Processing math: 100%
[skip-to-content]

Sección 1.3 Números Reales R

En esta sección, daremos los axiomas que define la estructura aditiva y multiplicativa de los Número Reales, y partir de ellas la definición de potencia multiplicativa. Colocando en relieve las propiedades que nos permite resolver los problemas lineales en los Números Reales.

Subsección 1.3.1 Axiomas de R como cuerpo

Existe un conjunto que denotaremos por R que es no vacío, cuyos elementos serán llamados números reales, en el cual están definidas las operaciones binarias suma (+) y producto (⋅), que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas

Ya que (R,+,⋅) o R satisface estos axiomas o propiedades con las operaciones binarias dadas, se dice que R es un cuerpo.

Notación: Si no hay peligro de confusión, en adelante anotaremos sólo "ab", para referirnos al producto "a⋅b", con a,b∈R.

Observación: La propiedad Distributiva, también se le denomina Factorización, en los casos cuando se usa de derecha a izquierda, para ello ambos sumando deben tener un factor en común.

Supongamos que \(0\) y \(0'\) son neutros aditivos, luego \(0+0'=0\text{,}\) ya que \(0\) es el neutro, del mismo modo \(0+0'=0'\text{,}\) y además la suma es única, luego

\begin{equation*} 0=0+0'=0' \end{equation*}

Ahora supongamos que dado \(a \in \mathbb{R}\text{,}\) los números \(b, \ b'\) son los inversos, luego \(a+b'=0\) y \(b+a=0\text{,}\) de la propiedad asociatividad tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} b+(a+b') \amp =\amp (b+a)+b' \\ b+0 \amp =\amp 0+b' \\ b \amp =\amp b' \end{array} \end{equation*}

Las otras proposiciones se demuestran de manera similar

Notación: −a denota el inverso aditivo de a para todo a∈R y b−1 denota el inverso multiplicativo de b, con b∈R−{0}.

Observación: Un técnica de demostración bastante utilizada, es llamada método del absurdo. Este método es muy útil para demostrar que proposiciones del tipo p⇒q son verdaderas. Notemos las siguientes equivalencias

¯p⇒q⇔¯¯p∨q⇔p∧¯q.

El propósito es suponer que la proposición p∧¯q es verdadera, a partir de ella y con pasos deductivos, llegar a una contradicción, esto significa que la proposición p∧¯q debe ser falsa y por lo tanto, su negación ¯p∧¯q es verdadera, de este modo se tiene que p⇒q es verdadero.

Dada \(m \in \mathbb{Z}\text{,}\) demostrar que se cumple

Si \(m^2\) es par, entonces \(m\) es par.

La proposición es una implicación, donde \(p: m^2\) par y \(q:m\) impar. Procedamos por absurdo.

Supongamos \(p: m^2\) par y \(\overline{q}:m\) impar son verdaderas. Como \(m\) es impar entonces existe \(k\in \mathbb{Z}\) tal que

\begin{equation*} m=2k+1 \end{equation*}

de esto tenemos que

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} m^2 \amp = \amp (2k+1)(2k+1)\\ \amp = \amp 4k^2+2k+2k+1\\ \amp = \amp 4k^2+4k+1\\ \amp = \amp 2(2k^2+2k)+1 \end{array} \end{equation*}

luego \(m^2=2k^{'}+1\text{,}\) con \(k^{'}=2k^2+2k,\,\, k^{'}\in \mathbb{Z}\) de donde obtenemos que \(m^2\) es un número impar, lo que contradice nuestro supuesto de que \(m^2\) es par, así

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} m^2\,\, \textrm{par} \amp \Rightarrow \amp m \,\, \textrm{par}. \end{array} \end{equation*}

  1. Sean \(a\) y \(b\) números reales, entonces también lo es \(a+b\) y como \((\mathbb{R},+)\) es un grupo abeliano, entonces existe \(-(a+b)\) inverso aditivo de \(a+b\) por lo tanto

    \begin{equation*} (a+b)+(-(a+b))=0. \end{equation*}

    Por otra parte, también existen \(-a\) y \(-b\) tales que:

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} (a+b)+(-a)+(-b) \amp = \amp (a+(-a))+(b+(-b)) \\ \amp = \amp 0+0\\ \amp = \amp 0 \end{array} \end{equation*}

    de esta última igualdad podemos concluir que \((-a)+(-b)\) es también inverso de \(a+b\) y luego por unicidad del inverso tenemos que

    \begin{equation*} -(a+b)=(-a)+(-b). \end{equation*}

  2. Como \((-a)\) es un número real y \((\mathbb{R},+)\) es un grupo abeliano, entonces existe \(-(-a)\) inverso aditivo de \((-a)\) tal que

    \begin{equation*} (-a)+(-(-a))=0. \end{equation*}

    Por otro lado

    \begin{equation*} (-a)+a=0, \end{equation*}

    de estas igualdades obtenemos que \(-(-a)\) y \(a\) son inversos de \((-a)\text{,}\) luego por unicidad del inverso se tiene que

    \begin{equation*} -(-a)=a. \end{equation*}

  3. Análoga a (a), cambiando de notación aditiva a notación multiplicativa.

  4. Análoga a (b), cambiando de notación aditiva a notación multiplicativa.

  5. Como \(0\) es neutro aditivo se tiene que:

    \begin{equation*} 0=0+0, \end{equation*}

    entonces por distributividad tenemos

    \begin{equation*} a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0 + a\cdot 0 \end{equation*}

    luego,

    \begin{equation*} a\cdot 0 = a\cdot 0 + a\cdot 0. \end{equation*}

    Ahora, sumando a ambos lados de la igualdad anterior el inverso aditivo de \(a\cdot 0\text{,}\) tenemos que

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} a\cdot 0+(-(a\cdot 0)) \amp = \amp a\cdot 0+a\cdot 0+(-(a\cdot 0))\\ 0 \amp = \amp a\cdot 0+(a\cdot 0+(-(a\cdot 0)))\\ 0 \amp = \amp a\cdot 0+0\\ 0 \amp = \amp a\cdot 0 \end{array} \end{equation*}

    así,

    \begin{equation*} a\cdot 0 = 0. \end{equation*}

  6. Es claro que

    \begin{equation*} ab+(-(ab)) = 0. \end{equation*}

    Por otro lado

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} ab+(-a)b\amp = \amp (a+(-a))b\\ \amp = \amp 0\cdot b\\ \amp = \amp 0\quad (\text{por item anterior}) \end{array} \end{equation*}

    Tenemos entonces que tanto \((-a)b\) como \(-(ab)\) son inversos de \(ab\text{,}\) luego por unicidad del inverso se tiene que

    \begin{equation*} -(ab) = (-a)b \end{equation*}

    Además, por conmutatividad en la anterior igualdad, se tiene

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} -(ab) \amp = \amp -(ba)\\ \amp = \amp (-b)a\\ \amp = \amp a(-b) \end{array} \end{equation*}

    por lo tanto,

    \begin{equation*} (-a)b=-(ab)=a(-b). \end{equation*}

  7. Notemos que

    \begin{equation*} \begin{array}{rclc} (-a)(-b) \amp = \amp -(a(-b)) \amp (\textrm{usando (f)})\\ \amp = \amp -(-(ab)) \amp (\textrm{usando (f)})\\ \amp = \amp ab \amp (\textrm{usando (b)}) \end{array} \end{equation*}

    luego,

    \begin{equation*} (-a)(-b)=ab. \end{equation*}

  8. \((\Rightarrow)\) Observemos que

    \begin{equation*} (ab=0) \Rightarrow (a=0 \vee b=0) \end{equation*}

    es una proposición del tipo \(p\Rightarrow (q \vee r)\text{,}\) la cual es equivalente a \((p\wedge \overline{q})\Rightarrow r\text{,}\) que es lo que usaremos para probar esta parte de la demostración.

    Supongamos entonces \(a\neq 0\text{,}\) luego existe \(a^{-1}\) tal que

    \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} ab=0 \amp \Rightarrow \amp a^{-1}ab \amp = \amp a^{-1}0\\ \amp \Rightarrow \amp 1\cdot b \amp = \amp 0\\ \amp \Rightarrow \amp b \amp = \amp 0. \end{array} \end{equation*}

    \((\Leftarrow)\) Claramente si \(a=0 \vee b=0\) se tiene que \(ab=0\text{.}\)

    Concluyendo así la demostración.

Notación: También debemos tener presente

a⋅b−1=ab−1=ab=a:b

Con la notación anterior, y las propiedades demostrada tenemos

−ab=−ab=a−bab=−a−b=−(−ab)

Reemplazar \(a=\frac{-1}{2},b=\frac{1}{3}\) en

\begin{equation*} x=\frac{ab-a}{a+1} \end{equation*}
Solución
\begin{equation*} \begin{array}{rcl} x\amp =\amp \frac{ab-a}{a+1} =\frac{\frac{-1}{2}\cdot\frac{1}{3}-\frac{-1}{2}}{\frac{-1}{2}+1}= \frac{\frac{-1}{6}-\frac{-1}{2}}{1-\frac{1}{2}}= \frac{\frac{-1+3}{6}}{\frac{2-1}{2}}=\frac{2}{6}\cdot \frac{2}{1} =\frac{2}{3} \end{array} \end{equation*}

Subsección 1.3.2 Potencias Enteras

Definición 1.3.9

Sea a∈R y n∈Z+. Se define la potencia real de base a y exponente n por:

an=a⋅a⋯a⏟n−veces

Más precisamente, sea a∈R, se define por recurrencia

a1=aan+1=an⋅a,∀n∈N

Además para el caso a≠0, se define

a0=1a−n=(a−1)n=1(a)n=1a⋅a⋯a⏟n-veces

Probaremos sólo (a) quedando las demás propiedades como ejercicio. Procederemos por inducción como sigue.

Sea \(p(n):(\forall m\in \mathbb{Z})(\forall a\in \mathbb{R}-\{0\})(a^{m+n}=a^m a^n);\quad n\in \mathbb{N}_0\)

\begin{equation*} p(0):(\forall m\in \mathbb{Z})(\forall a\in \mathbb{R}-\{0\})(a^{m+0}=a^m a^0) \end{equation*}

lo cual es verdadero por definición de potencia.

Supongamos \(p(n)\) verdadero y demostremos que \(p(n+1)\) es verdadero.

\begin{equation*} p(n+1):(\forall m\in \mathbb{Z})(\forall a\in \mathbb{R}-\{0\})(a^{m+n+1}=a^m a^{n+1}) \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{rcll} a^{m+n+1} \amp = \amp a^{m+n}a \amp \textrm{(definición de potencia)}\\ \amp = \amp (a^m a^n)a \amp \textrm{(hipótesis de inducción)}\\ \amp = \amp a^m(a^n a) \amp \textrm{(asociatividad)}\\ \amp = \amp a^m a^{n+1} \amp \textrm{(definición de potencia)} \end{array} \end{equation*}

tenemos entonces que

\begin{equation*} (\forall n\in \mathbb{N}_0)(\forall m\in \mathbb{Z})(\forall a\in \mathbb{R}-\{0\})(a^{m+n}=a^m a^n)\label{pi} \end{equation*}

es verdadero por teorema de inducción.

Sea \(n\in \mathbb{Z}-\mathbb{N}_0\text{,}\) luego

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} a^{m+n}\amp = \amp a^{m-(-n)}\\ \amp = \amp a^{-(-m+(-n))}\\ \amp = \amp (a^{-1})^{-m+(-n)}\\ \amp = \amp (a^{-1})^{-m}(a^{-1})^{-n}\\ \amp = \amp a^m a^n \end{array} \end{equation*}

de este modo podemos concluir que

\begin{equation*} (\forall n\in \mathbb{Z})(\forall m\in \mathbb{Z})(\forall a\in \mathbb{R}-\{0\})(a^{m+n}=a^m a^n). \end{equation*}

Observación: Las tres primeras propiedades antes mencionadas son válidas para el caso a=0 o b=0, siempre que las expresiones que las definen tengan sentido en R, es decir, que n,m∈Z+.

Simplificar completamente, para los valores de \(a,b\in \mathbb{R}\) donde estén bien definida la siguiente expresión:

\begin{equation*} X=\left( \dfrac{a^{-3}b}{a^2b^{-4}}\right)^{-2}: \left( \dfrac{a^{-2}b^{-1}}{a^2b}\right)^{-3}. \end{equation*}
Solución
\begin{equation*} \begin{array}{rcl} X \amp = \amp \left( \dfrac{a^{-3}b}{a^2b^{-4}}\right)^{-2}: \left( \dfrac{a^{-2}b^{-1}}{a^2b}\right)^{-3}\\ \amp = \amp \left( \dfrac{ \dfrac{b}{a^3}}{ \dfrac{a^2}{b^4}}\right)^{-2}: \left( \dfrac{ \dfrac{1}{a^2b}}{a^2b}\right)^{-3}\\ \amp = \amp \left( \dfrac{b^5}{a^5}\right)^{-2}: \left( \dfrac{1}{(a^2b)^2}\right)^{-3}\\ \amp = \amp \left( \dfrac{a^5}{b^5}\right)^2:(a^2b)^6\\ \amp = \amp \dfrac{a^{10}}{b^{10}}:a^{12}b^6 = \dfrac{a^{10}}{a^{12}b^{16}} = \dfrac{1}{a^2b^{16}}. \end{array} \end{equation*}

De este modo se tiene que

\begin{equation*} X = \dfrac{1}{a^2b^{16}}. \end{equation*}

Subsección 1.3.3 Productos Notables

Los productos notables, corresponden a una factorización de una expresión algebraica, que son de uso habitualmente en los diferentes problemas desarrollados en este capítulo, la demostración de estas propiedades, se obtiene de las propiedades de potencias y los axiomas de los números reales. Los de uso más frecuente se listas a continuación

Sean a,b∈R

  1. a2−b2=(a+b)(a−b).
  2. (a±b)2=a2±2ab+b2.
  3. a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2).
  4. (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3.
  5. (∀m∈Z+)(am−bm=(a−b)(am−1+am−2b+⋯+abm−2+bm−1)).

Simplificar completamente, para los valores de \(a \in \mathbb{R}\) donde estén bien definida la siguiente expresión:

\begin{equation*} X= \dfrac{ \dfrac{a}{1-a}+ \dfrac{1-a}{a}}{ \dfrac{1-a}{a}- \dfrac{a}{1-a}}. \end{equation*}
Solución

Sea \(a \in \mathbb{R}\text{,}\) tal que la expresión está bien definida, luego podemos simplificar.

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} X \amp = \amp \dfrac{ \dfrac{a}{1-a}+ \dfrac{1-a}{a}}{ \dfrac{1-a}{a}- \dfrac{a}{1-a}}\\ \amp = \amp \dfrac{ \dfrac{a^2+(1-a)^2}{a(1-a)}}{ \dfrac{(1-a)^2-a^2}{a(1-a)}}\\ \amp = \amp \dfrac{a^2+(1-a)^2}{a(1-a)} \dfrac{a(1-a)}{(1-a)^2-a^2}\\ \amp = \amp \dfrac{a^2+(1-a)^2}{(1-a)^2-a^2}\\ \amp = \amp \dfrac{2a^2-2a+1}{1-2a}. \end{array} \end{equation*}

Subsección 1.3.4 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definición 1.3.13

Una ecuación lineal en la variable x, es una expresión del tipo

ax+b=0,a,b∈R,a≠0.

Encontrar el conjunto solución para una ecuación de este tipo, corresponde a determinar x∈R de modo que la igualdad en anterior se verifique.

Determinemos ahora la solución de esta ecuación

ax+b=0⇔ax=−b⇔x=−ba.

Luego el conjunto solución de la ecuación lineal ax+b=0 es

S={−ba}.

Determinar la solución de la ecuación

\begin{equation*} \frac{1}{4}x-3=\frac{5}{4}+7x. \end{equation*}
Solución 1

Primero debemos llevar esta ecuación a la forma dada anteriormente, obteniendo

\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp \frac{1}{4}x-3\amp = \amp \frac{5}{4}+7x \\ \Leftrightarrow \amp \frac{1}{4}x -7x\amp = \amp \frac{5}{4}+3\\ \Leftrightarrow \amp \frac{1-28}{4}x \amp = \amp \frac{5+12}{3} \\ \Leftrightarrow \amp -\frac{27}{4}x \amp = \amp \frac{17}{3} \\ \Leftrightarrow \amp x \amp = \amp -\frac{68}{81} \end{array} \end{equation*}

ahora despejando tenemos que la solución esta dada por

\begin{equation*} x= -\dfrac{68}{81}. \end{equation*}

o bien el conjunto solución es

\begin{equation*} \mathcal{S}=\left\{ -\dfrac{68}{81}\right\} \end{equation*}

Determinar la solución de la ecuación

\begin{equation*} 4x-3\pi=5\sqrt{2}-8x. \end{equation*}
Solución 2

Primero debemos llevar esta ecuación a la forma dada anteriormente, obteniendo

\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp 4x-3\pi \amp = \amp 5\sqrt{2}-8x\\ \Leftrightarrow \amp 4x+8x \amp = \amp 3\pi+5\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow \amp 12x \amp = \amp 3\pi+5\sqrt{2} \end{array} \end{equation*}

ahora despejando tenemos que la solución esta dada por

\begin{equation*} x= \dfrac{3\pi+5\sqrt{2}}{12}. \end{equation*}

o bien el conjunto solución es

\begin{equation*} \mathcal{S}=\left\{ \dfrac{3\pi+5\sqrt{2}}{12}\right\} \end{equation*}

Observación: Por el momento estamos usando el resultado, que nos entrega la existencia de la raíz cuadrada de un número no negativo, en particular √2.

Determine el valor de \(\lambda\in \mathbb{R}-\{0\}\) de modo que la solución de la ecuación lineal

\begin{equation*} 7\lambda x+3\lambda=4 \end{equation*}

sea igual a \(- \dfrac{3}{5}.\)

Solución 3
\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp 7\lambda x+3\lambda \amp = \amp 4\\ \Leftrightarrow \amp 7\lambda x\amp = \amp 4-3\lambda \end{array} \end{equation*}

como \(\lambda\neq 0\) luego, la solución de la ecuación es:

\begin{equation*} x= \dfrac{4-3\lambda}{7\lambda} \end{equation*}

Pero ella debe cumplir con:

\begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp \dfrac{4-3\lambda}{7\lambda} \amp = \amp - \dfrac{3}{5}\\ \Leftrightarrow \amp 20-15\lambda \amp = \amp -21\lambda\\ \Leftrightarrow \amp 6\lambda \amp = \amp -20 \end{array} \end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*} \lambda=- \dfrac{10}{3}. \end{equation*}
Definición 1.3.17

Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables x1,x2,…,xn es una expresión de la forma

a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮⋮⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm

donde aij,bi y xj∈R,∀i=1,2,…,m,∀j=1,2,…,n.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales, consiste en determinar todas las n-uplas (x1,x2,…,xn) que satisface todas las ecuaciones.

Observación: En general el proceso para resolver un sistema de ecuaciones lineales, es recursivo, y consiste en escoger una variable en una ecuación y eliminar esta variable en las otras ecuaciones lineales, amplificando y restando cada ecuación de modo que el coeficiente sea cero de la variable escogida, obteniendo un nuevo sistema omitiendo la ecuación con la cual se comenzó.

Se continua de la misma manera, es decir, se escoge una variable de alguna ecuación y se eliminar la variable, hasta obtener un sistema que cada ecuación tiene una variable que no aparece en las otras y la últimas una igualdad de números o contener una variable. De acuerdo a ello se tiene que el conjunto solución es del siguiente modo

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales cumple una de las tres posibilidades siguientes:

  1. El conjunto solución tiene sólo un elemento.

  2. El conjunto solución tiene infinitos elementos.

  3. El conjunto solución es vacío.

Resolver el sistema

\begin{equation*} \begin{array}{ccr|} x-5y \amp = \amp -3 \\ 3x-y \amp = \amp 8 \\ \hline \end{array} \end{equation*}
Solución 4

Dado el sistema de ecuaciones

\begin{equation*} \begin{array}{ccr|} x-5y \amp = \amp -3 \\ 3x-y \amp = \amp 8 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

Si multiplicamos por \(-5\) la segunda ecuación y la sumamos con la primera se obtiene la ecuación

\begin{equation*} -14x=-43 \end{equation*}

de donde \(x= \dfrac{43}{14}\text{.}\) Sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos \(y= \dfrac{17}{14}\text{.}\)

Luego el sistema tiene única solución, y esta es

\begin{equation*} x= \dfrac{43}{14},\,\,y= \dfrac{17}{14} \end{equation*}

o de manera equivalente

\begin{equation*} \mathcal{S}=\left\{\left( \dfrac{43}{14}, \dfrac{17}{14}\right)\right\}. \end{equation*}

Resolver el sistema

\begin{equation*} \begin{array}{ccc|} x+y+z \amp = \amp 1 \\ x-y+z \amp = \amp 0 \\ \hline \end{array} \end{equation*}
Solución 5

Multiplicando la segunda ecuación por \(-1\) y sumándola con la primera obtenemos la ecuación

\begin{equation*} 2y=1 \end{equation*}

de donde \(y= \dfrac{1}{2}\text{.}\)

Luego reemplazando obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{ccc|} x+z \amp = \amp \frac{1}{2} \\ x+z \amp = \amp \frac{1}{2} \\ \hline \end{array} \end{equation*}

Como ambas ecuaciones son iguales, se tiene que \(x= \dfrac{1}{2}-z\text{,}\) donde \(z\in \mathbb{R}\) es arbitrario, así el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y el conjunto solución lo podemos expresar del siguiente modo

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \mathcal{S} \amp =\amp \left\{\left.\left( \dfrac{1}{2}-z,\ \dfrac{1}{2},\ z\right)\,\,\right| \,\,z\in \mathbb{R}\right\} \\ \amp =\amp \left\{\left.\left(x,\ y,\ z\right)\,\,\right| \ (\exists t\in \mathbb{R})(x= \dfrac{1}{2}-t \wedge y = \dfrac{1}{2} \wedge z=t )\right\} \end{array} \end{equation*}

Resolver el sistema

\begin{equation*} \begin{array}{ccc|} -2x+y+z \amp = \amp 0 \\ x-2y+z \amp = \amp 0 \\ x+y-2z \amp = \amp -2 \\ \hline \end{array} \end{equation*}
Solución 6

Dado el sistema ecuaciones

\begin{equation*} \begin{array}{ccc|} -2x+y+z \amp = \amp 0 \\ x-2y+z \amp = \amp 0 \\ x+y-2z \amp = \amp -2 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

De la primera ecuación escogemos la variable \(y\) y eliminemos de las otras

reemplazando en el sistema de ecuación se tiene que

\begin{equation*} \begin{array}{ccc|} -3x+3z \amp = \amp 0 \\ 3x-3z \amp = \amp -2 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

Simplificando, obtenemos \(x-z=0\text{,}\) eliminando en la tercer ecuación obtenemos que \(0=-2\text{,}\) lo cual es claramente una contradicción, en consecuencia el sistema tiene solución vacía.

Subsección 1.3.5 Problemas de Planteo

Comenzaremos recordando algunos conceptos que serán de gran utilidad para la resolución de problemas:

  1. Se dice que y es el q por ciento de x, si y sólo si

    y=q100x.

  2. La razón entre los números a:b es el cociente

    ab.

    Se llama proporción a una igualdad entre dos razones, por ejemplo

    a:b=c:d

    la cual se lee a es a b como c es a d.

    1. Se dice que a es directamente proporcional a b si y sólo si existe una constante k tal que

      a=kb.

    2. Se dice que a es inversamente proporcional a b si y sólo si existe una constante k tal que

      a=k1b.

    La constante k (en ambos casos) es llamada factor de proporcionalidad.

  3. Sea T un triángulo equilátero de lado a.

    Altura de :h=a√32.área de :A=a2√34.

Para concluir un trabajo, un albañil corta dos pedazos de cerámica siendo cada uno un triángulo equilátero de base \(c\text{.}\) Al unir estos pedazos por uno de sus lados, se forma un rombo el cual al ser pegado en la pared no alcanza a cubrir la superficie deseada por el maestro, quedando por rellenar un espacio con una cerámica cuya forma debe ser también un triángulo equilátero, pero de área igual al \(60\%\) del rombo. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de esta última cerámica para que se tenga el trabajo terminado?.

Solución 1

Sea \(x\) la longitud del lado de la cerámica que buscamos.

Se tiene que el área del rombo es dos veces el área de los triángulos equiláteros de lado \(c\text{,}\) esto es

\begin{equation*} \textrm{Área del rombo}=2\left( \dfrac{c^2\sqrt{3}}{4}\right), \end{equation*}

pero el área del triángulo de lado \(x\) es el \(60\%\) del área del rombo, o sea

\begin{equation*} \dfrac{x^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{60}{100} \dfrac{c^2\sqrt{3}}{2} \ \ \Leftrightarrow \ \ x^2 = \dfrac{6}{5}c^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \sqrt{ \dfrac{6}{5}}\ c. \end{equation*}

Así la longitud del lado es \(x=c\sqrt{ \dfrac{6}{5}}.\)

En que tanto por ciento debe aumentarse el radio de una circunferencia para que su área aumente en un \(30\%\text{.}\)

Solución 2

Sean \(A=\pi r^2\) el área de la circunferencia de radio \(r\) y \(x\) la longitud del radio que debemos aumentar para que su área aumente en un \(30\%\text{.}\)

Debemos ver que tanto por ciento es \(x\) de \(r\text{.}\)

Tenemos que el área de la circunferencia más el \(30\%\) de la misma está dada por

\begin{equation*} 1,3\pi r^2 = \pi (r+x)^2 \Leftrightarrow \sqrt{1.3}r = r+x \Leftrightarrow x = \left(\sqrt{1,3}-1\right)r\approx 0.14r \end{equation*}

De aquí tenemos que \(x\) es aproximadamente el \(14\%\) de \(r\text{,}\) con lo cual concluimos que el radio debe aumentar en un \(100 (\sqrt{1,3}-1)\%\) para obtener un \(30\%\) más de área.

Dos personas \(A\) y \(B\) se encuentran realizando un trabajo. Si \(A\) realiza el trabajo en \(3\) horas y \(B\) realiza el trabajo en \(5\) horas. ¿Cuánto tiempo demoraran en hacer el trabajo juntos?.

Solución 3

Sean \(T\) el trabajo y \(x\) el tiempo (en horas) que demorarán en hacer el trabajo los dos obreros.

Como \(A\) demora \(3\) horas en realizar el trabajo, tenemos que en una hora \(A\) realiza \(\dfrac{T}{3}\) del trabajo, razonando del mismo modo se tiene que \(B\) realiza \(\dfrac{T}{5}\) del trabajo en una hora.

De acuerdo a esto podemos concluir que en una hora ambos realizan \(\dfrac{T}{3}+ \dfrac{T}{5}= \dfrac{8T}{15}\) del trabajo.

Luego tenemos que el trabajo total esta dado por la siguiente ecuación

\begin{equation*} \dfrac{8T}{15}x=T \Leftrightarrow x= \dfrac{15}{8} \end{equation*}

simplificando obtenemos que \(x=1.875\) horas. Por lo tanto tenemos que los obreros demoran \(1.875\) horas en realizar el trabajo juntos.

Un número entero positivo de dos cifras excede en \(18\) a seis veces la suma de sus cifras. Si la cifra de las decenas excede en \(5\) a la de las unidades, ¿cuál es el número?.

Solución 4

Sea \(x\) la cifra de las unidades e \(y\) la cifra de las decenas, en primer lugar tenemos que el número buscado es \footnote{Si un número \(N\) tiene \(n\) cifras \(N_0,N_1,\ldots ,N_{n-1}\) ordenados de izquierda a derecha entonces \(N=N_{n-1}10^{n-1}+\cdots +N_110+N_0\) } \(N= 10y+x\text{,}\) ahora bien de acuerdo a la información del problema tenemos que

\begin{equation*} 10y+x=6(x+y)+18\,\,\textrm{y que}\,\,y=x+5. \end{equation*}

En consecuencia tenemos el siguiente sistema

\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} -5x+4y \amp = \amp 18 \\ x-y \amp = \amp -5 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

multiplicando la segunda ecuación por \(4\) y sumándola con la primera obtenemos que \(x=2\) y con esto que \(y=7\text{.}\)

Por lo tanto el número buscado es \(N=7\cdot 10+2=72\text{.}\)

Una pareja de estudiantes universitarios debe resolver un determinado problema. Después que el primero de ellos a trabajado durante \(7\) horas en la resolución del problema y el segundo a trabajado durante \(4\) horas en la solución del mismo, juntos han completado \(\dfrac{5}{9}\) de la solución total. Si ellos siguieran trabajando juntos durante \(4\) horas más, solo les quedaría por resolver \(\dfrac{1}{18}\) del problema. ¿Cuánto tardaría cada uno en resolver completamente el problema?.

Solución 5

Sea \(s\) la solución del problema. Denotemos por \(x\) la cantidad de horas que tardaría el primer estudiante en resolver el problema y denotemos por \("y"\) la cantidad de horas que tardaría el segundo estudiante en dar solución al problema. Entonces en una hora el primer estudiante realiza \(\dfrac{s}{x}\) de la solución completa mientras que el segundo realiza en el mismo tiempo \(\dfrac{s}{y}\) de la solución completa.

De acuerdo a la información del problema tenemos que

\begin{equation*} 7 \dfrac{s}{x}+4 \dfrac{s}{y}= \dfrac{5s}{9}. \end{equation*}

Ahora bien como ellos trabajarán juntos durante \(4\) horas, realizarán \(\dfrac{4s}{x}+ \dfrac{4s}{y}\) de la solución, que es igual a

\begin{equation*} s-\left( \dfrac{5s}{9}+ \dfrac{s}{18}\right)= \dfrac{7s}{18} \end{equation*}

así se tiene que

\begin{equation*} \dfrac{4s}{x}+ \dfrac{4s}{y}= \dfrac{7s}{18} \end{equation*}

luego tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} \dfrac{7s}{x}+ \dfrac{4s}{y}\amp = \amp \dfrac{5s}{9}\\ \dfrac{4s}{x}+ \dfrac{4s}{y}\amp = \amp \dfrac{7s}{18}\\ \hline \end{array} \end{equation*}

simplificando obtenemos,

\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} \dfrac{7}{x}+ \dfrac{4}{y}\amp = \amp \dfrac{5}{9}\\ \dfrac{4}{x}+ \dfrac{4}{y}\amp = \amp \dfrac{7}{18}\\ \hline \end{array} \end{equation*}

resolviendo tenemos que \(x=18\) e \(y=24\text{.}\) Por lo tanto el primer estudiante tarda \(18\) horas en dar solución al problema, mientras el segundo tarda \(24\) horas en realizar la misma tarea.

Observación: Recuerde que en este tipo de problema se asume que, las personas trabajan todo el tiempo igual "proporcional", y que el trabajo todo el tiempo es igual "proporcional".