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Sección 2.3 Ecuación de la Recta

La geometría euclidiana nos enseña que dados dos puntos distintos, existe una única recta que contiene a los puntos.

De este modo se tiene que una recta es el conjunto todos los puntos colineales a dos puntos dados.

Sean \(P_{1},P_{2} \in \mathbb{R}^{2}\text{,}\) luego la recta que pasa por los \(P_{1}=(x_{1},y_{1}) , P_{2}=(x_{2}, y_{2})\) es

\begin{equation*} L_{P_1 P_2}= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ \ (x_{2} - x_{1})(y - y_{2}) = (y_{2} - y_{1})(x - x_{2}) \} \end{equation*}

Llamaremos línea recta o simplemente recta a la figura geométrica que resulta al graficar los puntos de este conjunto en el plano cartesiano \(\mathbb{R}^{2}\text{.}\)

Observación: Para una mayor comodidad de escritura, al conjunto que forma una recta

\begin{equation*} L_{P_1 P_2}= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ \ (x_{2} - x_{1})(y - y_{2}) = (y_{2} - y_{1})(x - x_{2}) \} \end{equation*}

lo denotaremos por su ecuación, es decir,

\begin{equation*} L_{P_1 P_2} : \ (x_{2} - x_{1})(y - y_{2}) = (y_{2} - y_{1})(x - x_{2}) \end{equation*}

Hallar las ecuaciones de la recta \(l\) que pasan por los puntos \((5,-9) \ y \ (1,3)\text{.}\)

Solución

Sabemos que \((5,-9) \ y \ (1,6) \in l\text{,}\) donde \((5,-9) = (x_{1} , y_{1})\) y \((1,6) = (x_{2} , y_{2})\) tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} l \amp =\amp \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ \ (x_{2} - x_{1})(y - y_{2}) = (y_{2} - y_{1})(x - x_{2}) \} \\ l \amp =\amp \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ \ (1 - 5)(y - 6) = (6 - (-9))(x - 1 \} \\ l \amp =\amp \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ \ -4(y - 6) = 15(x - 1) \} \\ l \amp =\amp \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ \ -4y + 24 = 15x -15 \} \\ l \amp =\amp \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ \ 15x + 4y -39 = 0 \}. \end{array} \end{equation*}

Subsección 2.3.1 Ecuaciones de la Rectas

Definición 2.3.2

Sean \(P_{1}=(x_{1},y_{1}) , P_{2}=(x_{2}, y_{2}) \in l\) puntos distintos, se define la pendiente de la recta \(l\) en los siguientes casos

  1. Si \(x_{2}=x_{1}\text{,}\) diremos que la pendiente es infinita, y escribiremos \(m = \infty\) entonces la recta \(l\) es

    \begin{equation*} l=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ : \ \ x = x_1 \} \ \ \ \text{o} \ \ \ l:x = x_1 \end{equation*}

  2. Si \(x_{2} \neq x_{1}\text{,}\) se define la pendiente

    \begin{equation*} m= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \end{equation*}

    entonces la recta \(l\) es

    \begin{equation*} l=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ : \ \ y =mx+b \} \ \ \ \text{o} \ \ \ l:y = mx+b \end{equation*}

    con

    \begin{equation*} b= \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_{2}-x_{1}} \end{equation*}

Observación: Un caso particular es cuando la pendiente de \(l\) toma el valor \(0\text{,}\) es decir \(m = 0\) entonces la ecuación de la recta \(l\) es

\begin{equation*} l = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ : \ \ y = b \} \ \ \ \text{o} \ \ \ l:y = b \end{equation*}

Dependiendo del valor de la pendiente se puede se pueden distinguir dos tipos de inclinación al graficar una recta, es decir, cuando la pendiente es positiva tenemos que es creciente y cuando es negativa es decreciente

\begin{equation*} m \gt 0 \ \ \text{o} \ \ m \lt 0 \end{equation*}

este comportamiento lo observaremos mediante dos ejemplos, la recta graficada de color rojo \(y=3x+5\) es creciente y la recta graficada de color azul \(y=-2x+4\) es decreciente

En los otros casos, la gráfica de las rectas cuando \(m = \infty \) son gráficas verticales del forma que tiene la de color rojo y cuando \(m = 0\) son gráficas horizontales corresponde a la forma de color azul, dada en la siguiente figura

Sean \(A=(6,11)\) y \(B=(13,4) \in \mathbb{R}^{2}\) dos puntos que pertenece a la recta \(l\text{.}\) Calcule la pendiente de la recta \(l\text{.}\)

Solución 1

Sean \(A=(x_{1},y_{1})=(6,11)\) y \(B=(x_{2},y_{2})=(13,4)\text{,}\) reemplazando en la formula de la pendiente tenemos:

\begin{equation*} m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{4 - 11}{13 - 6} = \frac{-7}{7} = -1. \end{equation*}

Por lo tanto, la pendiente de la recta \(l\) es \(-1\text{.}\)

Calcule las pendientes de las rectas que pasan por el punto medio del segmento \(\overline{AB}\) con \(A=(5,7)\text{,}\) \(B = (12,3)\) y que pasan por un punto que es colineales a los puntos de \(C=(16,14)\) y \(D =(8,10)\text{.}\)

Solución 2

Sea \(A=(5,7)\) y \(B=(12,3)\text{,}\) luego el punto medio de \(\overline{AB}\) esta dado por:

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} Q = \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2} , \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \right) = \left( \frac{5+12}{2} , \frac{7+3}{2} \right) = \left( \frac{17}{2} , \frac{10}{2} \right) = \left( \frac{17}{2} , 5 \right) \end{array} \end{equation*}

Consideremos los puntos colineales a \(C=(16,14)\) y \(D=(8,10)\) que denotaremos como \(P=(a,b)\text{.}\) Reemplazando tenemos que

\begin{equation*} \begin{array}{ccc} (x_{2} - x_{1})(y_{3} - y_{1}) \amp =\amp (y_{2} - y_{1})(x_{3} - x_{2}) \\ (a-16)(10-b) \amp =\amp (b-14)(8-a) \\ 10a - ab -160 +16b \amp =\amp 8b - ab -112 + 14a \\ 4a - 8b \amp =\amp -48 \\ a \amp =\amp \frac{8b - 48}{4} \\ a \amp =\amp 2b - 12 \\ \end{array} \end{equation*}

Reemplazando \(a=2b-12\) en el punto \(P=(a,b)\text{,}\) tenemos que \(P = (2b-12 , b)\)

Luego si \(Q = \left( \frac{17}{2} , 5 \right) = (x_{1} , y_{1}) \) y \(P = (2b-12 , b) = (x_{2} , y_{2}) \) su pendiente es

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} m \amp =\amp \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}\\ \amp =\amp \frac{b-5}{2b-12 - \frac{17}{2}};\quad b\neq \frac{41}{4} \\ \amp =\amp \frac{2b- 10}{4b - 41} \end{array} \end{equation*}

Por lo tanto todas las rectas que pasan por el punto medio del segmento \(\overline{AB}\) y por los posibles puntos colineales de \(C \ y \ D\) tienen como pendiente

\begin{equation*} m = \frac{2b- 10}{4b - 41} \text{ o } m=\infty \end{equation*}

El problema esta representado por la siguiente figura,

Donde \(Q = (\frac{17}{2},5)\) es el punto medio del segmento \(\overline{AB}\) y \(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5},P_{6}, P_{7},P_{8},P_{9} \) son algunos puntos colineales a \(C \text{ y } D\)

Finalmente sus ecuaciones están dadas por:

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} l_{b}: (y-5)= \frac{2b- 10}{4b - 41}(x- \frac{17}{2}) \quad \text{o bien } x= \frac{17}{2}. \end{array} \end{equation*}

donde \(P_{b}=(2b-12,b)\) punto colineal de \(\overline{CD}\text{,}\) con \(b\in \mathbb{R}\text{.}\)

A continuación daremos algunas indicaciones para determinar la ecuación de la recta, dependiendo de los datos proporcionados por el problema.

Primer Caso: Se conoce un punto de la recta y su pendiente.

La ecuación de la recta \(l\) queda totalmente determinada con un punto \(P_1=(x_1,y_1)\) y su pendiente \(m\text{.}\)

a) Si la pendiente \(m=\infty \) entonces la recta es:

\begin{equation*} l: x=x_1 \end{equation*}

b) Si la pendiente \(m \in \mathbb{R}\text{,}\) luego sea \(P=(x,y) \in l\text{,}\) otro punto de la recta, así tenemos que

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} m \amp =\amp \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}\\ m(x - x_{1}) \amp =\amp y - y_{1} \\ \end{array} \end{equation*}

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto \(A=(11,3)\) y su pendiente es \(m = 13\text{.}\)

Solución 3

Como la recta pasa por el punto \(A=(x_{1},y_{1}) =(11,3)\) y su pendiente es \(m=13\text{,}\) reemplazando en la ecuación de la propiedad anterior, se tiene

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} y - y_{1} \amp =\amp m(x - x_{1}) \\ y - 3 \amp =\amp 13 (x - 11). \end{array} \end{equation*}

Por lo tanto la ecuación de la recta esta dada por

\begin{equation*} y=13x-140 \end{equation*}

Segundo Caso: Se conocen dos puntos de la recta.

Sabemos que la ecuación de la recta \(l\) queda totalmente determinada por dos puntos.

Sean \(P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2}) \in \mathbb{R}^{2}\text{,}\) puntos en la recta

a) Si \(x_{1} \neq x_{2}\text{,}\) reemplazando en la definición de pendiente obtenemos

\begin{equation*} m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \end{equation*}

para luego reemplazar en el caso anterior, y obtener

\begin{equation*} l: y - y_{1} = m(x - x_{1}) \end{equation*}

Si \(x_{1} = x_{2}\) entonces la ecuación es

\begin{equation*} l: x=x_{1}. \end{equation*}

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto \((1,9)\) y por el punto \((5,7)\text{.}\)

Solución 4

Ya que la recta pasa por los puntos \(A=(x_{1},y_{1})=(1,9)\) y \(B=(x_{2},y_{2})=(5,7)\text{.}\)

Reemplazando \(A\) y \(B\) en la definición de pendiente tenemos

\begin{equation*} m=\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}=\frac{7 - 9}{5 - 1}=-\frac{1}{2}. \end{equation*}

Y la pendiente en ecuación obtenida anteriormente tenemos lo siguiente

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} y - y_{1} \amp =\amp m (x - x_{1}) \\ y - 9 \amp =\amp -\frac{1}{2} (x - 1) \\ y \amp =\amp -\frac{1}{2} x +\frac{19}{2} \end{array} \end{equation*}

Observación: Tenga presente que, la ecuación de la recta no varía, al considerar en diferente orden los puntos.

La recta \(l\) interseca al eje \(Y\) en el punto \((0,6)\) y pasa por el punto \((5,8)\text{.}\) Encuentre la ecuación de la recta \(l\text{.}\)

Solución 5

Consideremos los puntos \(A=(x_{1},y_{1})=(0,6)\) y el punto \(B=(x_{2},y_{2})=(5,8)\text{,}\) luego calculemos su pendiente.

\begin{equation*} m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{8 - 6}{5 - 0} = \frac{2}{5}. \end{equation*}

Luego reemplazando en la ecuación tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 6 = \frac{2}{5} (x - 0) \end{array} \end{equation*}

Despejando \(y\) obtenemos la ecuación pedida.

\begin{equation*} y = \frac{2}{5} x + 6 . \end{equation*}

Observación: La ecuación de la recta se puede escribir de varias maneras y de acuerdo a esta escritura es que recibe distintos nombres

Definición 2.3.10

Sean \(A,B,C,a,b,m \in \mathbb{R}\) y \(l\) una recta, entonces

  1. Se dice que la recta

    \begin{equation*} \label{a_8} l: Ax + By + C = 0. \end{equation*}

    esta definida por la ecuación general o que \(Ax + By + C = 0\) es la ecuación general de la recta.

  2. Se dice que la recta

    \begin{equation*} l: \frac{x}{a}+ \frac{y}{b} = 1. \end{equation*}

    esta definida por la ecuación simétrica o que \(\frac{x}{a}+ \frac{y}{b} = 1 \) es la ecuación simétrica de la recta.

  3. Se dice que la recta esta definida por la ecuación pendiente-ordenada o reducida cuando la ecuación tiene la siguiente forma

    \begin{equation*} l:y = mx + b. \end{equation*}

Considere la ecuación de la recta

\begin{equation*} l: y-7 = \frac{10}{3} \left( x-4 \right). \end{equation*}

Encuentre la ecuación general, ecuación simétrica y la pendiente-ordenada.

Solución 6

Sea \(y-7 = \frac{10}{3}(x-4)\)

  1. Consideremos la ecuación de la recta

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} y-7 \amp =\amp \frac{10}{3} \ (x-4) \\ y-7 \amp =\amp \frac{10}{3} \ x - \frac{40}{3} \ \ / \cdot 3 \\ 3y - 21 \amp =\amp 10x - 40 \\ 10x -3y - 19 \amp =\amp 0 \end{array} \end{equation*}

    Por lo tanto la ecuación general de la recta es:

    \begin{equation*} 10x -3y - 19 = 0 \end{equation*}

  2. Tomemos la ecuación general \(10x -3y - 19 = 0 \)

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} 10x -3y - 19 \amp =\amp 0 \\ 10x -3y \amp =\amp 19 \ \ / \cdot \frac{1}{19} \\ \frac{10}{19}x - \frac{3}{19}y \amp =\amp 1 \\ \frac{x}{\frac{19}{10}}- \frac{y}{\frac{19}{3}} \amp =\amp 1 \end{array} \end{equation*}

    Por lo tanto la ecuación simétrica de la recta es:

    \begin{equation*} \frac{x}{\frac{19}{10}} + \frac{y}{-\frac{19}{3}} = 1 \end{equation*}

  3. Consideremos la ecuación general \(10x -3y - 19 = 0\)

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} 10x -3y - 19 \amp =\amp 0 \\ 3y \amp =\amp 10x -19 \ \ / \cdot \frac{1}{3} \\ y \amp =\amp \frac{10}{3} \ x - \frac{19}{3} \end{array} \end{equation*}

    Por lo tanto la ecuación pendiente-punto es:

    \begin{equation*} y = \frac{10}{3} \ x - \frac{19}{3} \end{equation*}

Si \(l_1\) es una recta que pasa por los puntos \((7,11) ,(3,4) \) y \(l_2\) es una recta de pendiente \(13\) y pasa por \((8,5)\text{.}\)

Hallar la intersección de las rectas \(l_{1}\) y \(l_{2}\text{.}\)

Solución 7

Sabemos que \((7,11), (3,4) \in l_{1}\) , luego tenemos que

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} y - y_{1} \amp =\amp \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_{1}) \\ y - 11 \amp =\amp \frac{4 - 11}{3 - 7}(x - 7) \\ y - \frac{7}{4}x \amp =\amp 11 - \frac{49}{4} \\ y - \frac{7}{4}x \amp =\amp - \frac{5}{4} \hspace{0.5cm} / \cdot 4 \\ 4y - 7x + 5 \amp =\amp 0 \end{array} \end{equation*}

Así tenemos la ecuación de la recta \(l_{1} : 4y - 7x + 5 = 0\text{.}\)

Para \(l_2\) tenemos que pasa por \((8,5) = (x_{1} , y_{1}) \in l_{2}\) y su pendiente es \(13\text{.}\) luego la ecuación es

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} y - y_{1} \amp =\amp m (x - x_{1}) \\ y - 5 \amp =\amp 13 (x - 8) \\ y - 5 \amp =\amp 13x - 104 \\ y - 13x +99 \amp =\amp 0 \end{array} \end{equation*}

Sea \(P\) es el punto de intersección de \(l_{1}\) y \(l_{2}\text{,}\) es decir, \(l_{1} \cap l_{2} = \{P\}\text{,}\) luego satisface las ecuaciones anteriores, por lo tanto tenemos que

\begin{equation*} \begin{array}{lcc|} 4y - 7x + 5 \amp =\amp 0 \\ y - 13x + 99 \amp =\amp 0 \\ \hline \end{array} \end{equation*}

despejando \(y\) de la segunda ecuación obtenemos

\begin{equation*} y = 13x - 99 \end{equation*}

y reemplazando en la primera tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} 4 \cdot (13x - 99) - 7x + 5 \amp =\amp 0 \\ 52x - 396 -7x +5 \amp =\amp 0 \\ 45x \amp =\amp 391 \\ x \amp =\amp \frac{391}{45} \end{array} \end{equation*}

Reemplazamos \(x=\frac{391}{45}\) en \(y = 13x - 99\) entonces

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} y \amp =\amp 13 \cdot \left(\frac{391}{45}\right) - 99 = \frac{5083}{45} - 99 = \frac{628}{45} \end{array} \end{equation*}

Luego el punto intersección es \(P=(\frac{391}{45},\frac{628}{45})\text{.}\)

Subsección 2.3.2 Rectas Paralelas o Perpendiculares

El esta sección se tratara el temas de rectas paralelas o perpendiculares y las condiciones que deben satisfacer los coeficiente que define las rectas para que ellas cumplas una de estas condiciones.

La noción de cuando dos rectas son paralelas cuando no tiene punto en común o son iguales, y la de recta son perpendiculares cuando el punto intercepto de ella forme cuatro regiones iguales

Gráficamente tenemos que si \(l_{1} , l_{2}\) son rectas de la forma

\begin{equation*} \begin{array}{cccccccccccc} l_{1} \amp :\amp y \amp =\amp m_{1} x + b_1 \amp \amp l_{1} \amp :\amp A_{1}x + B_{1}y + C_{1} \amp =\amp 0 \\ \amp \amp \amp \amp \amp o\amp \amp \amp \amp \amp \\ l_{2} \amp :\amp y \amp =\amp m_{2} x + b_2 \amp \amp l_{2} \amp :\amp A_{2} x + B_{2} y + C_{2} \amp =\amp 0 \\ \end{array} \end{equation*}

entonces representamos gráficamente el paralelismo y perpendicularidad de la siguiente forma

Subsección 2.3.3 Rectas Paralelas

Definición 2.3.13

Diremos que dos rectas \(l_{1},l_{2}\) son paralelas o \(l_{1} // l_{2}\) si estas no se intersecan en ningún punto o bien son iguales.

Dadas dos rectas distintas, los sistemas de ecuaciones

\begin{equation*} \begin{array}{lcc|} y \amp =\amp m_{1} x + b_1 \\ y \amp =\amp m_{2} x + b_2 \\ \hline \end{array} \quad\text{ o bien }\quad \begin{array}{lcc|} A_{1}x + B_{1}y \amp =\amp - C_{1} \\ A_{2}x + B_{2}y \amp =\amp - C_{2} \\ \hline \end{array} \end{equation*}

no tiene solución si y solo si \(m_1 = m_2\) o bien \(A_{1}B_{2} = A_{2}B_{1}\)

Sean las rectas \(l_{1}: 3y + 4x -15 = 0\) y \(l_{2}: 9y + 12x + 21 = 0\text{,}\) verifique si \(l_{1} // l_{2}\text{.}\)

Solución

Como \(l_{1}: 3y + 4x -15 = 0\) y \(l_{2}: 9y + 12x + 21 = 0\) tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{llcll} l_{1}:\amp 3y + 4x -15 = 0 \amp \ \ \ \amp l_{2}:\amp 9y + 12x +21 = 0 \\ \amp 3y = -4x + 15 \amp \amp \amp 9y = -12x + 21 \\ \amp y = -\dfrac{4}{3} \ x + 5 \amp \amp \amp y = -\dfrac{4}{3} \ x + \dfrac{7}{3} \end{array} \end{equation*}

Luego

\begin{equation*} m_{1} = -\frac{4}{3} \ \ \ \text{y} \ \ \ m_{2}= -\frac{4}{3} \end{equation*}

Por lo tanto, las rectas \(l_{1}\) y \(l_{2}\) son rectas paralelas, es decir, \(l_{1} // l_{2}\)

Subsección 2.3.4 Rectas Perpendiculares

Definición 2.3.16

Diremos que dos rectas son perpendiculares si y sólo si se intersecan en un punto formando un ángulo de \(90^{\circ}\text{.}\)

Dadas las rectas \(l_1: y-a = m_1(x-b) \) y \(l_2: y-a = m_2(x-b) \) cuya intercepto es el punto \(R(a,b)\text{,}\) otros punto de cada recta son \(P(a+1,b+m_1)\in l_1\) y \(Q(a+1,b+m_2)\in l_2\text{,}\) luego deben formar un triángulo rectángulo, como en la figura.

Usando pitágoras tenemos que \((dist(P,R))^2 + (dist(R,Q))^2=(dist(P,Q))^2 \text{,}\) reemplazando los puntos se tiene

\begin{equation*} (dist(P,R))^2=1+m_1^2, \quad (dist(R,Q))^2= 1+m_2^2,\quad (dist(P,Q))^2= (m_1-m_2)^2 \end{equation*}

Y ahora reemplazando en la igualdad pitagórica obtenemos

\begin{equation*} (1+m_1^2)+(1+m_2^2)=(m_1-m_2)^2 \end{equation*}

al simplificando, se obtiene que \(2=-2m_1m_2\text{,}\) es decir, \(m_1m_2=-1\)

Sean las rectas \(l_{1}: 2y - 7x - 24 = 0\) y \(l_{2}: 28y + 8 x + 13 = 0\text{,}\) verifique si \(l_{1} \perp l_{2}\text{.}\)

Solución 1

Como \(l_{1}: 2y - 7x - 24 = 0\) y \(l_{2}: 28y + 8 x + 13 = 0\) tenemos

\begin{equation*} \begin{array}{llcll} l_{1} :\amp 2y - 7x - 24 = 0 \amp \ \ \amp l_{2} :\amp 28y + 8x + 13 = 0 \\ \amp 2y = 7x + 24 \amp \amp \amp 28y = -8x - 13 \\ \amp y = \dfrac{7}{2} \ x + 12 \amp \amp \amp y = -\dfrac{2}{7} \ x - \dfrac{13}{28} \end{array} \end{equation*}

Por otro lado

Luego

\begin{equation*} m_{1} = \frac{7}{2} \ \ \ \text{y} \ \ \ m_{2}= -\frac{2}{7} \end{equation*}

donde

\begin{equation*} m_{1} \cdot m_{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{-2}{7} = -1 \end{equation*}

Por lo tanto, se tiene que las rectas \(l_{1}\) y \(l_{2}\) son rectas perpendiculares, es decir, \(l_{1} \perp l_{2}\text{.}\)

Definición 2.3.19

Diremos que dos rectas son coincidentes si y sólo si las rectas son iguales.

Sean \(A=(2,5),B=(7,3)\) y \(l_{1}, l_{2} \subseteq \mathbb{R}^{2}\) rectas tales que \(A,B \in l_{2}\) y

\begin{equation*} l_{1}: kx+(k+3)y+5=0 . \end{equation*}

Encuentre el valor de \(k \in \mathbb{R}\) en cada caso de modo que:

  1. \(l_{1} \perp l_{2}\text{.}\)
  2. \(l_{1} // \ l_{2}\text{.}\)
Solución 2

Calculemos la pendiente de \(l_{2}\) con \(A=(x_{1},y_{1})=(2,5)\) y \(B=(x_{2},y_{2})=(7,3)\) entonces

\begin{equation*} m_{2} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{3-2}{7-5} = \frac{1}{2} \end{equation*}

Entonces tomando el punto \(A=(2,5)\) y la pendiente \(m_{2}= \frac{1}{2}\text{,}\) la ecuación de la recta \(l_{2}\) esta dada por:

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} y - 5 \amp =\amp \frac{1}{2}(x-2) \\ y-5 \amp =\amp \frac{x}{2} - 1 \\ y \amp =\amp \frac{x}{2} + 4 \end{array} \end{equation*}

Luego la pendiente de \(l_{1}\) la podemos obtener de la escritura de la recta:

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} kx + (k+3)y +5 = 0 \\ (k+3)y = -kx -5 \\ y = \frac{-k}{k+3}x - \frac{5}{k+3}; \end{array} \end{equation*}

Observación: El valor de \(k\) no puede ser igual a \(-3\) en cuyo caso la pendiente es infinito y no serían paralela ni perpendiculares.

Por lo tanto la pendiente de \(l_{1}\) es

\begin{equation*} m_{1}= \frac{-k}{k+3} \end{equation*}

  1. Para que \(l_{1} \perp l_{2}\) necesitamos que \(m_{1} \cdot m_{2} = -1\) luego tenemos:

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot \frac{-k}{k+3} \amp =\amp -1 \\ -k \amp =\amp -2(k+3) \ \ / \cdot (-1) \\ k \amp =\amp 2k +6 \\ k \amp =\amp -6. \end{array} \end{equation*}

    Reemplazando \(k\) en la ecuación obtenemos

    \begin{equation*} l_{1}: y=-\frac{6}{3}x+ \frac{5}{3} \ \ \text{y} \ \ l_{2}: y = \frac{1}{2}x+4 \end{equation*}

    son perpendiculares.

  2. Para que \(l_{1} // \ l_{2}\) necesitamos que \(m_{1} = m_{2}\)

    \begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{-k}{k+3} \amp =\amp \frac{1}{2} \\ -2k \amp =\amp k+3 \\ -3k \amp =\amp 3 \\ k \amp =\amp -1 \end{array} \end{equation*}

    Reemplazando el valor de \(k\) en la ecuación de la recta \(l_{1}\) tenemos que:

    \begin{equation*} l_{1}: y = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2} \ \ \text{y} \ \ l_{2}: y = \frac{1}{2}x+4 \end{equation*}

    son paralelas.

Subsección 2.3.5 Distancia de un Punto a una Recta

La distancia de un punto a una recta, es la distancia más corta del punto a cualquier de los puntos que pertenezcan a la recta. Note que este punto corresponde a un punto cuya recta es perpendicular a la recta original y pasa por el punto dado, ya que los otros puntos formarían los vértices de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene una longitud mayor que el lado correspondiente.

Sea \(l\) una recta de ecuación \(Ax + By =C\) y \(P = (x_{1},y_{1}) \in \mathbb{R}^{2}\text{.}\)

Sean \(l_{1}\) perpendicular a \(l\) y \(P \in l_{1}\text{,}\) luego tenemos que

\begin{equation*} l_1: B(x-x_1)-A(y-y_1)=0 \end{equation*}

Calculemos \(Q=(x,y)\) el punto de intersección de \(l\) con \(l_{1}\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl|} Ax + By \amp =\amp C \\ Bx - Ay \amp =\amp Bx_1 - Ay_1\\ \hline \end{array} \end{equation*}

Multiplicando la primera ecuación por \(A\text{,}\) la segunda por \(B\) y sumamos obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} A(Ax + By)+B(Bx-Ay) =AC+B(Bx_1 - Ay_1) \\ (A^2+B^2)x =AC+B^2x_1 - BAy_1 \\ x=\frac{AC+B^2x_1 - BAy_1} {A^2+B^2} \end{array} \end{equation*}

Análogamente obtenemos

\begin{equation*} y=\frac{BC+A^2y_1 - BAx_1} {A^2+B^2} \end{equation*}

Luego calculemos \(dist (P,Q)\) donde \(P = (x_{1} , y_{1})\) y \(Q = (x,y)\)

\begin{equation*} dist (Q,P) = \sqrt{(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2}} \end{equation*}

Calculemos primeros \((x-x_1)^2\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (x-x_1)^2 \amp = \amp \left( \frac{AC+B^2x_1 - BAy_1} {A^2+B^2}-x_1\right)^2 \\ \amp = \amp \left( \frac{AC+B^2x_1 - BAy_1-A^2x_1-B^2x_1} {A^2+B^2}\right)^2 \\ \amp = \amp \left( \frac{AC - BAy_1-A^2x_1} {A^2+B^2}\right)^2 \\ \amp = \amp A^2 \frac{(C - By_1-Ax_1)^2} {(A^2+B^2)^2} \end{array} \end{equation*}

Calculemos ahora \((y-y_1)^2\)

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (y-y_1)^2 \amp = \amp \left( \frac{BC+A^2y_1 - BAx_1} {A^2+B^2}-y_1\right)^2 \\ \amp = \amp \left( \frac{BC+A^2y_1 - BAx_1-A^2y_1-B^2y_1} {A^2+B^2}\right)^2 \\ \amp = \amp \left( \frac{BC - BAx_1-B^2y_1} {A^2+B^2}\right)^2 \\ \amp = \amp B^2 \frac{(C - By_1-Ax_1)^2} {(A^2+B^2)^2} \end{array} \end{equation*}

Reemplazando obtenemos

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} (dist (Q,P))^2 \amp = \amp (x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2}\\ \amp = \amp A^2 \frac{(C - By_1-Ax_1)^2} {(A^2+B^2)^2} +B^2 \frac{(C - By_1-Ax_1)^2} {(A^2+B^2)^2} \\ \amp = \amp (A^2 +B^2)\frac{(C - By_1-Ax_1)^2} {(A^2+B^2)^2} \\ \amp = \amp \frac{(C - By_1 - Ax_1)^2} {A^2+B^2} \end{array} \end{equation*}

De lo cual

\begin{equation*} dist (Q,P) = \sqrt{\frac{(C - By_1 - Ax_1)^2} {A^2+B^2}}= \sqrt{\frac{(Ax_1 + By_1 - C )^2} {A^2+B^2}} \end{equation*}

Dada la recta \(2x+3y+4=0\) y el punto \(P=(1,3)\text{.}\)

Determine la distancia entre \(P\) y \(l\text{.}\)

Solución 1

Dada la recta \(-4x+3y+4=0\) y el punto \(P=(1,3)\)

\begin{equation*} dist(P , l)= \frac{|-4\cdot 1 + 3\cdot 3 +4|} {\sqrt{(-4)2^2+3^2}}= \frac{9}{5} \end{equation*}

Dado los puntos \(A=(-1,4)\text{,}\) \(B=(1,2)\) y \(C=(3,-2)\text{.}\)

Determine el área del triángulo \(ABC\) (con vértices en los puntos \(A,B,C\)).

Solución 2

Ya que \(A(-1,4)\text{,}\) \(B(1,2)\) y \(C(3,-2)\text{.}\)

La recta que pasa por \(A, B\) es

\begin{equation*} l_{AB}: y-2= \frac{4-2}{-1-1}(x-1) \end{equation*}

es decir \(l_{AB}: y+x=3\text{.}\)

Luego el área del triángulo es

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \text{área} \amp =\amp \frac{1}{2}\cdot dist(A,B)\cdot dist(C, l_{AB}) \\ \amp =\amp \frac{1}{2}\cdot \sqrt{(-2)^2+2^2}\cdot \frac{|-2+3-3|}{\sqrt{1+1}} \\ \amp =\amp \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \end{array} \end{equation*}

Luego el área del triángulo \(ABC\) es \(2\text{.}\)

Subsección 2.3.6 Ejercicios Propuestos

  1. Demuestre que los puntos \(A=(-3,1)\) , \(B=(5,3)\text{,}\) \(C=(3,9)\) y \(D=(-5,7)\) son los vértices de un paralelogramo.

  2. Dados los puntos \(A=(-4,1)\) y \(B=(1,-1)\text{,}\) determine todos los puntos \(C\) sobre la recta de ecuación \(y=x+4\) para los cuales el triángulo de vértices \(ABC\) tenga área igual a \(1\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ C=(3,7) \ o \ C=(-3,1) ]\)

  3. Considere los puntos del plano \(A=(1,2)\) y \(B=(3,5)\) y sea \(\overline{AB}\) el segmento que los une. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de \(\overline{AB}\) y es perpendicular a la recta que une \(A\) con \(B\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ 4x+6y-29 =0 ]\)

  4. Encuentre la ecuación de la altura del triángulo \(ABC\) donde \(\overline{AB}\) representa la base y \(A=(-1,4)\) , \(B=(1,2)\) y \(C=(3,-2)\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ y-x-3 = 0 ]\)

  5. Sea la ecuación de la recta \(L: (k+1)y - kx - 3 = 0\text{,}\) encuentre el valor de \(k \in \mathbb{R}\) para los siguientes casos:

    1. \(L\) pasa por el punto \((-1,2)\text{.}\) \([ Resp.\ \ k= \frac{1}{3}]\)

    2. \(L\) sea horizontal.\([ Resp.\ \ k = 0 ]\)

    3. \(L\) sea paralela a la recta de ecuación \(3y+x-2 = 0\text{.}\) \([ Resp.\ \ k= \frac{-1}{4} ]\)

    4. \(L\) sea perpendicular a la recta de ecuación \(2x-3y+1 = 0\text{.}\)

      \([ Resp.\ \ k= \frac{-3}{5} ]\)

    5. \(L\) sea vertical.

      \([ Resp.\ \ k= -1 ]\)

  6. Sean \(l_{1}\) y \(l_{2}\) las rectas cuyas ecuaciones son \(x+2y=3\) y \(-2x+y=4\text{,}\) respectivamente. Determine la ecuación de la recta \(l\) que pasa por el punto de intersección entre \(l_{1}\) y \(l_{2}\) y que es perpendicular a la recta \(l_{3}: 3x-y-1 = 0\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ l:x+3y-5 = 0 ]\)

  7. Determinar el área del triángulo de vértices \((-2,-1),(1,4)\) y \((3,-3)\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ \frac{31}{2} ]\)

  8. Determinar la ecuación de la recta que pasa por \(P=(-2,3)\) y es perpendicular a la recta \(l:3x-2y+5=0\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ 2x+3y-5=0 ]\)

  9. Dadas las rectas \(l_{1}:2x-3y-2=0\text{,}\) \(l_{2}:3x-2y+1=0\) y \(l_{3}: x+4y-3=0\text{.}\) Determinar la distancia del punto de intersección de \(l_{1}\) con \(l_{2}\) a la recta \(l_{3}\text{.}\)

    \([ Resp. \ \approx 2.6 ]\)

  10. Determine la recta \(l\) que esta a una distancia \(\sqrt{2}\) del punto \(P=(1,-2)\) e interseca perpendicularmente a la \(l_1:3x-y+1=0\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ x+3y+(5-2\sqrt{5})=0 \ o \ x+3y+(5+2 \sqrt{5})=0 ]\)

  11. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es \(-4\) y que pasa por el punto de intersección de las rectas \(2x+y-8 = 0\) y \(3x-2y+9=0\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ 4x+y-10 = 0 ]\)

  12. Sean \(A=(-2,1)\text{,}\) \(B=(4,7)\) y \(C=(6,-3)\) los cuales forman el triángulo \(ABC\text{,}\) determine su ortocentro (ortocentro: punto de intersección de las alturas del triángulo \(ABC\)).

    \([ Resp.\ \ (\frac{4}{3},\frac{5}{3}) ]\)

  13. Determine el valor de los coeficientes \(A\) y \(B\) de la ecuación \(Ax-By+4 = 0\) de una recta, si debe pasar por los puntos \((-3,1)\) y \((1,6)\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ A = \frac{20}{19} , B= \frac{16}{19} ]\)

  14. Encuentre los valores de \(k\) para que la reta \(4x+5y+k=0\text{,}\) forme un triángulo rectángulo con los ejes coordenados (eje \(X\) y eje \(Y\)), donde su área sea igual a \(\frac{5}{2}\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ k = 10 \ o \ k=-10 ]\)

  15. Determine los valores para \(a\) y \(b\) de tal manera que las rectas \(ax+(2-b)y -23 = 0\) y \((a-1)x+by+15=0\) pasen por el punto \((2,-3)\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ a=4 , b=7 ]\)

  16. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta \(4x-3y+12=0\) es siempre igual a la mitad de su distancia al eje \(Y\text{.}\)

    \([ Resp.\ \ x-2y+8=0 \ o \ 13x-6y+24=0 ]\)

  17. Calcule la distancia entre las rectas

    \begin{equation*} L_{1} : 2x+3y-6=0 \ \ y \ \ L_{2}: 2x+3y+ 13 = 0 \end{equation*}
    \([ Resp.\ \ \frac{19}{\sqrt{13}} ]\)