[skip-to-content]

Sección 3.5 Álgebra de Funciones

Una forma de construir nuevas funciones es a través del algebra de funciones, aunque las definiciones que daremos en este apunte son mas bien operativa que estricta, por ello en algunos textos se encontraran definiciones diferentes y posiblemente en algunos casos incompatibles

Subsección 3.5.1 Álgebra de Funciones

Definición 3.5.1

Sean \(f\) y \(g\) funciones tales que \(D=Dom(f)\cap Dom(g)\not = \phi \) entonces se pueden definir nuevas funciones.

  1. La suma de \(f\) y \(g\) se define por

    \begin{equation*} \begin{array}{cccc} f + g: \amp D \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp f(x)+ g(x) \end{array} \end{equation*}

  2. La diferencia de \(f\) y \(g\) se define por

    \begin{equation*} \begin{array}{cccc} f - g: \amp D \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp f(x)- g(x) \end{array} \end{equation*}

  3. El producto de \(f\) y \(g\) se define por

    \begin{equation*} \begin{array}{cccc} f\cdot g: \amp D \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp f(x)\cdot g(x) \end{array} \end{equation*}

  4. El producto por una escalar se define como:

    \begin{equation*} \begin{array}{cccc} \alpha f: \amp Dom (f) \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \\ \amp x \amp \longmapsto \amp (\alpha f)(x)=\alpha f(x) \\ \end{array} \end{equation*}

  5. Si \(D'=\{x\in D\mid g(x)\not = 0\} \neq \phi\) entonces, cociente de \(f\) con \(g\) se define por

    \begin{equation*} \begin{array}{cccc} \dfrac{f}{g}: \amp D' \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \frac{f(x)}{g(x)} \end{array} \end{equation*}

  6. Sean \(A,B,C,D\) subconjuntos de números reales y \(f:A\longrightarrow B\) y \(g:C\longrightarrow D\) dos funciones tales que

    \begin{equation*} E=\{x\in A \mid f(x)\in C\} \neq \phi. \end{equation*}

    Entonces, se define la compuesta de \(f\) y \(g\) dada por:

    \begin{equation*} \begin{array}{cccl} (g\circ f): \amp E \amp \longrightarrow \amp D\\ \amp x \amp \longmapsto \amp g(f(x)) \end{array} \end{equation*}

    Claramente tenemos que \(E=Dom(g\circ f)\)

Observación: Un caso particular, donde la definición de compuesta se cumple, es cuando tenemos que \(B\subseteq C\) o \(Rec(f)\subseteq C\text{,}\) entonces \(Dom(g\circ f)=Dom(f)=E\text{.}\)

Sean

\begin{equation*} \begin{array}{lccl} f: \amp [-2,2]\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \longmapsto \amp \sqrt{4-x^2} \end{array}\ \ \begin{array}{lccl} g: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp 3x+1\\ \end{array} \end{equation*}

Encontrar la suma, la resta, el producto y el cociente de \(f\) con \(g\text{.}\)

Solución 1

El dominio de \(f\) es \(Dom(f)=[-2,2]\) y el de \(g\) es \(Dom(g)=\mathbb{R} \text{.}\)

Luego

\begin{equation*} Dom(f)\cap Dom(g)=[-2,2]\neq \phi \end{equation*}

La suma de \(f\) y \(g\)

\begin{equation*} \begin{array}{lrl} (f+g): \amp [-2,2]\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \longmapsto \amp \sqrt{4-x^2}+(3x+1)\\ \end{array} \end{equation*}

La diferencia

\begin{equation*} \begin{array}{lrl} (f-g): \amp [-2,2]\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \longmapsto \amp \sqrt{4-x^2}-(3x+1)\\ \end{array} \end{equation*}

El producto

\begin{equation*} \begin{array}{lrl} (fg): \amp [-2,2]\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \longmapsto \amp \sqrt{4-x^2} \cdot(3x+1) \end{array} \end{equation*}

El cociente

\begin{equation*} \begin{array}{lrl} \left(\dfrac{f}{g}\right) : \amp [-2,2]-\{-\frac{1}{3}\}\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \longmapsto \amp \frac{\sqrt{4-x^2}}{3x+1} \end{array} \end{equation*}

Sea

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f: \amp \mathbb{R}-\{0\}\amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{0\}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \frac{1}{x} \end{array} \end{equation*}

Encontrar \(f\circ f\text{,}\) \(f\circ f\circ f\)

Solución 2

Sabemos que \(Recf \subseteq Domf \text{,}\) luego \(Dom (f\circ f) = Dom f \text{,}\) calculemos ahora la imagen.

\begin{equation*} (f\circ f)(x) = f(f(x)) = f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x \end{equation*}

luego tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f\circ f: \amp \mathbb{R}-\{0\}\amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{0\}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp x \end{array} \end{equation*}

La otra compuesta la obtenemos

\begin{equation*} (f\circ f\circ f)(x) = f((f\circ f)(x)) = f(x) = \frac{1}{x} \end{equation*}

así tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f\circ f \circ f : \amp \mathbb{R}-\{0\}\amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{0\}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \frac{1}{x} \end{array} \end{equation*}

Sean \(f\) y \(g\) funciones dadas por

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp x-2\\ \end{array} \ \ \ \begin{array}{rccl} g :\amp \mathbb{R}^+ \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}^+\\ \amp x \amp \longmapsto \amp 5x+\sqrt{x}\\ \end{array} \end{equation*}

Determinar \(g\circ f\) y \(f \circ g\text{.}\)

Solución 3

Primero veremos el dominio de la función

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} Dom(g\circ f)\amp =\amp \{ x\in Dom f \ \ | \ \ f(x)\in Dom g \} \\ Dom(g\circ f)\amp =\amp \{ x\in \mathbb{R} \ \ | \ \ x-2 \in\mathbb{R}^+ \}\\ Dom(g\circ f)\amp =\amp \{ x\in \mathbb{R} \ \ | \ \ x-2 \gt 0 \}\\ Dom(g\circ f)\amp =\amp ]2,+\infty[. \end{array} \end{equation*}

Veamos ahora la imagen de \(x\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (g\circ f)(x) \amp = \amp g(f(x))\\ \amp = \amp g(x-2)\\ \amp = \amp 5(x-2)+\sqrt{x-2}\\ \amp = \amp 5x-10+\sqrt{x-2}. \end{array} \end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} g\circ f :\amp ]2,+\infty[\amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}^+\\ \amp x\amp \longmapsto \amp 5x-10+\sqrt{x-2} \end{array} \end{equation*}

Ahora veremos el dominio de la otra función

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} Dom(f\circ g)\amp =\amp \{ x\in Dom g \ \ | \ \ g(x)\in Dom f \} \\ Dom(f\circ g)\amp =\amp \{ x\in \mathbb{R}^+ \ \ | \ \ 5x+\sqrt{x} \in\mathbb{R} \}\\ Dom(f\circ g)\amp =\amp \mathbb{R}^+. \end{array} \end{equation*}

Veamos ahora la imagen de \(x\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (f\circ g)(x) \amp = \amp f(g(x))\\ \amp = \amp f(5x+\sqrt{x})\\ \amp = \amp 5x+\sqrt{x}-2. \end{array} \end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f\circ g :\amp \mathbb{R}^+ \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}^+\\ \amp x\amp \longmapsto \amp 5x+\sqrt{x}-2 \end{array} \end{equation*}

Sean \(f\) y \(g\) funciones dadas por

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f: \amp [1,\infty[\amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp 5-\sqrt{x-1} \end{array} \ \ \ \begin{array}{rccl} g :\amp \mathbb{R}^+_0 \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}^+\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \sqrt{x}+2 \end{array} \end{equation*}

Determinar \(g\circ f\) y \(f \circ g\text{.}\)

Solución 4

Primero veremos el dominio de la función

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} Dom(g\circ f)\amp =\amp \{ x\in Dom f \ \ | \ \ f(x)\in Dom g \} \\ Dom(g\circ f)\amp =\amp \{ x\in [1,\infty[ \ \ | \ \ 5-\sqrt{x-1} \in\mathbb{R}^+_0 \}\\ Dom(g\circ f)\amp =\amp \{ x\in [1,\infty[ \ \ | \ \ 5-\sqrt{x-1}\geq 0 \}\\ Dom(g\circ f)\amp =\amp \{ x\in [1,\infty[ \ \ | \ \ 5\geq\sqrt{x-1} \}\\ Dom(g\circ f)\amp =\amp \{ x\in [1,\infty[ \ \ | \ \ 26\geq x \}\\ Dom(g\circ f)\amp =\amp [1,26]. \end{array} \end{equation*}

Veamos ahora la imagen de \(x\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (g\circ f)(x) \amp = \amp g(f(x))\\ \amp = \amp g(5-\sqrt{x-1})\\ \amp = \amp \sqrt{5-\sqrt{x-1}}+2 \end{array} \end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} g\circ f :\amp [1,26]\amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}^+\\ \amp x\amp \longmapsto \amp \sqrt{5-\sqrt{x-1}}+2 \end{array} \end{equation*}

Ahora veremos el dominio de la otra función

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} Dom(f\circ g)\amp =\amp \{ x\in Dom g \ \ | \ \ g(x)\in Dom f \} \\ Dom(f\circ g)\amp =\amp \{ x\in \mathbb{R}^+_0 \ \ | \ \ \sqrt{x}+2 \in [1,\infty[ \}\\ Dom(f\circ g)\amp =\amp \{ x\in \mathbb{R}^+_0 \ \ | \ \ \sqrt{x}+2 \geq 1 \}\\ Dom(f\circ g)\amp =\amp \{ x\in \mathbb{R}^+_0 \ \ | \ \ \sqrt{x}\geq -1 \}\\ Dom(f\circ g)\amp =\amp \mathbb{R}^+_0. \end{array} \end{equation*}

Veamos ahora la imagen de \(x\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (f\circ g)(x) \amp = \amp f(g(x))\\ \amp = \amp f(\sqrt{x}+2)\\ \amp = \amp 5-\sqrt{\sqrt{x}+2-1}. \end{array} \end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f\circ g :\amp \mathbb{R}^+_0 \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x\amp \longmapsto \amp 5-\sqrt{\sqrt{x}+1} \end{array} \end{equation*}

Sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas por

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f: \amp [0,4]\amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp f(x) = \left \{ \begin{array}{ccc} 3x+4 \amp si \amp x\in [0,2[ \\ x+1 \amp si \amp x \in [2,4] \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{rccl} g :\amp [2,12] \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}^+\\ \amp x \amp \longmapsto \amp g(x) = \left \{ \begin{array}{ccc} x^2 \amp si \amp x\in[2,5[\\ 4 \amp si \amp x \in [5,12]\\ \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}

Determine \((g\circ f)\)

Solución 5

Primero veremos su dominio

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} Dom (g \circ f)\amp =\amp \{ x \in Dom f \ \ | \ \ f(x) \in Dom g \} \\ Dom (g \circ f)\amp =\amp \{ x \in [0,4] \ \ | \ \ f(x) \in [2,12] \} \end{array} \end{equation*}

Para el primer caso \(x \in [0,2[\) tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} 2 \leq f(x)\leq 12 \\ 2\leq 3x+4 \leq 12 \\ -2 \leq 3x \leq 8 \\ -\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{8}{3} \end{array} \end{equation*}

lo cual ocurre siempre.

Para el segundo caso \(x \in [2,4]\) tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} 2 \leq f(x)\leq 12 \\ 2\leq x+1 \leq 12 \\ 1 \leq x \leq 11 \end{array} \end{equation*}

lo cual ocurre siempre. Luego

\begin{equation*} Dom (g \circ f) =[0,4]. \end{equation*}

ahora calcularemos la imagen por la compuesta

Primer caso: Sea \(x\in [0,2[\)

\begin{equation*} (g\circ f)(x)=g(3x+4) \end{equation*}

Caso 1A) \(3x+4 \lt 5 \Leftrightarrow x \lt \frac{1}{3}.\)

\begin{equation*} g(3x+4)=(3x+4)^2 \end{equation*}

lo cual esta definida en el intervalo \([0,\frac{1}{3}[\text{.}\)

Caso 1B) \(3x+4 \geq 5\Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}\)

\begin{equation*} g(3x+4)=4 \end{equation*}

esta definida en el intervalo de \([\frac{1}{3},2[\)

Segundo caso: Sea \(x\in [2,4] \)

\begin{equation*} (g\circ f)(x)=g(x+1) \end{equation*}

Caso 2A) \(x+1 \lt 5\Leftrightarrow x \lt 4\)

\begin{equation*} g(x+1)=(x+1)^2 \end{equation*}

en el intervalo \([2,4[ \)

Caso 2B) \(x+1 \geq 5 \Leftrightarrow x \geq 4\text{,}\) luego \(x=4\)

\begin{equation*} g(f(4))=g(5)=4 \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{ccc} (g\circ f)(x) \amp = \amp \left \{ \begin{array}{ccl} (3x+4)^2 \amp \text{si}\amp 0\leq x \lt \frac{1}{3}\\ 4 \amp \text{si}\amp \frac{1}{3} \leq x \lt 2 \mbox{ o } x=4\\ (x+1)^2 \amp \text{si}\amp 2 \leq x \lt 4 \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}

Sean \(f\) y \(g\) dos funciones,

\begin{equation*} \begin{array}{rccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp f(x) = \left \{ \begin{array}{ccc} \sqrt{x-1} \amp si \amp x \gt 1 \\ x^3 \amp si \amp x \leq 1\\ \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{rccl} g :\amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp g(x) = \left \{ \begin{array}{ccc} x^2 \amp si \amp x \gt 0\\ 2x+1 \amp si \amp x \leq 0 \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}

Determine \((g\circ f)\)

Solución 6

Primero veremos su dominio

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} Dom (g \circ f)\amp =\amp \{ x \in Dom f \ \ | \ \ f(x) \in Dom g \} \\ Dom (g \circ f)\amp =\amp \{ x \in \mathbb{R} \ \ | \ \ f(x)\in \mathbb{R} \} \\ Dom (g \circ f)\amp =\amp \mathbb{R} \end{array} \end{equation*}

Veremos a continuación la imagen.

\begin{equation*} (g \circ f)(x)=g(f(x)) \end{equation*}

Para el primer caso \(x \gt 1\) tenemos

\begin{equation*} g(f(x))= g(\sqrt{x-1}) \end{equation*}

pero tenemos que \(\sqrt{x-1} \gt 0 \text{,}\) luego se tiene que:

\begin{equation*} g(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^2= x-1 \end{equation*}

En el segundo caso tenemos que \(x \lt 1\) luego

\begin{equation*} (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^3) \end{equation*}

Debemos analizar

Caso A) \(x^3 \gt 0 \Longleftrightarrow x\in ]0,1] \text{,}\) luego tenemos que

\begin{equation*} g(x^3)=(x^3)^2 = x^6 \end{equation*}

Caso B) \(x^3 \leq 0 \Longleftrightarrow x\in ]-\infty,0] \text{,}\) luego tenemos que

\begin{equation*} g(x^3)=2x^3 +1 \end{equation*}

Así tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{ccc} (g\circ f )(x) \amp = \amp \left \{ \begin{array}{ccc} x-1 \amp si \amp x \gt 1\\ x^6 \amp si \amp x\in ]0,1]\\ 2x^3+1 \amp si \amp x \leq 0 \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}

Subsección 3.5.2 Ejercicios Propuestos

  1. Dadas las siguientes funciones

    \(\begin{array}[t]{lrl} f: \amp \mathbb{R}-\{0\}\amp \longrightarrow \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \frac{|x|}{x^2}\\ \end{array} \) y \(\begin{array}[t]{lrl} g: \amp [-1,1]\amp \longrightarrow \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto 1-x^2\\ \end{array} \)

    Determine:

    1. \(Dom(g\circ f)\)
    2. \((g\circ f)(x)\)

  2. Dadas las siguientes funciones

    \(\begin{array}[t]{lrl} f: \amp \mathbb{R}-\{0\}\amp \longrightarrow \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \frac{|x|}{x^2}\\ \end{array} \) y \(\begin{array}[t]{rccl} g :\amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp g(x) = \left \{ \begin{array}{ccc} 1-x^2 \amp si \amp |x| \leq 1\\ x^2+1 \amp si \amp |x| \gt 1\\ \end{array} \right. \end{array}\)

    Determine \((g\circ f)\)

  3. Exprese la función \(f(x)=\sqrt[5]{(x+x^4)^2} \) como la composición de tres funciones básicas.

  4. Encuentre una función \(h(x)\) de manera que \((g\circ h)(x)=x\) siendo \(g(x)=\sqrt{x^2+1} \)

  5. Sean \(f(x)=x^ 2-1\) y \(g(x)=3x+5\) encontrar \((f\circ g)(x)\) y \((g\circ f)(x)\text{.}\)

  6. Sean \(f\) y \(g\) funciones tales que \(f(x)=\frac{1}{x^2+1} \) y \(g(x)=\frac{x}{x+1} \)

    Sea

    \begin{equation*} A(h)=\frac{f(x+h)-(f\circ g)(x+h)}{(f\cdot g)(x+h)-\frac{f(x+h)}{g(x+h)}} \end{equation*}

    1. Calcule \(A(h)\) en función de \(h\) y \(x\text{.}\)

    2. Calcule \(A(1)\) y \(A(-1)\text{.}\)

    3. Graficar la función

      \begin{equation*} \begin{array}[t]{rl} f : \amp \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\\ \amp x\longmapsto |x-1|+|2x+3| \end{array} \end{equation*}

  7. Graficar \(f(x)=\frac{1}{|x|-1} \)

  8. Sean \(f\) y \(g\) funciones definidas en \(\mathbb{R} \) por

    \begin{equation*} \begin{array}{ccc} f(x) \amp = \amp \left \{ \begin{array}{ccc} x+1 \amp ; \amp x\geq 1\\ x^2-1 \amp ; \amp x \lt 1\\ \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}
    \begin{equation*} \begin{array}{ccc} g(x) \amp = \amp \left \{ \begin{array}{ccc} 2x+3 \amp ; \amp x \lt 2\\ 2x^2+x-3 \amp ; \amp x\geq 2\\ \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}

    Encontrar \((g\circ f)(x)\)