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Sección 1.5 Axioma del Supremo

Definición 1.5.1

Sea \(A\subseteq \mathbb{R}\) tal que \(A\neq \phi\) y \(c\in \mathbb{R}\text{.}\) Se dice que

  1. \(c \) es una cota superior de \(A\text{,}\) si y sólo si

    \begin{equation*} (\forall a\in A)(a\leq c). \end{equation*}

  2. \(a\) es una cota inferior de \(A\text{,}\) si y sólo si

    \begin{equation*} (\forall a\in A)(a\geq c). \end{equation*}

  3. \(A\) es un conjunto acotado superiormente, si y sólo si existe una cota superior para el conjunto \(A\text{.}\)

  4. \(A\) es un conjunto acotado inferiormente, si y sólo si existe una cota inferior para el conjunto \(A\text{.}\)

  5. \(A\) es un conjunto acotado, si y sólo si \(A\) es acotado superior e inferiormente se dice que

Observación: Si \(A=\emptyset\text{,}\) se dice que \(A\) es un conjunto acotado.

Definición 1.5.2

Sea \(A\subseteq \mathbb{R}\) tal que \(A\neq \phi\) y \(L\in \mathbb{R}\text{.}\)

Se dice que \(L\) es el supremo de \(A\text{,}\) si y sólo si, las dos condiciones siguientes se satisfacen:

  1. \(L\) es una cota superior de \(A\text{.}\)

  2. Si \(L{'}\) es una cota superior de \(A\text{,}\) entonces \(L\leq L{'}\text{.}\)

Notación: Si existe el supremo se denota por \(\sup(A)=L.\)

Observación: Note que por definición, \(\sup(A)\) es la menor de las cotas superiores de \(A\text{.}\)

Definición 1.5.3

Sean \(A\subseteq \mathbb{R}\) tal que \(A\neq \phi\) y \(L\in \mathbb{R}\text{.}\)

Se dice que \(L\) es el ínfimo de \(A\text{,}\) si y sólo si, las dos condiciones siguientes se satisfacen:

  1. \(L\) es una cota inferior de \(A\text{.}\)

  2. Si \(L{'}\) es una cota inferior de \(A\text{,}\) entonces \(L{'}\leq L\text{.}\)

Notación: Si existe el ínfimo, se denota por \(\inf(A)=L.\)

Observación: Note que por definición, \(\inf(A)\) es la mayor de las cotas inferiores de \(A\text{.}\)

Consideremos los conjuntos \(A=]-\infty,5]\) y \(B=]7,\infty[\text{,}\) en este caso tenemos que el conjunto \(A\) no es acotado inferiormente, pues no existe \(r\in \mathbb{R}\) de modo que \(r\leq a\) para todo \(a\in A\text{,}\) en cambio el conjunto \(B\) si es acotado inferiormente pues existe \(r=7\in \mathbb{R}\) tal que \(r\leq b\) para todo \(b\in B\text{.}\) Análogamente podemos ver que el conjunto \(A\) es acotado superiormente y el conjunto \(B\) no lo es.

Además que todo \(r\in [5,\infty[\) es una cota superior para \(A\text{,}\) luego tenemos que el conjunto de todas las cotas superiores de \(A\) es \([5,\infty[\text{,}\) el \(sup(A)=5\text{.}\) Del mismo modo tenemos que todo \(r^{'}\in ]-\infty,7]\) es una cota inferior para \(B\text{,}\) luego el conjunto de todas las cotas inferiores de \(B\) es \(]-\infty,7]\text{,}\) el \(\inf(B)=7\text{.}\)

Sea \(A=\{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,|x-3|\leq \sqrt{2}\}\text{.}\) Determine el conjunto de cotas superiores e inferiores del conjunto \(A\text{.}\)

Solución

Notemos que

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} A \amp = \amp \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,|x-3|\leq \sqrt{2}\}\\ \amp = \amp \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,-\sqrt{2}\leq x-3 \leq \sqrt{2}\}\\ \amp = \amp \{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,-\sqrt{2}+3 \leq x \leq \sqrt{2}+3\}\\ \amp = \amp [-\sqrt{2}+3,\sqrt{2}+3]. \end{array} \end{equation*}

De acuerdo a esto podemos ver que \(A\) es un conjunto acotado superior e inferiormente pues existen \(r=\sqrt{2}+3\) y \(r^{'}=-\sqrt{2}+3\) de modo que \(r^{'}\leq a \leq r\) para todo \(a\in A\text{.}\) Además el conjunto de todas las cotas inferiores está dado por \(]-\infty,-\sqrt{2}+3]\) y el de las cotas superiores está dado por \([\sqrt{2}+3,\infty[\text{.}\)

\((\Rightarrow)\) Procedamos por absurdo, esto es supongamos que

por hipótesis existe \(\epsilon \gt 0\) tal que

\begin{equation*} x\leq L-\epsilon, \quad \forall x\in A \end{equation*}

esto nos entrega que \(L-\epsilon\) es una cota superior de \(A\) (por definición de cota), pero \(L=\sup(A)\text{,}\) luego \(L\leq L-\epsilon\) de aquí que \(\epsilon \leq 0\text{,}\) lo cual contradice \(\epsilon \gt 0\text{.}\)

\((\Leftarrow)\) Procediendo de la misma forma, sea \(L\) cota superior de \(A\) y supongamos que

\begin{equation*} (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \,x\in A)(x \gt L-\epsilon) \wedge L\neq \sup(A) \end{equation*}

Como \(L\neq \sup(A)\) y \(L\) es cota superior de \(A\text{,}\) entonces \(L\) no es la menor de las cotas superiores de \(A\text{,}\) esto es, existe \(L^{'}\) cota superior de \(A\) tal que

\begin{equation*} L^{'}\leq L \end{equation*}

luego existe \(\epsilon \gt 0\) tal que

\begin{equation*} L^{'}+\epsilon =L \end{equation*}

pero por hipótesis, existe \(x\in A\) tal que

\begin{equation*} x \gt L-\epsilon \end{equation*}

De este modo tenemos que

\begin{equation*} x \gt L^{'},\quad x\in A \end{equation*}

lo cual es una contradicción pues \(L^{'}\) es una cota superior de \(A\text{.}\)

Ejercicio (análogo a la demostración del teorema anterior).

Subsección 1.5.1 Axioma del Supremo

El conjunto de los números reales con el axioma del supremo recibe el nombre de cuerpo ordenado y completo, o cuerpo totalmente ordenado lo cual caracteriza \(\mathbb{R}\text{,}\) y es el siguiente

Supongamos por absurdo que \(\mathbb{N}\) es acotado superiormente. Luego por el axioma del supremo existe \(\sup(\mathbb{N})=L, L\in \mathbb{R}\text{,}\) esto es \((\forall \epsilon \gt 0)(\exists \,n\in \mathbb{N})(n \gt L-\epsilon)\)

En particular si consideramos \(\epsilon=1 \gt 0\text{,}\) entonces existe \(n\in \mathbb{N}\) tal que

\begin{equation*} n \gt L-1 \end{equation*}

es decir,

\begin{equation*} n+1 \gt L \end{equation*}

pero \(n+1\in \mathbb{N}\text{,}\) lo que es una contradicción pues \(L=\sup(\mathbb{N}).\)

Procedamos por absurdo, esto es

\begin{equation*} (\exists \,x\in \mathbb{R})(\forall n\in \mathbb{N})(x\geq n). \end{equation*}

Es claro que \(x\) es una cota superior de \(\mathbb{N}\text{,}\) luego tenemos que \(\mathbb{N}\) es acotado superiormente, lo cual es una contradicción.

Sea \(\epsilon \gt 0\) y consideremos el número real \(\dfrac{1}{\epsilon}\text{,}\) entonces por la propiedad arquimediana existe \(n\in \mathbb{N}\) tal que

\begin{equation*} n \gt \dfrac{1}{\epsilon} \end{equation*}

de donde

\begin{equation*} \dfrac{1}{n} \lt \epsilon \end{equation*}

concluyendo así la demostración.

Sea

\begin{equation*} A=\left\{x_n\in \mathbb{R}\,\,\left|\,\,x_n= \dfrac{n}{2n+1}, n\in \mathbb{N}\right.\right\} \end{equation*}

Demostrar que \(\sup(A)= \dfrac{1}{2}.\)

Solución 1

  1. En primer lugar demostremos que \(L= \dfrac{1}{2}\) es una cota superior de \(A\text{.}\)

    Claramente

    \begin{equation*} 2n \lt 2n+1\quad \forall n\in \mathbb{N} \end{equation*}

    luego

    \begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp \dfrac{2n}{2n+1} \amp \lt \amp 1\quad \forall n\in \mathbb{N}\\ \Leftrightarrow \amp \dfrac{n}{2n+1} \amp \lt \amp \dfrac{1}{2}\quad \forall n\in \mathbb{N} \end{array} \end{equation*}

    así

    \begin{equation*} x_n \lt \dfrac{1}{2}\quad \forall n\in \mathbb{N} \end{equation*}

    con lo cual se tiene que \(L= \dfrac{1}{2}\) es cota superior de \(A\text{.}\)

  2. Solo nos queda demostrar que \((\forall \epsilon \gt 0)(\exists \,x_n\in A)(x_n \gt \dfrac{1}{2}-\epsilon)\text{,}\) lo que equivale a probar la existencia de \(n\in \mathbb{N}\) de modo que

    \begin{equation*} \dfrac{n}{2n+1} \gt \dfrac{1}{2}-\epsilon, \quad \forall \epsilon \gt 0. \end{equation*}

    Sea \(\epsilon \gt 0\) y consideremos el número real \(\dfrac{1-2\epsilon}{4\epsilon}\text{,}\) ahora bien por Teorema Teorema 1.5.10 tenemos que existe \(n\in \mathbb{N}\) tal que

    \begin{equation*} \begin{array}{crcl} \amp n \amp \gt \amp \dfrac{1-2\epsilon}{4\epsilon}\\ \Leftrightarrow \amp 4n\epsilon \amp \gt \amp 1-2\epsilon\\ \Leftrightarrow \amp 2n\epsilon \amp \gt \amp \dfrac{1}{2}-\epsilon\\ \Leftrightarrow \amp n \amp \gt \amp n-2n\epsilon+ \dfrac{1}{2}-\epsilon\\ \Leftrightarrow \amp n \amp \gt \amp 2n\left( \dfrac{1}{2}-\epsilon\right)+ \dfrac{1}{2}-\epsilon\\ \Leftrightarrow \amp n \amp \gt \amp (2n+1)\left( \dfrac{1}{2}-\epsilon\right)\\ \Leftrightarrow \amp \dfrac{n}{2n+1} \amp \gt \amp \dfrac{1}{2}-\epsilon. \end{array} \end{equation*}

    Así

    \begin{equation*} (\forall \epsilon \gt 0)\left(\exists \,x_n= \dfrac{n}{2n+1}\in A\right) \left(x_n \gt \dfrac{1}{2}-\epsilon \right). \end{equation*}

Luego

\begin{equation*} \sup(A)= \dfrac{1}{2}. \end{equation*}

Sea

\begin{equation*} A=\left\{x_n\in \mathbb{R}\,\,\left|\,\,x_n= \dfrac{1}{n}, \ n\in \mathbb{N}\right.\right\} \end{equation*}

Demostrar que \(\inf(A)=0.\)

Solución 2

  1. En primer lugar demostremos que \(L=0\) es una cota inferior de \(A\text{.}\)

    Es evidente que

    \begin{equation*} 0 \lt \dfrac{1}{n}\quad \forall n\in \mathbb{N} \end{equation*}

    luego

    \begin{equation*} 0 \lt x_n\quad \forall n\in \mathbb{N} \end{equation*}

    con lo cual se tiene que \(L=0\) es cota inferior de \(A\text{.}\)

  2. Solo nos queda demostrar que \((\forall \epsilon \gt 0)(\exists x_n\in A)(x_n \lt \epsilon)\text{,}\) este hecho es clara consecuencia del Corolario Corolario 1.5.11, así

    \begin{equation*} (\forall \epsilon \gt 0)\left(\exists\, x_n= \dfrac{1}{n}\in A\right) \left(x_n \lt \epsilon \right). \end{equation*}

Luego

\begin{equation*} \inf(A)=0. \end{equation*}

Sean \(x,y\in \mathbb{R}\text{.}\) Claramente si \(x \lt 0 \lt y\) existe \(p=0\in \mathbb{Q}\) tal que \(x \lt p \lt y\) y el teorema queda demostrado en este caso.

Supongamos ahora que \(0 \lt x \lt y\text{.}\) Sea

\begin{equation*} \epsilon=y-x \gt 0 \end{equation*}

luego por la corolario de propiedad arquimediana tenemos

\begin{equation*} \dfrac{1}{n} \lt \epsilon=y-x \end{equation*}

Dado \(nx\in \mathbb{R}\text{,}\) nuevamente por la propiedad arquimediana, existe \(m\in \mathbb{N}\) tal que

\begin{equation*} m \gt nx. \end{equation*}

Sea \(m\) el mínimo que satisface \(m \gt nx\text{,}\) luego

\begin{equation*} m-1\leq nx \end{equation*}

así tenemos

\begin{equation*} x \lt \dfrac{m}{n}= \dfrac{m-1}{n}+ \dfrac{1}{n} \lt x+(y-x)=y. \end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*} x \lt \dfrac{m}{n} \lt y, \end{equation*}

es decir, existe \(p= \dfrac{m}{n}\in \mathbb{Q}\) tal que \(x \lt p \lt y.\)

Por otra parte. Supongamos que \(x \lt y \lt 0\text{,}\) entonces \(0 \lt -y \lt -x\) y por lo anterior existe \(p\in \mathbb{Q}\) tal que

\begin{equation*} -y \lt p \lt -x. \end{equation*}

Luego

\begin{equation*} x \lt -p \lt y \end{equation*}

y como \(-p\in\mathbb{Q}\) queda completa la demostración.

Definición 1.5.15

Un subconjunto \(X\subset \mathbb{R}\) es denso en \(\mathbb{R}\) si y sólo si entre dos números reales cualesquiera existe algún elemento de \(X\text{.}\)

Observación: De acuerdo al teorema y definición anteriores claramente el conjunto \(\mathbb{Q}\) de los números racionales es denso en \(\mathbb{R}\text{.}\)