cos(\theta) \amp 1 \amp \frac{\sqrt{3}}{2}\amp \frac{\sqrt{2}}{2} \amp \frac{1}{2} \amp 0 \\ \hline \tan(\theta) \amp 0 \amp \frac{1}{\sqrt{3}} \amp 1 \amp \sqrt{3} \amp \nexists \\ \hline \cot(\theta) \amp \nexists \amp \sqrt{3} \amp 1 \amp \frac{1}{\sqrt{3}} \amp 0 \\ \hline \sec(\theta) \amp 1 \amp \frac{2}{\sqrt{3}}\amp \frac{2}{\sqrt{2}} \amp 2 \amp \nexists \\ \hline \csc(\theta) \amp \nexists \amp 2 \amp \frac{2}{\sqrt{2}} \amp \frac{2}{\sqrt{3}} \amp 1 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

Subsección 4.2.1 Identidades Trigonométricas

Basándonos en las seis funciones antes definidas seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante tenemos la siguiente lista de identidades trigonométricas básicas:

  1. \(\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1 \)
  2. \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \sin(\beta) \cdot \cos(\alpha)\)
  3. \(\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\beta) \cdot \cos(\alpha)\)
  4. \(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)\)
  5. \(\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)\)
  6. \(\sin(2 \alpha)= 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\)
  7. \(\cos(2 \alpha)= \cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha)\)
  8. \(\cos(2 \alpha)= 1 - 2 \sin^{2}(\alpha)\)
  9. \(\cos(2 \alpha)= 2 \cos^{2}(\alpha) - 1\)
  10. \(\mid \sin(\frac{\alpha}{2}) \mid = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}\)
  11. \(\mid \cos(\frac{\alpha}{2}) \mid = \sqrt{\frac{\cos(\alpha)+1}{2}}\)
  12. \(\mid \sin(\alpha) \mid = \sqrt{1- \cos^{2}(\alpha)}\)
  13. \(\mid \cos(\alpha) \mid = \sqrt{1- \sin^{2}(\alpha)}\)
  14. \(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)}\)
  15. \(\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}\)
  16. \(\tan^{2}(\alpha) +1 = \sec^{2}(\alpha)\)
  17. \(\tan(2 \alpha) = \frac{2 \tan(\alpha)}{1 - \tan^{2}(\alpha)}\)
  18. \(\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot(\alpha) \cot(\beta)-1}{\cot(\alpha)+ \cot(\beta)}\)
  19. \(\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot(\alpha) \cot(\beta)+1}{\cot(\alpha) - \cot(\beta)}\)
  20. \(1+ \cot^{2}(\alpha) = \csc(\alpha)\)
  21. \(\cot(2 \alpha ) = \frac{\cot^{2}(\alpha) -1}{2 \cot(\alpha)}\)
  22. \(\cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} \big[ \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \big]\)
  23. \(\sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} \big[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\big] \)
  24. \(\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} \big[ \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) \big] \)
  25. \(\cos(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} \big[ \sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha + \beta) \big] \)
  26. \(\sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})\)
  27. \(\sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\)
  28. \(\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})\)
  29. \(\cos(\alpha) - \cos(\beta) = 2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\)
  30. \(\mid \tan(\frac{\alpha}{2}) \mid = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{1+ \cos(\alpha)}}\)
  31. \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\alpha)}{1+ \cos(\alpha)}\)
  32. \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1- \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\)

Compruebe la siguiente identidad trigonométrica

\begin{equation*} \frac{\sin^{3}(\alpha) + \sin(3 \alpha)}{\cos^{3}(\alpha) - \cos(3 \alpha)} = \cot(\alpha) \end{equation*}
Solución

La justificación la haremos comenzando por el lado izquierdo de la igualdad y obtendremos el lado derecho, para lo cual consideremos lo siguiente, simplifiquemos las expresiones

  1. \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin(3\alpha) = \sin(2 \alpha + \alpha)= \sin(2 \alpha) \cos(\alpha) + \sin(\alpha) \cos(2 \alpha) \end{array} \end{equation*}

    Por identidades \(6\) y \(7\) tenemos

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha), \amp \amp \cos(2 \alpha) = \cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha) \end{array} \end{equation*}

    entonces

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin(3\alpha) \amp =\amp \sin(2 \alpha) \cos(\alpha) + \sin(\alpha) \cos(2 \alpha) \\ \amp =\amp \big[ 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \big] \cos(\alpha) + \sin(\alpha) [\cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha)] \\ \amp =\amp 2 \sin(\alpha) \cos^{2}(\alpha) + \sin(\alpha) \big[ \cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha) \big] \end{array} \end{equation*}

  2. Por otro lado

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin^{3}(\alpha) + \sin(3 \alpha) \amp =\amp \sin^{3}(\alpha) + 2 \sin(\alpha) \cos^{2}(\alpha) + \sin(\alpha) \big[ \cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha) \big] \\ \amp =\amp \sin^{3}(\alpha)+ 2 \sin(\alpha) \cos^{2}(\alpha) + \sin(\alpha) \cos^{2}(\alpha) - \sin^{3}(\alpha) \\ \amp =\amp 3 \sin(\alpha) \cos^{2}(\alpha) \end{array} \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos(3 \alpha) = \cos(2 \alpha + \alpha) = \cos(2 \alpha) \cos(\alpha) - \sin(2 \alpha) \sin(\alpha) \end{array} \end{equation*}

    Ocupando lo anterior tenemos

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos(3 \alpha) \amp =\amp \cos(2 \alpha) \cos(\alpha) - \sin(2 \alpha) \sin( \alpha)\\ \amp =\amp \big[ \cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha) \big] \cos(\alpha) - \big[ 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \big] \sin(\alpha)\\ \amp =\amp \cos^{3}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha) \cos(\alpha) - 2 \sin^{2}(\alpha) \cos(\alpha) \end{array} \end{equation*}

    entonces

  4. \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \cos^{3}(\alpha) - \cos(3 \alpha) \amp =\amp \cos^{3}(\alpha) - \big[\cos^{3}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha) \cos(\alpha) - 2 \sin^{2}(\alpha) \cos(\alpha) \big] \\ \amp =\amp \cos^{3}(\alpha) - \cos^{3}(\alpha) + \sin^{2}(\alpha) \cos(\alpha) + 2 \sin^{2}(\alpha) \cos(\alpha) \\ \amp =\amp 3 \sin^{2}(\alpha) \cos(\alpha) \end{array} \end{equation*}

Tomando en consideración todos los resultados obtenidos y reemplazando en lo que deseamos demostrar tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{\sin^{3}(\alpha) + \sin(3 \alpha)}{\cos^{3}(\alpha) - \cos(3 \alpha)} \amp =\amp \frac{3 \sin(\alpha) \cos^{2}(\alpha)}{3 \sin^{2}(\alpha) \cos(\alpha)} \\ \amp =\amp \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \\ \amp =\amp \cot(\alpha) \end{array} \end{equation*}

Lo cual concluye la justificación.

Subsección 4.2.2 Ejercicios Propuestos

Demostrar las siguientes identidades

  1. \(\dfrac{1}{\sin (x)\cos (x)}-\dfrac{\cos (x)}{\sin (x)}=\dfrac{\sin (x)\cos (x)}{1-\sin ^{2}(x)}\)
  2. \(\dfrac{\sin (x)+\tan (x)}{\cot (x)+\csc (x)}=\sin (x)\tan (x)\)
  3. \(\dfrac{\sin (x)}{1-\cos (x)}-\cot (x)=\csc (x)\)
  4. \(\dfrac{\sin (x)}{1+\cos (x)}-\dfrac{1+\cos (x)}{\sin (x)}=-2\cot (x)\)
  5. \(\dfrac{\cos (x)}{1-\tan (x)}+\dfrac{\sin (x)}{1-\cot (x)}=\sin (x)+\cos (x)\)
  6. \(\dfrac{\sin (3x)}{\sin (x)}-\dfrac{\cos (3x)}{\cos (x)}=2\)
  7. \(\dfrac{\cos (3x)}{\sin (x)}+\dfrac{\sin (3x)}{\cos (x)}=2\cot (2x)\)
  8. \(\dfrac{1-\cos (2x)}{\sin (2x)}=\tan (x).\)
  9. \(\cos (2x)=1-2\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1\)
  10. \(\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)\)
  11. \(\tan (2x)=\dfrac{2\tan (x)}{1-\tan ^{2}(x)}.\)
  12. \(\cot (2x)=\dfrac{\cot ^{2}(x)-1}{2\cot (x)}\)
  13. \(\sin (4x)=4\sin (x)\cos (x)-8\sin ^{3}(x)\cos (x)\)
  14. \(\cos (4x)=8\cos ^{4}(x)-8\cos ^{2}(x)+1\)
  15. \(\cos (3x)+\sin (2x)=\sin (4x)+\cos (3x)(1-2\sin (x))\)
  16. \(\sin (3x)-\sin (x)-\sin (5x)=(1-2\cos (2x))\sin (3x)\)
  17. \(\tan ^{2}(x)+\sec ^{2}(y)=\sec ^{2}(x)+\tan ^{2}(y)\)
  18. \(\dfrac{\tan (x)+\cot (y)}{\cot (x)+\tan (y)}=\dfrac{\tan (x)}{\tan(y)}.\)