Una función \(f:A \longrightarrow B\) se dice que es inyectiva si y sólo si
Es decir, \(f\) es inyectiva si y sólo si todo \(y\in Rec(f)\) tiene una y sólo una preimagen en el \(Dom(f)\text{.}\)
Sean \(a\) y \(b\) en \(\mathbb{R} \) con \(a \neq 0\) y \(f\) definida por:
Demostrar que \(f\) es inyectiva.
Sean \(x,y\in \mathbb{R} \) tales que
Luego \(f\) es inyectiva.
Sea \(f\) una función definida por:
Demostrar que \(f\) es inyectiva.
Sean \(x,y\in \mathbb{R}-\{2\}\) tales que
Luego \(f\) es inyectiva.
Sea \(f\) una función definida por:
Demostrar que \(f\) es inyectiva.
Sean \(x,y\in [1,\infty[ \) tales que
Como \(x,y\geq 1\text{,}\) luego \(x+y\geq 2\text{,}\) por lo tanto, \(x+y=-2\) es falso, así tenemos que \(x=y\text{,}\) con lo cual \(f\) es inyectiva.
Sea la función
Determine si \(f\) es inyectiva.
Sean \(x,y \in\mathbb{R} \) tales que \(f(x)=f(y)\text{.}\)
Primer caso: \(x,y \in ]2,\infty[ \)
Segundo caso: \(x,y \in ]-\infty,2] \)
Tercero Caso: \(x \in ]2,\infty[ , y \in ]-\infty,2] \text{,}\) para este caso, veremos si es posible que \(f(x)=f(y)\) , para ello calculemos el recorrido.
Si \(x \gt 2\) y \(u=f(x)\)
donde \(u\geq 0 \wedge \sqrt{u} \gt 2 \text{,}\) por lo tanto \(u \gt 4\text{.}\) Así tenemos que \(f(x) \gt 4\text{,}\)
Si \(x \leq 2\) y \(v = f(y)\)
donde \(v-2 \leq 2 \text{,}\) por lo tanto \(v\leq 4\text{,}\) con lo cual \(f(y)\leq 4 \text{.}\)
Es decir, \(4 \lt f(x)=f(y)\leq 4 \text{.}\) que es imposible, recuerde que \((F \Rightarrow F) \equiv V\text{,}\) luego en los tres caso la proposición es verdadera.
Con lo cual \(f\) es inyectiva.
Sea la función
Determine si \(f\) es inyectiva.
Sean \(x,y \in\mathbb{R} \) tales que \(f(x)=f(y)\) .
Primer caso: \(x,y \in ]1,\infty[ \)
Segundo caso: \(x,y \in ]-\infty,1] \)
Tercero caso: \(x \in ]1,\infty[ , y \in ]-\infty,1] \text{,}\) para este caso, veremos si es posible que \(f(x)=f(y)\) , para ello calculemos el recorrido.
Si \(x \gt 1\) y \(u=f(x)\)
donde \(u\geq 0 \wedge u^2+1 \gt 1\text{,}\) por lo tanto \(u \gt 0\text{.}\)
Así tenemos que \(Rec(f_1)= ]0,\infty [\text{.}\)
Si \(x\leq 1\) y \(v=f(y)\)
donde \(\sqrt[3]{v}\leq 1\text{,}\) por lo tanto \(v\leq 1\text{,}\) con lo cual \(Rec(f_2)= ]-\infty,1] \text{.}\)
Es decir, hay elementos en común en los recorridos, por ejemplo \(u=v=\frac{1}{2} \text{.}\) Así tenemos que \(x= \frac{5}{4}, y=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\) , tiene igual imagen. Con lo cual \(f\) no es inyectiva.
Dada la función \(g\) definida por
Determinar si \(g\) es inyectiva y en caso de que no lo sea redefinir la función para que sea inyectiva.
Sean \(a,b\in\mathbb{R} \) tal que \(g(a)=g(b)\) entonces tenemos que
Si \(a=1, b=5\text{,}\) tenemos que \(f(1)=f(5)= \frac{1}{6} \text{.}\)
Por lo tanto \(g\) no es inyectiva.
Luego para redefinir el dominio de \(g\) de modo que sea inyectiva, se debe verificar que se cumpla que:
Pero \(-\sqrt{5} \) y \(\sqrt{5} \) pertenecen al dominio de inyectividad.
Así algunas posibles redefinición de la función
Una función \(f:A \longrightarrow B\text{,}\) se dice epiyectiva o sobreyectiva si y sólo si \(Rec(f)=B\text{.}\)
Una función \(f:A \longrightarrow B\text{,}\) se dice biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.
Sean \(f:A \longrightarrow B\) y \(g:B\longrightarrow C\) dos funciones, entonces
\(f\) y \(g\) son inyectivas implica que \(g\circ f\) es inyectiva.
\(f\) y \(g\) son sobreyectivas implica que \(g\circ f\) es sobreyectiva.
i. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones inyectivas y \(x_1,x_2 \in Dom(g\circ f)= A\) tales que
ya que \(f\) y \(g\) son inyectivas.
ii. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones epiyectivas luego el \(Recf=B\) y \(Recg=C\)
Sea \(x\in C\text{,}\) como \(g\) es sobreyectiva \(\exists y\in B\) tal que \(g(y)=x\text{,}\) además \(f\) es sobreyectiva, luego \(\exists z\in A\) tal que \(f(z)=y.\) Entonces
Por lo tanto \(Rec(g\circ f) = C\text{,}\) es decir, \(g\circ f\) es sobreyectiva.
Sea \(\begin{array}[t]{rl} f : \mathbb{R}-\{0\} \amp \longrightarrow\mathbb{R}-\{1\}\\ x \amp \longmapsto \frac{x-1}{x}\\ \end{array} \)
a) Determinar si \(f\) es inyectiva.
b) Determinar si \(f\) es sobreyectiva.
Verificaremos que \(f\) sea inyectiva
Sean \(a,b\in Domf\) tal que
Por lo tanto \(f\) es inyectiva.
Verificar si \(f\) sobreyectiva. Esto sucede si y sólo si
Sea \(y\in Recf\text{,}\) luego existe \(x\in Domf\) tal que
Así tenemos que
Por lo tanto \(f\) es sobreyectiva.
Sea \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) una función definida por
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Verificar si \(f\) es inyectiva.
Si \(x,y \gt 0\) se tiene que
Si \(x,y \leq 0\)
Si \(x \gt 0,y\leq 0\) y \(f(x)=f(y)\) , se tiene que \(-x=y^2\) lo cual es una contradicción, pues \(-x \lt 0,y^2\geq 0\) luego no puede ser que \(f(x)=f(y)\text{,}\) es decir, que si \((F \Rightarrow F)\equiv V.\)
Por lo tanto, \(f\) es inyectiva.
Verificar si \(f\) es sobreyectiva.
Lo veremos en dos etapas:
a) Si \(x \gt 0\text{,}\) se tiene que \(f(x)=y=-x\text{,}\) luego \(x=-y\in\mathbb{R} \) y como \(x \gt 0\) entonces \(-y \gt 0\text{,}\) luego \(y \lt 0\text{,}\) \(Recf_1= ]\infty,0[\text{.}\)
b) Si \(x\leq 0\text{,}\) se tiene que \(f(x)=y=x^2 \in\mathbb{R} \) y \(|x|=\sqrt{y}\in\mathbb{R}\text{ }\ \forall y\geq 0\) y como \(x\leq 0\) entonces \(x=-\sqrt{y}\leq 0\text{,}\) así la única condición para \(y\) es que \(y\geq 0\text{,}\) \(Recf_2= [0, \infty[\text{.}\)
Luego
Por lo tanto \(f\) es sobreyectiva.
En consecuencia, \(f\) es biyectiva.
Sea \(f:A \longrightarrow B\) una función, diremos que \(f\) es invertible si y sólo si existe una función \(g:B\longrightarrow A\) tal que
La función \(g\) se llama función inversa de \(f\) y se denota por \(f^{-1} \text{.}\)
Sean \(f:A \longrightarrow B\) y \(g:B \longrightarrow C\) funciones invertibles entonces
i) \(g\circ f\) es una función invertible y además se tiene
ii) \(f^{-1} \) es una función invertible y además se tiene
Verifiquemos la primera compuesta
La otra compuesta
Luego \((g\circ f)^{-1}=Id\quad f^{-1}\circ g^{-1}=Id\)
Como \(f\circ(f^{-1})=Id\) y \((f^{-1}) \circ f=Id\text{,}\) entonces \(f^{-1} \) es invertible y además
Luego
Sea \(f:A \longrightarrow B\) una función entonces
Si \(f\) es biyectiva la inversa está definida por
donde \(f^{-1}(y)=x\) es el único elemento en \(A\text{,}\) tal que \(y=f(x)\) .
\(\Rightarrow)\) Supongamos que \(f^{-1} \) existe, entonces se cumple que \(Dom(f^{-1})=B\) y para todo elemento en su dominio se tiene que, si \(x = y\text{,}\) entonces \(f^{-1}(x)=f^{-1}(y)\text{.}\)
Ahora el \(Dom(f^{-1})=B\) si y sólo si el recorrido de \(f\) es igual a \(B\text{,}\) es decir, \(f\) es sobreyectiva.
Demostraremos que \(f\) es inyectiva y para esto se debe cumplir que
Sean \(a,b \in A\) tal que \(f(a)=f(b)\) por la primera hipótesis \(f^{-1} \) es función. Luego
Por lo tanto \(f\) es inyectiva.
Dado \(x \in A\text{,}\) luego \(f(x) \in B\) y por lo tanto \(x= f^{-1}(f(x))\text{,}\) con ello \(f^{-1} \) es biyectiva.
\(\Leftarrow\) Supongamos que \(f\) es biyectiva y \(f^{-1}=\{(x,y)\in B \times A\mid (y,x)\in f\}\) la relación inversa, por ser \(f\) epiyectiva tenemos que \(Dom(f^{-1})=B\text{,}\) entonces debemos demostrar que si \((x,w)\in f^{-1} \) y \((x,t)\in f^{-1} \) entonces \(w=t.\)
Como \((x,w)\in f^{-1} \) y \((x,t)\in f^{-1} \) entonces \((w,x)\in f\) y \((t,x)\in f.\) Es decir,
pero \(f\) es inyectiva se tiene que
Observación: Sea \(f:[a,b]\longrightarrow[c,d] \) una función invertible y \(f^{-1}:[c,d]\longrightarrow [a,b] \) su función inversa, entonces las gráficas \(y=f(x)\) e \(y=f^{-1}(x)\) son curvas simétricas con respecto a la diagonal \(y=x.\)
Sea
Determine el dominio máximo de \(f\) y el recorrido de modo que sea biyectiva y luego determine \(f^{-1}.\)
La función tiene como dominio el intervalo \([1,\infty[\) pues
Su recorrido queda determinado por
Entonces el recorrido de \(f\) es el intervalo \([0,\infty[.\)
Ahora debemos verificar si \(f\) es inyectiva, para esto se debe cumplir que
Sean \(a,b\in Domf\) tal que \(f(a)=f(b)\) luego
Por lo tanto \(f\) es inyectiva.
Si \(B = [0,\infty[\text{,}\) entonces \(f\) es sobreyectiva.
De este modo tenemos que
es biyectiva y la inversa de \(f\) y queda determinada por
Sea
Determine \(A\text{,}\) \(B\) maximales tales exista \(f^{-1} \) y en cuyo caso determine
El dominio de \(f\) es el intervalo \(]-\infty,1[\) pues
El recorrido de \(f\) es
Veremos si \(f\) es inyectiva.
El recorrido ya está calculado y es \(Recf=]0,+\infty[\text{,}\) luego \(f\) es sobreyectiva.
En consecuencia
es biyectiva. Entonces existe la inversa de \(f\) y esta dada por:
Sea la función
Determine la inversa de \(f\text{.}\)
Por ejemplo Ejemplo 3.6.5 tenemos demostrado que \(f\) es biyectiva.
Existe ciertas características que cumple algunas funciones, las cuales las evidenciaremos en esta sección, todas ellas nos permiten graficar y deducir información de ellas.
Sea \(f:A \longrightarrow B\) una función real.
Se dice que:
\(f\) es creciente en \(A\) si sólo si
\(f\) es decreciente en \(A\) si sólo si
\(f\) es estrictamente creciente en \(A\) si sólo si
\(f\) es estrictamente decreciente en \(A\) si sólo si
La función \(f(x)=\sqrt[n]{x} \) con \(n\in \mathbb{N} \) es estrictamente creciente, pues
La función \(f(x)=mx+b\) es estrictamente decreciente si \(m \lt 0\text{.}\)
Sean \(u,v\in\mathbb{R} \) entonces se tiene que:
Análogamente si \(m \gt 0\) entonces \(f\) es creciente.
Si \(f\) es una función estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente, entonces \(f\) es inyectiva.
Supongamos que \(f\) es una función estrictamente creciente, es decir:
y supongamos que \(f\) no es inyectiva, por lo tanto existirán \(a,b\in Dom(f)\) tales que
donde
La demostración es análoga si \(f\) es estrictamente decreciente.
La función \(f(x)=x^2\) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}^+\) y la función \(-x^2\) es estrictamente decreciente en \(\mathbb{R}^+\)
Si \(f\) y \(g\) son funciones estrictamente crecientes tales que \(Rec(f)\subset Dom(g)\) entonces \(g\circ f\) es una función estrictamente creciente definida en \(Dom(f).\)
Por definición anterior sabemos que si \(Rec(f)\subseteq Dom(g)\) entonces \(Dom(g\circ f)=Dom(f)\text{.}\)
Luego, sean \(x,y \in Dom(g\circ f)\) tales que \(x \lt y\) entonces como \(f\) es estrictamente creciente se tiene que
y como \(g\) también es estrictamente creciente se tiene
luego
Sea \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) una función y \(p \gt 0\) diremos que \(f\) es una función periódica de período \(p\text{,}\) si y sólo si \(p\) es el menor número positivo que cumple
Observación: Con ésta propiedad tenemos que:
luego, la funciones periódicas no son biyectiva
Una función \(f:A \longrightarrow \mathbb{R} \) se dice monótona si sólo si es creciente o decreciente en el dominio de \(f\)
Sean \(A,B\) dos subconjuntos de \(\mathbb{R} \) tales que \((\forall x \in A)(-x\in A)\) y \(f:A \longrightarrow\ B\) una función. Se dice que
\(f\) es par si y sólo si \((\forall x\in A)(f(-x)=f(x)) \)
\(f\) es impar si y sólo si \(( \forall x\in A)(f(-x)=-f(x))\)
Dada la función real \(f:\mathbb{R} \longrightarrow\ \mathbb{R} \text{,}\) definida por \(f(x)=4x^4-3x^2+8\text{.}\) Demostrar que \(f\) es una función par.
Sea \(x \in \mathbb{R} \) tal que
Luego \(f\) es una función par.
Dada la función real \(f:\mathbb{R} \longrightarrow\ \mathbb{R} \text{,}\) definida por \(f(x)=3x^5-4x^3+2x\text{.}\) Demostrar que \(f\) es una función impar.
Sea \(x\in \mathbb{R} \) tal que
Luego \(f\) es una función impar.
Para cada una de las siguientes funciones.
a. Determine el dominio y el recorrido
b. Determine si son inyectivas y sobreyectivas. Si no lo son, redefinirlas, de modo que sean funciones biyectivas.
Demuestre que
es una función inyectiva
Sea
Determine si \(f\) es biyectiva.
Sea
¿Es \(f\) inyectiva?. Justifique.
Encuentre \(f^{-1}(x)\text{.}\)
Grafique \(y=f^{-1}(x)\)
Sea \(f(x)=\frac{5x+3}{x-4} \)
Determine si \(f\) es una función biyectiva. Justifique.
Si es biyectiva, calcule \(f^{-1}(x)\text{.}\)
Sea \(f(x)=x^2+x+3\text{.}\) Determine el dominio y recorrido de manera que \(f\) sea una función biyectiva y calcule \(f^{-1}(x)\text{.}\)
Sea
Determine un conjunto \(B\subset\mathbb{R} \) tal que \(f\) sea biyectiva.
Sean
\(\begin{array}[t]{rl} f : \mathbb{R} \amp \longrightarrow \mathbb{R}\\ x \amp \longmapsto x^2+3x \\ \end{array} \) y \(\begin{array}[t]{rl} g : \mathbb{R} \amp \longrightarrow \mathbb{R}\\ x \amp \longmapsto 3x+1 \\ \end{array} \)
Demuestre que \(g\) es biyectiva.
Encuentre una función \(h\) indicando su dominio tal que \(g\circ h=f\text{.}\)
¿Es \(f\) biyectiva? Si no lo es restringir \(f\) de modo que sea biyectiva y encontrar \(f^{-1} \text{.}\)
