Mat Guía Ejercicios

Sección 3.5 Guía Ejercicios

Determinar si las siguientes relaciones \(\mathcal{R}_{i}\text{,}\) son refleja, simétricas, antisimétricas o transitiva
1. \(\mathcal{R}_{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R\times R\quad}:\mathbb{\quad}2x+3y=xy\}.\)
2. \(\mathcal{R}_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{R\times R\quad}:\mathbb{\quad} x^{2}=y^{2}\}.\)
3. \(\mathcal{R}_{3}=\{(x,y)\in\mathbb{R\times R\quad}:\mathbb{\quad} x^{2}y-y^{2}x\gt0\}.\)
Determinar si las siguientes relaciones \(\mathcal{R}_{i}\text{,}\) es refleja, simétricas, antisimétricas o transitiva
1. \(\mathcal{R}_{1}=\{(x,y)\in\mathbb{Z\times Z\quad}:\mathbb{\quad }2x+3y=\dot{5}\}.\)
2. \(\mathcal{R}_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{Z\times Z\quad}:\mathbb{\quad }4x+3y=\dot{7}\}.\)
3. \(\mathcal{R}_{3}=\{(x,y)\in\mathbb{Z\times Z\quad}:\mathbb{\quad} x\) es múltiplo de \(y\}.\)
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}_{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R\times R}\quad:\quad x^{2}y\leq y^{2}x\} \end{equation*}

Determinar si es refleja, simétrica, antisimétrica transitiva
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}_{1}=\{(x,z)\in\mathbb{R}^{\ast}\mathbb{\times R}^{\ast}\quad :\quad\frac{x}{z}\leq\frac{z}{x}\} \end{equation*}

Determinar si es refleja, simétrica, antisimétrica y transitiva
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{N\times N}\quad:\quad x^{2}+x\leq y^{2}+y\} \end{equation*}

Demostrar que \(\mathcal{R}_{2}\) es una relación de orden total en \(\mathbb{N}.\)
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{N\times N}\quad:\quad x^{2}+3x\leq y^{2}+3y\} \end{equation*}

Demostrar que \(\mathcal{R}_{2}\) es una relación de orden total en \(\mathbb{N}.\)
Sea \(\mathbb{J}_{n}=\{x\in\mathbb{N}\mathbb{\quad}:\mathbb{\quad} x\leq n\}.\) Dada la relación en \(\mathbb{J}_{10}\) definida por

\begin{equation*} x\mathcal{R}y\Longleftrightarrow(3x^{2}-16x\leq3y^{2}-16y) \end{equation*}
1. Demostrar que \(\mathcal{R}\) es una relación de orden en \(\mathbb{J}_{10}\)
2. ¿\(\mathcal{R}\) es una relación de orden total?
3. Ordenar de mayor a menor según \(\mathcal{R}\)
  
  \begin{equation*} 1,3,5,7 \end{equation*}
4. Sea \(X=\{2,3,6\}.\) Determinar cota superior e inferior de \(X.\)
5. Hacer un gráfico de la situación
6. Determinar, si existe, elemento maximal, y/o elemento minimal.
Dada la siguiente relación de orden en \(\mathbb{J}_{10}\)

\begin{equation*} x\mathcal{R}y\ \quad\Longleftrightarrow\quad2x^{2}-19x\leq2y^{2}-19y \end{equation*}

Determinar elementos maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{10}.\)
Dada la relación en \(\mathbb{N\times N}\) definida por

\begin{equation*} \left( x,y\right) \mathcal{R}\left( x^{\prime},y^{\prime}\right) \Longleftrightarrow\left[ (x+y \lt x^{\prime}+y^{\prime}) \vee (x+y=x^{\prime}+y^{\prime}\wedge x\leq x^{\prime})\right] \end{equation*}
1. Demostrar que \(\mathcal{R}\) es una relación de orden total en \(\mathbb{N\times N}\)
2. Ordenar los siguientes elementos de menor a mayor según \(\mathcal{R}\)
  
  \begin{equation*} (3,0),(1,1),(1,2),(0,2) \end{equation*}
3. Sea \(X=\{(3,0),(1,3),(2,1),(0,3)\}.\) Determinar cota superior de \(X\) y cota inferior de \(X.\)
4. Hacer un gráfico de la situación
5. Determinar, si existe, elemento maximal, y/o elemento minimal.
Dada la siguiente relación de orden en \(\mathbb{J}_{5} \mathbb{\times J}_{5}.\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\ \quad\Longleftrightarrow\quad\left( x\leq x^{\prime}\quad\wedge\quad y\geq y^{\prime}\right) \end{equation*}

Determinar en caso que existen los elementos: maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J}_{5}.\)
Dada la siguiente relación \(\mathcal{R}_{1}\) en \(\mathbb{R}^{\ast} \) definida por:

\begin{equation*} (x,y)\mathbb{\in}\mathcal{R}_{1}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( x^{2}\leq y^{2}\right) \text{ } \end{equation*}

Determinar si es refleja, simétrica, antisimétrica o transitiva.
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}_{1}=\{(x,z)\in\mathbb{R}^{\ast}\mathbb{\times R}^{\ast}\quad :\quad\frac{x}{z}\leq\frac{z}{x}\} \end{equation*}

Determinar si es refleja, simétrica, antisimétrica transitiva
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}_{1}=\{(x,z)\in\mathbb{N}^{\ast}\mathbb{\times N}^{\ast}\quad:\quad x^{3}+y^{3}\text{ es múltiplo de }2\} \end{equation*}

Determinar si es refleja, simétrica, antisimétrica transitiva
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}_{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R\times R}\quad:\quad x^{2}y\leq y^{2}x\} \end{equation*}

Determinar si es refleja, simétrica, antisimétrica transitiva
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}_{1}=\{(x,z)\in\mathbb{N}^{\ast}\mathbb{\times N}^{\ast}\quad:\quad x^{3}-y^{3}\text{ es múltiplo de }3\} \end{equation*}

Determinar si es refleja, simétrica, antisimétrica o transitiva
Dada la siguiente relación \(\mathcal{R}\) en \(\mathbb{R}^{\ast} \) definida por:

\begin{equation*} (x,y)\mathbb{\in}\mathcal{R}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( \left( \frac{x}{y}\right) ^{2}\leq\left( \frac{y}{x}\right) ^{2}\right) \text{ } \end{equation*}

Determinar si es refleja, simétrica, antisimétrica o transitiva.
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N\times N}\quad:\quad x^{2}+x\leq y^{2}+y\} \end{equation*}

Demostrar que \(\mathcal{R}\) es una relación de orden total en \(\mathbb{N}.\)
Dada la siguiente relación de orden en \(\mathbb{J}_{5} \mathbb{\times J}_{5}.\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\ \quad\Longleftrightarrow\quad\left( x\leq x^{\prime}\quad\wedge\quad y\geq y^{\prime}\right) \end{equation*}

Determinar en caso que existen los elementos: maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J}_{5}.\)
Dada la siguiente relación de orden en \(\mathbb{J}_{10}\)

\begin{equation*} x\mathcal{R}y\ \quad\Longleftrightarrow\quad2x^{2}-19x\leq2y^{2}-19y \end{equation*}

Determinar elementos maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{10}.\)
Dada la siguiente relación de orden \(\mathcal{R}\) en \(\mathbb{N} \) definida por:

\begin{equation*} (x,y)\mathbb{\in}\mathcal{R}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( 2x^{2}-23x\geq2y^{2}-23y\right) \text{ } \end{equation*}
1. ¿Es \(\mathcal{R}\) una relación de orden total en \(\mathbb{N}?\)
2. Sea \(X=\{1,3,4,7\}.\) Determinar cotas superiores e inferiores de \(X\)
3. Determinar los elementos: maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{N}\) si existen.
Dada la siguiente relación de orden \(\mathcal{R}\) en \(\mathbb{N} \) definida por:

\begin{equation*} (x,y)\mathbb{\in}\mathcal{R}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( 2x^{2}-17x\leq2y^{2}-17y\right) \text{ } \end{equation*}
1. ¿Es \(\mathcal{R}\) una relación de orden total en \(\mathbb{N}?\)
2. Sea \(X=\{1,3,4,7\}.\) Determinar cotas superiores e inferiores de \(X\)
3. Determinar los elementos: maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{N}\) si existen
Dada la siguiente relación de orden \(\mathcal{R}\) en \(\mathbb{J}_{10}\) definida por:

\begin{equation*} x\mathcal{R}y\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( 3x^{2}-14x\geq 3y^{2}-14y\right) \text{ } \end{equation*}
1. Sea \(X=\{1,3,4,7\}.\) Determinar el conjunto de todas las cotas superiores e inferiores de \(X\) en \(\mathbb{J}_{10}\)
2. Determinar en caso que existan los elementos: maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{10}\)
Dada la siguiente relación de orden \(\mathcal{R}\) en \(\mathbb{J}_{10}\) definida por:

\begin{equation*} x\mathcal{R}y\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( 2x^{2}-17x\geq 2y^{2}-17y\right) \text{ } \end{equation*}
1. Sea \(X=\{3,4,6,8\}.\) Determinar el conjunto de todas las cotas superiores e inferiores de \(X\) en \(\mathbb{J}_{10}\)
2. Determinar en caso que existan los elementos: maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{10}.\)
Dada la siguiente relación de orden \(\mathcal{R}\) en \(\mathbb{J}_{10}\) definida por:

\begin{equation*} (x,y)\mathbb{\in}\mathcal{R}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( x^{2} -\frac{13}{2}x\geq y^{2}-\frac{13}{2}y\right) \text{ } \end{equation*}
1. ¿Es \(\mathcal{R}\) una relación de orden total en \(\mathbb{N}?\)
2. Sea \(X=\{1,3,4,7\}.\) Determinar el conjunto de todas las cotas superiores e inferiores de \(X\) en \(\mathbb{J}_{10}\)
3. Determinar en caso que existan los elementos: maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{10}.\)
Dada la siguiente relación de orden en \(\mathbb{J}_{10}\)

\begin{equation*} x\mathcal{R}y\ \quad\Longleftrightarrow\quad2x^{2}-19x\leq2y^{2}-19y \end{equation*}

Determinar elementos maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{10}.\)
Dada la siguiente relación de orden en \(\mathbb{J}_{5} \mathbb{\times J}_{5}.\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\ \quad\Longleftrightarrow\quad\left( x\leq x^{\prime}\quad\wedge\quad y\geq y^{\prime}\right) \end{equation*}

Determinar en caso que existen los elementos: maximal, minimal, primer elemento y último elemento de \(\mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J}_{5}.\)
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N\times N}\quad:\quad x^{2}+x\leq y^{2}+y\} \end{equation*}

Demostrar que \(\mathcal{R}\) es una relación de orden total en
\(\mathbb{N}.\)
Dada la siguiente relación

\begin{equation*} \mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N\times N}\quad:\quad x^{2}+3x\leq y^{2}+3y\} \end{equation*}

Demostrar que \(\mathcal{R}\) es una relación de orden total en \(\mathbb{N}.\)
Dada la siguiente relación de equivalencia en \(\mathbb{J} _{6}\mathbb{\times J}_{8}\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\quad\Longleftrightarrow\quad\left( \ 2x+3x^{\prime}=\dot{5}\quad\wedge\quad3y+4y^{\prime}=\dot{7}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,7)\)
2. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{6}\mathbb{\times J}_{8}\right) /\mathcal{R}\)
Dada la siguiente relación de equivalencia en \(\mathbb{J} _{5}\mathbb{\times J}_{5}\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\quad\Longleftrightarrow\quad\left( \ 2x+3x^{\prime}=\dot{5}\quad\wedge\quad2y+y^{\prime}=\dot{3}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,3)\)
2. Calcular \(\left| \left( \mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J}_{5}\right) /\mathcal{R}\right| \) (cardinal)
3. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J}_{5}\right) /\mathcal{R}\)
Dada la siguiente relación de equivalencia en \(\mathbb{J} _{3}\mathbb{\times J}_{3}.\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\ \quad\Longleftrightarrow\quad\left( x+2x`=\dot{3}\quad\wedge\quad2y+y^{\prime}=\dot{3}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,3)\)
2. Calcular \(\left| \left( \mathbb{J}_{3}\mathbb{\times J}_{3}\right) /\mathcal{R}\right| \) (cardinal)
3. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{3}\mathbb{\times J}_{3}\right) /\mathcal{R}\)
Dada la siguiente relación de equivalencia \(\mathcal{R}\) en \(\mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J}_{4}\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( x-x^{\prime}=\dot{2}\quad\wedge\quad2y+y^{\prime}=\dot{3}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,3)\) (clase de \((2,3)\))
2. Determinar por extensión \(\mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J} _{4}/\mathcal{R}\) ( conjunto cuociente )
Dada la siguiente relación de equivalencia \(\mathcal{R}\) en \(\mathbb{J}_{4}\mathbb{\times J}_{5}\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left( x-x^{\prime}=\dot{3}\quad\wedge\quad y+y^{\prime}=\dot{2}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,3)\) (clase de \((2,3)\))
2. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{4}\mathbb{\times J}_{5}\right) \left/ \mathcal{R}\right. \) ( conjunto cuociente )
Dada la siguiente relación de equivalencia en \(\mathbb{J} _{6}\mathbb{\times J}_{8}\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\quad\Longleftrightarrow\quad\left( \ 2x+3x^{\prime}=\dot{5}\quad\wedge\quad3y+4y^{\prime}=\dot{7}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,7)\)
2. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{6}\mathbb{\times J}_{8}\right) /\mathcal{R}\)
Dada la siguiente relación de equivalencia en \(\mathbb{J} _{4}\mathbb{\times J}_{4}\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\quad\Longleftrightarrow\quad\left( \ 2x+x^{\prime}=\dot{3}\quad\wedge\quad y+y^{\prime}=\dot{2}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,3)\)
2. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{4}\mathbb{\times J}_{4}\right) /\mathcal{R}\)
Dada la siguiente relación de equivalencia en \(\mathbb{J} _{5}\mathbb{\times J}_{5}\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\quad\Longleftrightarrow\quad\left( \ 2x+x^{\prime}=\dot{3}\quad\wedge\quad y+y^{\prime}=\dot{2}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,3)\)
2. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{4}\mathbb{\times J}_{4}\right) /\mathcal{R}\)
Dada la siguiente relación de equivalencia en \(\mathbb{J} _{5}\mathbb{\times J}_{5}\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\quad\Longleftrightarrow\quad\left( \ 2x+3x^{\prime}=\dot{5}\quad\wedge\quad2y+y^{\prime}=\dot{3}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,3)\)
2. Calcular \(\left| \left( \mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J}_{5}\right) /\mathcal{R}\right| \) (cardinal)
3. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{5}\mathbb{\times J}_{5}\right) /\mathcal{R}\)
Dada la siguiente relación de equivalencia en \(\mathbb{J} _{3}\mathbb{\times J}_{3}.\)

\begin{equation*} (x,y)\mathcal{R}(x^{\prime},y^{\prime})\ \quad\Longleftrightarrow\quad\left( x+2x`=\dot{3}\quad\wedge\quad2y+y^{\prime}=\dot{3}\right) \end{equation*}
1. Determinar por extensión \(\mathcal{R}(2,3)\)
2. Calcular \(\left| \left( \mathbb{J}_{3}\mathbb{\times J}_{3}\right) /\mathcal{R}\right| \) (cardinal)
3. Determinar por extensión \(\left( \mathbb{J}_{3}\mathbb{\times J}_{3}\right) /\mathcal{R}\)