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Sección 4.3 Funciones Trigonométricas Inversas

La existencia de la función inversa para las funciones trigonométricas están basada en el siguiente teorema:

Como las funciones son biyectiva existe su inversa, por razones de no confundir la inversa con las anteriores funciones trigonométricas, es que las inversa se llama usando el prefijo \(arco\text{,}\) ya que es un trozo o un arco de la circunferencia que se considera.

Al igual que con cualquier otra función, debe tenerse cuidado en el dominio-recorrido en que esta definida cada una de las funciones inversas

Definición 4.3.2

  1. La función arcoseno dada por: \(\arcsin: [-1,1]\rightarrow [\frac{-\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]\) es la función inversa de la función seno

  2. La función arcocoseno dada por: \(\arccos: [-1,1]\rightarrow [0 ,\pi ] \) es la función inversa de la función coseno.

  3. La función arcotangente dada por: \(\arctan: \mathbb{R}\rightarrow [\frac{-\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]\) es la función inversa de la función tangente.

No olvidemos que, el decir que una función es la inversa de otra, nos entrega la siguiente información, por ejemplo tenemos que:

  1. \(\sin(x)=a\) si y sólo si \(x=\arcsin (a)\text{,}\) con \(x\in [\frac{-\pi}{2} , \frac{\pi}{2}], a\in [-1,1]\)

  2. \(\cos(x)=a\) si y sólo si \(x=\arccos (a)\text{,}\) con \(x\in [0,\pi], a\in [-1,1]\)

  3. \(\tan(x)=a\) si y sólo si \(x=\arctan (a)\text{,}\) con \(x\in [\frac{-\pi}{2} , \frac{\pi}{2}], a\in \mathbb{R}\)

Usando lo anterior obtenemos los valores de las funciones Trigonométricas Inversas:

\begin{equation*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \amp 0 \amp \frac{1}{2} \amp \frac{\sqrt{2}}{2} \amp \frac{\sqrt{3}}{2} \amp 1 \\ \hline \arcsin(a) \amp 0 \amp \frac{\pi}{6} \amp \frac{\pi}{4} \amp \frac{\pi}{3} \amp \frac{\pi}{2} \\ \hline \arccos(a) \amp \frac{\pi}{2} \amp \frac{\pi}{3} \amp \frac{\pi}{4} \amp \frac{\pi}{6} \amp 0 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

Subsección 4.3.1 Ecuaciones Trigonométricas

El resolver una ecuaciones trigonométricas, al igual que las ecuaciones de funciones de números reales, consiste en determinar todos los valores en el universo (restricción o dominio común) que al ser reemplazado en la incógnitas satisfacen o cumplen la igualdad.

De otro modo, es resolver una ecuación que contiene al menos una función trigonométrica en cuyo argumento esta la incógnita.

Resolver

\begin{equation*} 2\sin (x)-1=0 \end{equation*}
Solución 1

Sea \(x\in \mathbb{R}\) tal que

\begin{equation*} 2\sin (x)-1=0 \end{equation*}

luego despejando obtenemos

\begin{equation*} \sin (x)=\frac{1}{2} \end{equation*}

Por lo tanto, la solución básica o en \([0,2\pi]\) es

\begin{equation*} x=\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{5\pi}{6} \end{equation*}

es decir,

\begin{equation*} S=\left\{\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\} \end{equation*}

Para resolver las ecuaciones, recurrimos a la siguiente propiedad.

Algunos ejemplos de interés, donde aplicaremos la propiedad anterior en la resolución de los distintos tipos de ecuaciones trigonométricas.

Resolver

\begin{equation*} 5\sin (x)-3=0 \end{equation*}
Solución 2

Sea \(x\in \mathbb{R}\) tal que

\begin{equation*} 5\sin (x)-3=0 \end{equation*}

luego despejando obtenemos

\begin{equation*} \sin (x)=\frac{3}{5} \end{equation*}

Por lo tanto, existe \(k\in \mathbb{Z}\text{,}\) tal que

\begin{equation*} x=\arcsin\left(\frac{3 }{5}\right) +2k\pi \vee x=-\arcsin\left(\frac{3 }{5}\right) +(2k+1)\pi \end{equation*}

es decir,

\begin{equation*} S=\left\{\arcsin\left(\frac{3 }{5}\right) +2k\pi , k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{-\arcsin\left(\frac{3 }{5}\right) +(2k+1)\pi , k\in \mathbb{Z}\right\} \end{equation*}

Sean \(a,b\in \mathbb{R}\) constante. Comprueba que la ecuación

\begin{equation*} \sin (ax)=\cos (bx) \end{equation*}

tiene como solución

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (a-b)x =\frac{\pi }{2}+2k\pi \quad \vee \quad (a+b)x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \end{array} \end{equation*}

donde \(k \in \mathbb{Z}\)

Solución 3

Sabemos que \(\cos (bx)=\sin (\frac{\pi }{2}% -bx)\) reemplazando tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin (ax)\amp =\amp \cos (bx)\\ \sin (ax) \amp =\amp \sin \left(\frac{\pi }{2}-bx\right) \end{array} \end{equation*}

Usando la identidad trigonométrica

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin (ax)-\sin (\frac{\pi }{2}-bx) \amp =\amp 0 \\ 2\cos \left( \frac{\frac{\pi }{2}-bx+ax}{2}\right) \sin \left( \frac{\frac{% \pi }{2}-bx-ax}{2}\right) \amp =\amp 0 \end{array} \end{equation*}

es decir,

\begin{equation*} \cos \left( \frac{\frac{\pi }{2}+(a-b)x}{2}\right) =0\quad \vee \quad \sin \left( \frac{\frac{\pi }{2}-(a+b)x}{2}\right) =0 \end{equation*}

con lo cual, existe \(k\in \mathbb{Z}\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{\frac{\pi }{2}+(a-b)x}{2} \amp =\amp \frac{\pi }{2}+k\pi \quad \vee \quad \frac{\frac{\pi }{2}-(a+b)x}{2}=k\pi \\ (a-b)x \amp =\amp \frac{\pi }{2}+2k\pi \quad \vee \quad (a+b)x=\frac{\pi }{2}% +2k\pi \end{array} \end{equation*}

Resolver

\begin{equation*} \sin (7x)=\cos (3x) \end{equation*}
Solución 4
\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin (7x)\amp =\amp \cos (3x) \\ \sin (7x) \amp =\amp \sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right) \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sin (7x)-\sin (\frac{\pi }{2}-3x) \amp =\amp 0 \\ 2\cos \left( \frac{\frac{\pi }{2}-3x+7x}{2}\right) \sin \left( \frac{\frac{% \pi }{2}-3x- 7x}{2}\right) \amp =\amp 0 \end{array} \end{equation*}

es decir,

\begin{equation*} \cos \left( \frac{\pi }{4}+2x \right) =0\quad \vee \quad \sin \left( \frac{\pi }{4}-5x\right) =0 \end{equation*}

con lo cual,

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{\pi }{4}+2x = \frac{\pi}{2}+k\pi \quad \amp \vee \amp \quad \frac{\pi}{4}-5x=k \pi \\ x =\frac{(1+4k)\pi }{8} \quad \amp \vee \amp \quad x=\frac{(1-4k)\pi }{10} \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} S=\left\{\frac{(1+4k)\pi }{8}\ | \ k \in \mathbb{Z} \right\}\cup \left\{\frac{(1-4k)\pi }{10}\ | \ k \in \mathbb{Z} \right\} \end{equation*}

Sean \(A,B,C\in \mathbb{R}^*,\) resolver la ecuación

\begin{equation*} A\sin (x)+B\cos (x)=C \end{equation*}
Solución 5
\begin{equation*} \begin{array}{rcl} A\sin (x)+B\cos (x) \amp =\amp C \\ \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\sin (x)+\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\cos (x) \amp =\amp % \frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \left(\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right)^2+\left(\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right)^2=1 \end{equation*}

Es un punto del plano que pertenece a la circunferencia, luego existe \(\alpha \in \lbrack 0,2\pi \lbrack \) tal que

\begin{equation*} \cos (\alpha )=\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \text{ y } \sin (\alpha )=\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \end{equation*}

reemplazando tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\sin (x)+\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\cos (x) \amp =\amp % \frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \\ \cos (\alpha )\sin (x)+\sin (\alpha )\cos (x) \amp =\amp \frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \\ \sin (\alpha +x) \amp =\amp \frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \end{array} \end{equation*}

la ecuación tiene solución si y sólo si \(\left| \frac{C}{\sqrt{% A^{2}+B^{2}}}\right| \leq 1\) y están dadas por

\begin{equation*} \alpha +x = \arcsin\left( \frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right) +2k\pi \vee \alpha +x = -\arcsin\left( \frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right) +(2k'+1)\pi \end{equation*}

Encuentre todas las soluciones para la siguiente ecuación

\begin{equation*} \sqrt{3} \cos(2 x) + \sin(2 x) = 1 \end{equation*}
Solución 6

Dada \(x\in \mathbb{R}\) tal que

\begin{equation*} \sqrt{3} \cos(2 x) + \sin(2 x) = 1 \end{equation*}

luego calculamos \(\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}= 2\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \sqrt{3} \cos(2 x) + \sin(2 x) \amp =\amp 1 \ \ / \frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(2 x) + \frac{1}{2} \sin(2 x) \amp =\amp \frac{1}{2} \\ \end{array} \end{equation*}

Busquemos en una solución de

\begin{equation*} \sin (\alpha ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ y } \sin (\alpha ) = \frac{1}{2} \end{equation*}

una solución es: \(\alpha =\frac{\pi}{3}\text{,}\) es decir,

\begin{equation*} \sin \big( \frac{\pi}{3} \big)= \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ y } \sin \big( \frac{\pi}{6} \big)=\frac{1}{2} \end{equation*}

Reemplazando obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(2 x) + \frac{1}{2} \sin(2 x) \amp =\amp \frac{1}{2} \\ \sin \big( \frac{\pi}{3} \big) \cos(2 x) + \cos \big( \frac{\pi}{3} \big) \sin(2 x) \amp =\amp \frac{1}{2} \\ \sin \big( \frac{\pi}{3} + 2x \big) \amp =\amp \frac{1}{2} \\ \end{array} \end{equation*}

Como

\begin{equation*} \sin \big( \frac{\pi}{6} \big)= \frac{1}{2} \quad \text{ luego } \quad \frac{\pi}{6} = \arcsin \big( \frac{1}{2}\big) \end{equation*}

Por propiedad anterior obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{\pi}{3} + 2x = \frac{ \pi}{6} + 2k \pi \ , \ k \in \mathbb{Z} \amp \text{ o }\amp \frac{\pi}{3} + 2x = - \frac{\pi}{6} + (2k+1) \pi \ , \ k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{(12k-1) \pi}{12} \ , \ k \in \mathbb{Z} \amp \text{ o }\amp x = \frac{(4k+1)\pi}{4} \ , \ k \in \mathbb{Z} \end{array} \end{equation*}