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Sección 1.2 Estructura de Grupo

Ahora estableceremos las secuencias de propiedades que permiten generalizar los ejemplos dados en la sección anterior, para ello necesitamos considerar un conjunto no vacío, donde se define la operación binaria, que habitualmente se denota por \(+\) y \(\cdot\text{,}\) cuyo significado es dado dos elementos obtengo un único elemento en el mismo conjunto.

Definición 1.2.1

Sea \(G\) un conjunto no vacío. Diremos que \(*\) es una operación binaria o clausura en \(G\) si para todo \(a,b\) en \(G\) existe un único \(a*b\) en \(G\text{,}\) es decir

\begin{equation*} (\forall a,b\in G)(\exists ! \,c\in G)(a*b=c). \end{equation*}
Definición 1.2.2

Un grupo es un conjunto no vacío \(G\) y una operación binaria \(*\text{,}\) tal que para todo \(a,b\) y \(c\) en \(G\) se cumplen los siguientes:

  1. Asociatividad: Para todo \(a,b,c\) en \(G\text{,}\) se cumple

    \begin{equation*} a*(b*c)=(a*b)*c. \end{equation*}

    En símbolos

    \begin{equation*} (\forall a,b,c\in G)(a*(b*c)=(a*b)*c). \end{equation*}

  2. Existencia de elemento neutro: Existe \(e\) elemento neutro de \(G\text{,}\) tal que para todo \(a\) en \(G\text{,}\) se cumple

    \begin{equation*} a*e=a=e*a. \end{equation*}

    En símbolos

    \begin{equation*} (\exists \,e\in G)(\forall a\in G)(a*e=a=e*a). \end{equation*}

  3. Existencia de elemento inverso: Para todo \(a\) en \(G\text{,}\) existe \(b\) en \(G\text{,}\) tal que

    \begin{equation*} a*b=e=b*a. \end{equation*}

    En símbolos

    \begin{equation*} (\forall a\in G)(\exists \,b\in G)(a*b=e=b*a). \end{equation*}

    En adelante diremos que \((G,*)\) es un grupo, para indicar que \(G\) con la operación \(*\) es un grupo.

  4. Diremos que \(G\) es un grupo abeliano o conmutativo, si y sólo si \((G,*)\) es un grupo y satisface la propiedad de conmutatividad, esto es:

    \begin{equation*} (\forall a,b\in G)(a*b=b*a). \end{equation*}

Los conjuntos \(\mathbb{Z}\) y \(\mathbb{Q}\) con la suma habitual de números son grupos abelianos.

Con la multiplicación usual el conjunto \(\mathbb{Q}-\{0\}\) es también un grupo abeliano.

Sea \(X\) un conjunto no vacío y definamos

\begin{equation*} \mathcal{F}(X,\mathbb{Q})=\{f:X\longrightarrow \mathbb{Q}\,\,|\,\,f\,\textrm{es una función}\} \end{equation*}

el conjunto de todas las funciones de \(X\) en \(\mathbb{Q}\text{.}\) "La definición del concepto función será visto con detalle en el capítulo siguiente", y la operación suma \((+)\) definida por:

\begin{equation*} \begin{array}{ccccl} f+g \amp : \amp X \amp \longrightarrow \amp \mathbb{Q}\\ \amp \amp x \amp \longmapsto \amp (f+g)(x):= f(x)+g(x) \end{array} \end{equation*}

entonces \(\mathcal{F}(X,\mathbb{Q})\) es un grupo. La demostración sera vista en el capítulo de funciones