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Sección 3.4 Tipos de Funciones

Sean \(A\) y \(B\) subconjuntos de \(\mathbb{R}\) y \(f :A\longrightarrow B\) una función real.

Una clasificación de las funciones reales es la siguiente:

Funciones Lineales

Son funciones de la forma \(\begin{array}[t]{ccccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R},\\ \amp x \amp \longmapsto \amp mx+b \end{array}\) con \(m,b\in\mathbb{R}\text{.}\)

La gráfica de las funciones lineales, corresponde a una recta de pendiente \(m.\)

Si \(m \gt 0\) y \(b\neq 0\) su gráfica tiene la siguiente forma:

Si \(m \lt 0\) y \(b\neq 0\text{,}\) se gráfica es del siguiente tipo:

Si \(m=1\) y \(b=0\text{,}\) entonces llamaremos a esta función Identidad y se define como:

\begin{equation*} \begin{array}{cccl} Id: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp Id(x)=x \end{array} \end{equation*}

Su gráfica :

Si \(m=0\) y \(b\neq 0\text{,}\)entonces la función se llama función constante \(b\) y se denota por

\begin{equation*} \begin{array}{cccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp b \end{array} \end{equation*}

Gráficamente de pendiente cero:

Funciones Cuadráticas:

Son funciones del tipo \(\begin{array}[t]{cccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R},\\ \amp x \amp \longmapsto \amp ax^2+bx+c \end{array}\) con \(a,b,c\in\mathbb{R}\) y \(a\not =0\text{.}\)

La gráfica de la función cuadrática \(y=ax^2+bx+c\text{,}\) corresponde a una parábola.

Para conocer la gráfica de una parábola es útil calcular su vértice

\begin{equation*} V=\left (\frac{-b}{2a},\frac{-\triangle}{4a}\right) \end{equation*}

donde \(\triangle=b^2-4ac\text{,}\) es el discriminante de la ecuación, de segundo grado o polinomio de segundo grado y las intersecciones con el eje \(X\text{,}\) cuya existencia depende del valor del discriminante si es negativo o no es. El nombre de \(\Delta\) se debe a que discrimina si la función cuadrática tiene intercepto en eje \(X \) o no hay, de otro modo, si la ecuación tiene o no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Cuando \(a \gt 0\) su gráfica corresponde a una parábola que se abre hacia arriba.

Cuando \(a \lt 0\) su gráfica corresponde a una parábola que se abre hacia abajo.

Función Valor Absoluto:

Esta esta dada por:

\begin{equation*} \begin{array}{cccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp |x|=\left \{ \begin{array}{rcc} x \amp si \amp x\geq 0\\ -x \amp si \amp x \lt 0 \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}

La gráfica de la función es la siguiente:

Función Raíz Cuadrada:

Esta función esta dada por:

\begin{equation*} \begin{array}[t]{cccll} f: \amp \mathbb{R}_0^+ \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}_0^+ \\ \amp x \amp \longmapsto \amp \sqrt{x} \end{array} \end{equation*}

La gráfica de la función es la siguiente:

Función Cúbica:

Esta función esta dada por:

\begin{equation*} \begin{array}{cccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp x^3 \end{array} \end{equation*}

Gráficamente:

Función Parte Entera:

Dado un número real \(x\text{,}\) se puede descomponer en una suma separando su parte entera

\begin{equation*} [x]=\max \{ m \in \mathbb{Z} \ \ | \ \ m\leq x \} \end{equation*}

luego la parte decimal se define

\begin{equation*} d(x)=x-[x] \end{equation*}

o bien

\begin{equation*} x=[x]+d(x) \end{equation*}

donde \([x]\) es un número entero y \(d(x)\) un número decimal, \(0\leq d(x) \lt 1.\)

Luego la función parte entera se define como:

\begin{equation*} \begin{array}{cccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp [x] \end{array} \end{equation*}

Su gráfica:

Ejercicios Propuestos Sea \(f:A\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}.\) Determine el conjunto \(A\) igual al dominio máximo de \(f\) y el recorrido para ese dominio.

  1. \(f(x)=\frac{x-2}{x-3} \)
  2. \(f(x)=\sqrt{1-x^2} \)
  3. \(f(x)=x^2+x-1\)
  4. \(f(x)=\frac{x+1}{x^2+x+1} \)
  5. \(f(x)=\sqrt{\frac{x}{|x|-1}}\)
  6. \(f(x)=\frac{\sqrt{1-|x|}}{{1+x^2}}\)