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Sección 3.1 Introducción

La noción de función está presente en la vida diaria, cuando nos referimos o hacemos una correspondencia estamos hablando de funciones. Por ejemplo cuando decimos:

  1. A cada rectángulo le corresponde su área.
  2. A cada persona la corresponde su peso.
  3. A cada persona le corresponde su cédula de identidad.

En éstos ejemplos se pueden distinguir dos conjuntos \(A\) y \(B\text{.}\)

En el primer ejemplo \(A\) denota el conjunto de rectángulos y \(B\) el conjunto de los números reales positivos. Es decir, a cada rectángulo \(x\) en \(A\) le corresponde un real positivo \(y\) en \(B\) que es su área. Los ejemplos anteriores tienen la particularidad de que dado \(x\) que pertenece a \(A\) le corresponde un único \(y\) que pertenece a \(B\text{.}\)

Al repasar el primer ejemplo, también es válido decir que el área del rectángulo depende de sus lados, aquí podemos distinguir el concepto de dependencia, donde una de las variables, el área del rectángulo, depende de las otras, sus lados.

Subsección 3.1.1 Relaciones

Una relación asocia elementos de un conjunto de partida \(A\text{,}\) a algún o algunos elementos del conjunto de llegada \(B\text{,}\) es decir, que dados dos conjuntos, una relación \(\mathcal{R} \) entre \(A\) y \(B\) o bien que va desde \(A\) hasta \(B\) es un subconjunto del producto cartesiano \(A\times B.\) Los elementos pertenecientes a la relación se denota \((x,y)\in \mathcal{R} \) o bien \(x \mathcal{R} y.\)

Definición 3.1.1

Una relación de números reales es un subconjunto de \(\mathbb{R}^2\)

Los siguiente conjuntos son relaciones reales

  1. \(\mathcal{L}=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ 2x+3y=1 \}\)
  2. \(\mathcal{P}_1=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ y^2=4x+1 \}\)
  3. \(\mathcal{P}_2=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ x^2=2y+3 \}\)
  4. \(\mathcal{E}_1=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ 2x^2+y^2=1 \}\)
  5. \(\mathcal{E}_2=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ x^2+3y^2=1 \}\)
  6. \(\mathcal{H}_1=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ x^2-y^2=1 \}\)
  7. \(\mathcal{H}_2=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ y^2-3x^2=1 \}\)
  8. \(\mathcal{H}_2=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ y^2-3x^2=1 \wedge y \lt 0 \wedge x\geq 0 \}\)
Definición 3.1.3

Sea \(\mathcal{R} \) una relación entre \(A\) y \(B\text{,}\) se define el Dominio de la relación \(\mathcal{R}\) igual al conjunto de todas las preimágenes de \(B \) o bien, el conjunto de las primeras coordenadas de los elementos de \(\mathcal{R}\) y se denota como \(Dom \mathcal{R}\text{,}\) es decir,

\begin{equation*} Dom\mathcal{R} =\{x\in A\mid (\exists y\in B)(x\mathcal{R} y)\} \end{equation*}

Un subconjunto de \(B\) formado por las imágenes de los elementos del \(Dom \mathcal{R} \subseteq A\text{,}\) o bien, el conjunto de las segundas coordenadas de los elementos de \(\mathcal{R}\) se llama Recorrido se denota \(Rec\mathcal{R}\) y esta definido del siguiente modo:

\begin{equation*} Rec\mathcal{R}=\{y\in B\mid (\exists x\in A)(x\mathcal{R} y)\} \end{equation*}

Sean \(A=\{0,2,4\}\) y \(B=\{a,b\}\) los conjuntos que siguen son relaciones entre \(A\) y \(B\text{.}\)

  1. \(\mathcal{R}_1 =\{(0,a),(2,a),(4,a)\}\text{,}\) el dominio y recorrido esta dado por

    \begin{equation*} Dom \mathcal{R}_1=\{0,2,4\},\quad Rec\mathcal{R}_1=\{a\}. \end{equation*}

  2. \(\mathcal{R}_2 =\{(0,a),(0,b),(2,a)\}\text{,}\) el dominio y recorrido esta dado por

    \begin{equation*} Dom \mathcal{R}_2=\{0,2\}, \quad Rec\mathcal{R}_2=\{a,b\}. \end{equation*}

  3. \(\mathcal{R}_3 =A\times B \text{,}\) su dominio es \(Dom \mathcal{R}_3=A \) y el recorrido es \(Rec\mathcal{R}_3=B \text{.}\)

La circunferencia de radio 4 y de centro \((0,0)\text{,}\) es una relación en el plano cartesiano, es decir,

\begin{equation*} \mathcal{R} =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=16\}, \end{equation*}

y en este caso tenemos que

\begin{equation*} Dom \mathcal{R}=[-4,4],\quad Rec\mathcal{R}=[-4,4]. \end{equation*}
Definición 3.1.6

Sea \(\mathcal{R}\subseteq A\times B\) una relación, diremos que \(\mathcal{R}^{-1}\) es la relación inversa de \(\mathcal{R}\) que va desde \(B \) a \(A\) y se denota como:

\begin{equation*} \mathcal{R}^{-1}=\{(b,a)\in B\times A\mid (a,b)\in \mathcal{R}\}. \end{equation*}

De la definición se deduce que:

\begin{equation*} (u,v)\in \mathcal{R}^{-1}\Longleftrightarrow (v,u)\in \mathcal{R}. \end{equation*}

Sea \(\mathcal{R} =\{(1,1),(3,2),(4,4),(1,2)\}\text{,}\) luego la relación inversa de \(\mathcal{R}\) es:

\begin{equation*} \mathcal{R}^{-1}=\{(1,1),(2,3),(4,4),(2,1)\}. \end{equation*}

Sea \(\mathcal{L}=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ 2x+3y=1 \}\text{,}\) luego la relación inversa de \(\mathcal{L}\) es:

\begin{equation*} \mathcal{L}^{-1}=\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2\ | \ 2b+3a=1 \}. \end{equation*}