Sección 2.4 Progresiones
¶Dos de las principales progresiones en los números Naturales, son las llamadas progresiones Aritméticas y progresiones Geométricas, y las principales aplicaciones de estas sucesiones son el interés simple o compuesto.
Subsección 2.4.1 Progresiones Aritméticas (P. A.)
¶Sean \(a,d\in\mathbb{R}\text{,}\) se llama progresión aritmética a la sucesión \(\{a_{n}\}\) , definida por
\begin{equation*}
a_{n}=a+nd,
\end{equation*}
de primer término \(a\) y diferencia \(d,\) es decir,
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{lcll}
a_{0} \amp = \amp a \amp 1^{er} \text{ término }\\
a_{1} \amp = \amp a+1d \amp 2^{do} \text{ término }\\
a_{2} \amp = \amp a+2d \amp 3^{ro} \text{ término }\\
\amp \vdots \amp \amp \\
a_{n-1} \amp = \amp a+(n-1)d \amp n-ésimo \text{ término }\\
a_{n} \amp = \amp a+nd \amp (n+1)-ésimo \text{ término }.
\end{array}
\end{equation*}
Consideremos la siguiente igualdad, con ello la razón del nombre
\begin{equation*}
a_{k+1}- a_{k}= [a+ (k+1)d]- [a+ kd]= d,
\end{equation*}
Calculemos la suma de los \(n\) primeros términos de una progresión aritmética
\begin{equation*}
\overset{n}{\underset{k= 0}{\sum}}a_{k},
\end{equation*}
reemplazando se obtiene
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}a_{k} \amp =\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}
}(a+kd)\\
\amp =\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}a+d\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}k\\
\amp =a(n+1)+d\frac{n(n+1)}{2}\\
\amp =\frac{(n+1)}{2}\cdot(2a+dn)\\
\amp =\frac{(n+1)}{2}\cdot(a+(a+nd))\\
\amp =\frac{(n+1)}{2}\cdot(a_{0}+a_{n}).
\end{array}
\end{equation*}
Es decir,
\begin{equation*}
\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}(a+kd)=\frac{(n+1)}{2}\cdot(a_{0}
+a_{n})=(n+1)\left( a+\frac{n}{2}d\right) .
\end{equation*}
En general
\begin{equation*}
\overset{n}{\underset{k=r}{\sum}}(a+kd)=\frac{(n-r+1)}{2}\cdot(a_{r}
+a_{n})=(n-r+1)\left( a+\frac{(n+r)}{2}d\right) .
\end{equation*}
Intercalar términos: Supongamos que tenemos dos números \(x,y\in \mathbb{R}\) y deseamos intercalar \(n\)-términos de modo que se obtenga una Progresión Aritmética.
Para ello debemos tener los siguiente términos \(a_0=x,....,a_{n-1}=y\)
De este modo se tiene que
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
a=x\\ a+(n-1)d=y
\end{array}
\end{equation*}
Despejando, se obtiene
\begin{equation*}
\begin{array}{rl} x=a \\ d=\frac{y-x}{n-1} \end{array}
\end{equation*}
Por lo tanto la progresión aritmética esta dada por
\begin{equation*}
a_k =x+k\frac{y-x}{n-1}
\end{equation*}
Cuando intercalamos un sólo término, nos referimos a este término como el medio aritmético.
En una progresión aritmética el primer término es \(2\) y el \(n\) -ésimo término es \(29\text{,}\) la suma de los primeros \(n\) término es \(155\text{.}\)
Hallar cuántos términos se sumaron y la diferencia.
Se sabe que
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{l}
a_{0}=2\\
a_{n-1}=29\\
\overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum}}a_{k}=155,
\end{array}
\end{equation*}
de la última igualdad se sigue
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
155 \amp =\frac{n(2+29)}{2}\\
310 \amp =31n\\
10 \amp =n,
\end{array}
\end{equation*}
luego como \(a_{9}=29\text{,}\) se sigue
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
a+9d \amp =29\\
2+9d \amp =29\\
9d \amp =27\\
d \amp =3.
\end{array}
\end{equation*}
En resumen obtenemos que son \(10\) los términos sumados y que la diferencia es \(3\text{.}\)
Subsubsección Ejercicios
Si la suma de los primeros siete términos de una progresión aritmética es \(49\) y la suma de los primeros \(17\) términos es \(289\text{.}\) Calcular la suma de los primeros \(n\) términos.
Subsección 2.4.2 Progresiones Geométricas (P.G.)
¶Sean \(a,r\in\mathbb{R}^{\ast}\text{.}\) Se llama progresión geométrica a la sucesión
\begin{equation*}
a_{n}=ar^{n},
\end{equation*}
donde \(a\) es el primer término y \(r\) la razón.
Observación: . De acuerdo a lo anterior se tiene la siguientes igualdades:
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{lcll}
a_{0} \amp = \amp a \amp 1^{ero}\text{ término }\\
a_{1} \amp = \amp a\cdot r \amp 2^{do}\text{ término }\\
a_{2} \amp = \amp a\cdot r^{2} \amp 3^{ro}\text{ término }\\
\amp \vdots \amp \amp \\
a_{n} \amp = \amp a\cdot r^{n} \amp (n+1)\text{-ésimo término}.
\end{array}
\end{equation*}
-
La razón la podemos encontrar en:
\begin{equation*} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{a\cdot r^{n+1}}{a\cdot r^{n}}=\frac{r^{n+1}} {r^{n}}=r. \end{equation*} -
La suma de los términos
\begin{equation*} \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}a\cdot r^{k}, \end{equation*}se sigue
\begin{equation*} \begin{array}{rl} \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}a\cdot r^{k} \amp =a\overset{n}{\underset {k=0}{\sum}}r^{k}\\ \amp =a\left( \frac{r^{n+1}-1}{r-1}\right) \quad r\not =1. \end{array} \end{equation*}
Observación: Para la suma de los términos comenzando la suma en un \(k\not =0\text{,}\) se tiene
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\overset{n}{\underset{k=s}{\sum}}a\cdot r^{k} \amp =\overset{n-s}
{\underset{k=s-s}{\sum}}a\cdot r^{k+s}\\
\amp =ar^{s}\overset{n-s}{\underset{k=0}{\sum}}r^{k}\\
\amp =ar^{s}\left( \frac{r^{n-s+1}-1}{r-1}\right) \\
\amp =a\left( \frac{r^{n+1}-r^{s}}{r-1}\right) .
\end{array}
\end{equation*}
Intercalar términos: Supongamos que tenemos dos números \(x,y\in \mathbb{R}^*\) y deseamos que intercalar n-términos de modo que obtengamos un Progresión Geométrica. Luego \(a_0=x,....,a_{n-1}=y\)
De lo cual obtenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
a \amp = x \\ ar^{n-1} \amp =y
\end{array}
\end{equation*}
reemplazando en la segunda ecuación
\begin{equation*}
r^{n-1} = \frac{y}{x}
\end{equation*}
la cual puede tener solución vacía, una solución o dos soluciones.
Supongamos que tiene una solución, luego
\begin{equation*}
x=a\ ; \ r= \sqrt[n-1]{\frac{y}{x}}.
\end{equation*}
Por lo tanto la progresión geométrica es:
\begin{equation*}
a_k =x\left( \sqrt[n-1]{\frac{y}{x}}\right)^k
\end{equation*}
Supongamos que tiene dos soluciones, luego
\begin{equation*}
x=a\ ; \ r= \pm\sqrt[n-1]{\frac{y}{x}}.
\end{equation*}
Por lo tanto, existen dos respuesta y están dadas por las progresiones geométricas:
\begin{equation*}
a_k =x\left( \sqrt[n-1]{\frac{y}{x}}\right)^k \ ;\ b_k =x\left( -\sqrt[n-1]{\frac{y}{x}}\right)^k
\end{equation*}
Cuando intercalamos un sólo término (cuando existen dos, nos referimos al positivo), decimos que es el medio geométrico.
Ejemplo 2.4.2
El cuarto término de una P.G es \(1/4\) y el noveno término es \(1/64\text{.}\) Determinar el sexto término.
Se tiene que
\begin{equation*}
a_{3}=1/64\quad\wedge\quad a_{8}=1/64,
\end{equation*}
de aquí tenemos el siguiente sistema
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{ccc|}
ar^{3} \amp = \amp 1/4\\
ar^{8} \amp = \amp 1/64\\\hline
\end{array}
\end{equation*}
de la primera ecuación podemos despejar \(a\) en función de \(r\) y nos resulta
\begin{equation*}
a=\frac{1}{4r^{3}},
\end{equation*}
luego reemplazamos \(a\) en la segunda ecuación
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
ar^{8} \amp =\frac{1}{64}\\
\frac{1}{4r^{3}}r^{8} \amp =\frac{1}{64}\\
r^{5} \amp =\frac{4}{64}\\
r \amp =\frac{1}{\sqrt[5]{16}},
\end{array}
\end{equation*}
luego
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
a \amp =\frac{1}{4r^{3}}\\
\amp =\frac{1}{4\frac{1}{(\sqrt[5]{16})^{3}}}\\
\amp =\frac{1}{4}\cdot(\sqrt[5]{16})^{3}.
\end{array}
\end{equation*}
Así
\begin{equation*}
a_{5}=a\cdot r^{5}=\frac{1}{4}(\sqrt[5]{16})^{3})\frac{1}{16}=\frac{1}
{64}(\sqrt[5]{16})^{3}.
\end{equation*}
Subsubsección Ejercicios
Si la suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica es \(52\) y el primer término es \(5\text{.}\) Determinar la suma de los primeros seis términos.
Subsección 2.4.3 Interés Simple y Compuesto.
¶Podemos considerar la siguiente situación, una persona pide un préstamo de monto \(P\) a un amigo, y llegan al siguiente acuerdo, todo los meses el pagará \(D\) pesos hasta que la deuda este salda. Modelemos la situación descrita.
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{lll}
a_{0}=P \amp \amp \text{ Cuando pide el préstamo}\\
a_{1}=P-D \amp \amp \text{ Cumplido el primer mes}\\
a_{2}=P-D-D \amp \amp \text{ Cumplido el segundo mes}\\
\amp \amp \\
a_{n}=P-nD \amp \amp \text{ Cumplido los } \text{ meses}.
\end{array}
\end{equation*}
En este caso hemos encontrado una progresión aritmética que describe el problema del interés simple.
Una situación parecida pero la persona pide un préstamo a un banco este monto a un interés de \(I\ \) mensual, de manera similar modelemos la situación
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{lll}
a_{0}=P \amp \amp \text{ Cuando pide el préstamo}\\
a_{1}=P+\frac{I}{100}P=\left( 1+\frac{I}{100}\right) P \amp \amp \text{ Cumplido el primer mes}\\
a_{2}=\left( 1+\frac{I}{100}\right) P+\frac{I}{100}\left( 1+\frac{I}{100}\right) P \amp \amp \text{ Cumplido el segundo mes} \\
a_{2}=\left( 1+\frac{I}{100}\right)^{2}P \amp \amp
\end{array}
\end{equation*}
es decir, que \(a_{n+1}=a_{n}+\frac{I}{100}a_{n}=\left( 1+\frac{I}{100}\right) a_{n}.\)
\begin{equation*}
a_{n}=\left( 1+\frac{I}{100}\right) ^{n}P
\end{equation*}
es la deuda en el mes \(n\) -ésimo. En este caso obtenemos una progresión geométrica de razón \(1+\frac{I}{100}\)
Finalmente ahora consideremos que el deudor paga una cuota fija al banco \(C\text{,}\) para un mejor escritura definamos \(R=1+\frac{I}{100}\)
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{lll}
a_{0}=P\amp \amp \text{ Cuando pide el préstamo }\\
a_{1}=P+\frac{I}{100}P -C =\left( 1+\frac{I}{100}\right)
P-C=RP-C \amp \amp \text{ Cumplido el primer mes }\\
a_{2}=R P-C+\frac{I}{100}\left(RP-C\right)-C \amp \amp \text{ Cumplido el segundo mes }\\
a_{2}=R^{2}P-C(R+1) \amp \amp
\end{array}
\end{equation*}
En general tenemos que \(a_n\) es la deuda con el banco transcurrido \(n\) meses
\begin{equation*}
a_{n+1}=a_{n}+\frac{I}{100}a_{n}-C=Ra_{n}-C.
\end{equation*}
Por inducción podemos probar que
\begin{equation*}
a_{n}=R^nP-C\left( \frac{1-R^n}{1-R}\right)
\end{equation*}
\(n\gt0\text{.}\)Ejemplo 2.4.3
Un banco tiene un interés de 1,5 mensual, para un crédito de $ 450.000.- pagaderos en 12 cuotas iguales.
Calcular el valor de la cuota
Como la deuda con el banco esta dada por:
\begin{equation*}
a_{n}=R^n P-C\left( \frac{R^n-1}{R-1}\right)
\end{equation*}
donde \(R=1+\frac{1,5}{100}=1,015\) y la deuda pasado 12 meses debe ser cero, para no deber nada al banco, tenemos que
\begin{equation*}
a_{12}=450000 (1,015)^{12}-C\left(
\frac{(1,015)^{12}-1}{0,015}\right)=0
\end{equation*}
luego tenemos que despejar \(C\)
\begin{equation*}
C=450000 (1,015)^{12}\left(
\frac{0,015}{(1,015)^{12}-1}\right)\approx 41256
\end{equation*}
Hacemos una tabla de la deuda al banco durante los 12 meses, para comprobar nuestro resultado.
\begin{equation*}
\begin{array}{crl}
a_0= \amp 450000 \quad \\
a_1= \amp 415494 = \amp a_0*1.015 -41256\\
a_2= \amp 380470 = \amp a_1*1.015 -41256\\
a_3= \amp 344921 = \amp a_2*1.015 -41256\\
a_4= \amp 308839 = \amp a_3*1.015 -41256\\
a_5= \amp 272216 = \amp a_4*1.015 -41256\\
a_6= \amp 235043 = \amp a_5*1.015 -41256\\
a_7= \amp 197313 = \amp a_6*1.015 -41256\\
a_8= \amp 159017 = \amp a_7*1.015 -41256\\
a_9= \amp 120146 = \amp a_8*1.015 -41256\\
a_{10}= \amp 80692 = \amp a_9*1.015 -41256\\
a_{11}= \amp 40646 = \amp a_{10}*1.015 -41256 \\
a_{12}= \amp 0=\amp a_{11}*1.015 -41256
\end{array}
\end{equation*}