Sección 4.2 Ecuaciones lineales y Cuadráticas
¶El problema que se abordar en esta sección es resolver las ecuaciones del siguiente tipo
\begin{equation*}
Az^2+Bz+C=0
\end{equation*}
en \(\mathbb{C}\text{,}\) donde \(A,B,C\in \mathbb{C}\text{.}\)
Subsección 4.2.1 Ecuación de Primer Grado
¶La ecuación de primer grado con \(B\in\mathbb{C}^{\ast},C\in\mathbb{C}\) tiene la siguiente forma
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
Bz \amp =C\\
z \amp =B^{-1}C
\end{array}
\end{equation*}
Y en el conjunto de los números complejos, siempre tiene solución única.
Veamos los siguientes ejemplos
Resolver:
\begin{equation*}
2(z+3i)+i(1-3z)=5i.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
2(z+3i)+i(1-3z) \amp =5i\\
2z+6i+1i-3zi \amp =5i\\
2z-3zi+6i+i \amp =5i\\
\left( 2-3i\right) z \amp =-2i\\
z \amp =\left( 2-3i\right) ^{-1}\left( -2i\right) \\
z \amp =\left( -2i\right) \left( \frac{2}{13}+\frac{3}{13}i\right) \\
z \amp =\frac{6}{13}-\frac{4}{13}i
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 4.2.2
Resolver:
\begin{equation*}
\left( 1+i\right) (2z+3i)+\left( 2-i\right) (4+z)=5+2i.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\left( 1+i\right) (2z+3i)+\left( 2-i\right) (4+z) \amp =5+2i\\
2z+3i+2iz-3+8+2z-4i-iz \amp =5+2i\\
4z-i+iz+5 \amp =5+2i\\
\left( 4+i\right) z \amp =3i\\
z \amp =3i\left( \frac{4}{17}-\frac{1}{17}i\right) \\
z \amp =\frac{3}{17}+\frac{12}{17}i
\end{array}
\end{equation*}
Observación: Tenga presente que, resolver una ecuación de primer grado, le permite también resolver sistema de ecuaciones lineales como por ejemplo
Ejemplo 4.2.3
Resolver el siguiente sistema
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{lll|}
2z-iw \amp = \amp 3\\
iz-2w \amp = \amp i\\\hline
\end{array}
\end{equation*}
Usaremos el método de sustitución. En la primera ecuación tenemos que
\begin{equation*}
z=\frac{1}{2}\left( 3+iw\right)
\end{equation*}
reemplazando en la segunda ecuación tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
i\frac{1}{2}\left( 3+iw\right) -2w \amp =i\\
\frac{3}{2}i-\frac{1}{2}w-2w \amp =i\\
\frac{3}{2}i-\frac{5}{2}w \amp =i\\
w \amp =\frac{1}{5}i
\end{array}
\end{equation*}
Reemplazando en la ecuación que hemos despejado tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z \amp =\frac{1}{2}\left( 3+i\frac{1}{5}i\right) \\
z \amp =\frac{7}{5}
\end{array}
\end{equation*}
luego la solución es
\begin{equation*}
w=\frac{1}{5}i\quad,\quad z=\frac{7}{5}
\end{equation*}
Ejemplo 4.2.4
Resolver el siguiente sistema
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{lll|}
\left( 2+i\right) z+\left( 1-i\right) w \amp = \amp 9+i\\
\left( 1+2i\right) z+\left( -2-i\right) w \amp = \amp 4+2i\\\hline
\end{array}
\end{equation*}
Usaremos el método de sustitución. En la primera ecuación tenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\left( 2+i\right) z+\left( 1-i\right) w \amp =\left( 9+i\right) \\
\left( 2+i\right) z \amp =\left( 9+i\right) -\left( 1-i\right) w\\
z \amp =\left( \frac{2}{5}-\frac{1}{5}i\right) \left[ \left( 9+i\right)
-\left( 1-i\right) w\right] \\
z \amp =\left( \frac{19}{5}-\frac{7}{5}i\right) +\left( -\frac{1}{5}
+\frac{3}{5}i\right) w
\end{array}
\end{equation*}
Reemplazando en la segunda ecuación
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\left( 1+2i\right) z+\left( -2-i\right) w \amp =4+2i\\
\left( 1+2i\right) \left[ \left( \frac{19}{5}-\frac{7}{5}i\right)
+\left( -\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i\right) w\right] +\left( -2-i\right) w
\amp =4+2i\\
\left[ \frac{33}{5}+\frac{31}{5}i-\frac{7}{5}w+\frac{1}{5}iw\right] +\left(
-2-i\right) w \amp =4+2i\\
\left[ 33+31i-7w+iw\right] +5\left( -2-i\right) w \amp =5\left(
4+2i\right) \\
\left( -17-4i\right) w \amp =\left( 20+10i\right) -\left( 33+31i\right) \\
w \amp =\left( -17-4i\right) ^{-1}\left( -13-21i\right) \\
w \amp =1+i
\end{array}
\end{equation*}
Reemplazando en la ecuación que hemos despejado tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z \amp =\left( \frac{19}{5}-\frac{7}{5}i\right) +\left( -\frac{1}{5}
+\frac{3}{5}i\right) w\\
z \amp =\frac{1}{5}\left( 19-7i\right) +\frac{1}{5}\left( -1+3i\right)
\left( 1+i\right) \\
z \amp =\frac{1}{5}\left[ \left( 19-7i\right) +\left( -1+3i\right) \left(
1+i\right) \right] \\
z \amp =\frac{1}{5}\left( 15-5i\right) =3-i
\end{array}
\end{equation*}
luego la solución es
\begin{equation*}
w=1+i,\quad \quad z=3-i
\end{equation*}
Subsección 4.2.2 Ecuación de Segundo Grado
¶El problema general, es resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
Az^2+Bz+C=0
\end{equation*}
en \(\mathbb{C}\text{,}\) donde \(A,B,C\in \mathbb{C}\) con \(A \neq 0\text{.}\)
1\(^{er}\) Etapa Veremos el caso \(B=0\)
Consideremos el siguiente ejemplo
\begin{equation*}
z^{2}=1+2i,
\end{equation*}
Sea \(z=a+bi\text{,}\) con \(a,b\in \mathbb{R}\) entonces reemplazando tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
(a+bi)^{2} \amp =1+2i\\
a^{2}+2abi+b^{2}i^{2} \amp =1+2i\\
a^{2}-b^{2}+2abi \amp =1+2i.
\end{array}
\end{equation*}
Entonces \(a^{2}-b^{2}=1\wedge2ab=2\text{.}\)
Como \(ab\not =0\text{,}\) luego \(a\not =0\wedge b\not =0\text{,}\) por tanto de la segunda igualdad obtenemos
\begin{equation*}
a=\frac{1}{b},
\end{equation*}
reemplazando en la primera igualdad se obtiene que \(1-b^4=b^2\text{,}\) que al reescribir se tiene \(b^4+b^2-1=0\text{,}\) y es una ecuación de segundo grado en la variable \(b^2\text{,}\) cuya solución positiva es
\begin{equation*}
b^{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},
\end{equation*}
de donde deducimos que
\begin{equation*}
b=\pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}},
\end{equation*}
por lo cual se obtiene que
\begin{equation*}
a=\pm\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}.
\end{equation*}
Finalmente la soluciones son
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}+\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}
}i\right] \\
z \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}
}i\right]
\end{array}
\end{equation*}
Caso General
La solución de la ecuación \(z^{2}=a+bi\text{,}\) con \(a,b\in \mathbb{R}\text{,}\) es
\begin{equation*}
z=\pm\left[ \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}+\operatorname{sg}
(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}i\right]
\end{equation*}
donde \(\operatorname{sg}(b) = \frac{|b|}{b}\) y se extiende o acepta que \(\operatorname{sg}(0)=1\text{.}\)
La formula anterior se obtiene de considerar \((x+yi)^{2}=a+bi\text{,}\) que al igualar se tiene
\begin{equation*}
x^2-y^2= a \quad \wedge \quad 2xy=b
\end{equation*}
Si \(b=0\text{,}\) entonces depende del signo de \(a\) para finalizar, es decir, \(z=\sqrt{a}, a\gt 0\) o bien \(z=\sqrt{|a|}i, a\lt 0\text{.}\)
Si \(b\neq 0\text{,}\) entonces despejando \(y\) y reemplazando obtenemos
\begin{equation*}
4x^4-4ax^2-b^2=0
\end{equation*}
cuyo discriminante es \(16a^2+16b^2\) siempre positivo, luego siempre tiene solución la ecuación de segundo grado, de este modo se tiene que
\begin{equation*}
x^2=\frac{4a\pm 4\sqrt{a^2+b^2}}{8}= \frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}
\end{equation*}
La otra solución no es posible en los reales, por lo tanto
\begin{equation*}
x= \pm\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}
\end{equation*}
reemplazando en el despeje de \(y\) se obtiene
\begin{equation*}
y =\pm b\sqrt{\frac{2}{4(\sqrt{a^2+b^2}+a)}}= \pm b\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2b^2}}= \pm \frac{b}{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}
\end{equation*}
Ejemplo 4.2.5
Resolver
\begin{equation*}
z^{2}=3-4i
\end{equation*}
Notemos que \(a=3\) y \(b=-4,\) luego
\(\operatorname{sg}(b)=\operatorname{sg}(-4)=-1\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{\sqrt{\left( 3\right) ^{2}+\left( -4\right)
^{2}}+3}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{\left( 3\right) ^{2}+\left( -4\right) ^{2}
}-3}{2}}i\right] \\
z \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{5+3}{2}}-\sqrt{\frac{5-3}{2}}i\right]
=\pm\left[ \sqrt{\frac{8}{2}}-\sqrt{\frac{2}{2}}i\right] \\
\amp =\pm\lbrack2-i]
\end{array}
\end{equation*}
\(2^{da}\) Etapa
Consideremos la siguiente ecuación
\begin{equation*}
z^{2}+2z+1+i=0,
\end{equation*}
luego
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z^{2}+2z+1+i \amp =0\\
z^{2}+2z \amp =-1-i\\
z^{2}+2z+1 \amp =-1-i+1\\
(z+1)^{2} \amp =-i\\
z+1 \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}i\right] \\
z \amp =-1\pm\left[ \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}i\right]
\end{array}
\end{equation*}
Caso General
Consideremos la ecuación
\begin{equation*}
z^{2}+(a+bi)z+(c+di)=0,
\end{equation*}
luego
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z^{2}+(a+bi)z+(c+di) \amp =0\\
\left( z+\left( \frac{a+bi}{2}\right) \right) ^{2} \amp =\left(
\frac{a+bi}{2}\right) ^{2}-(c+di)\\
\left( z+\left( \frac{a+bi}{2}\right) \right) ^{2} \amp =\left(
\frac{a^{2}-b^{2}}{4}-c\right) +\left( \frac{ab}{2}-d\right) i
\end{array}
\end{equation*}
Haciendo el cambio de variables \(w=z+\left( \frac{a+bi}{2}\right) \) tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
w^{2} \amp =\left( \frac{a^{2}-b^{2}}{4}-c\right) +\left( \frac{ab}
{2}-d\right) i\\
w^{2} \amp =u+vi
\end{array}
\end{equation*}
con \(u=\frac{a^{2}-b^{2}}{4}-c\) y \(v=\frac{ab}{2}-d\) es decir
\begin{equation*}
w_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}{2}}+\operatorname{sg}(v)\sqrt
{\frac{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}{2}}i
\end{equation*}
Donde \(u^{2}+v^{2}=\left( \frac{a^{2}-b^{2}}{4}-c\right) ^{2}+\left( \frac{ab}{2}-d\right) ^{2}\)
Así tenemos la solución dada por:
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z+\left( \frac{a+bi}{2}\right) \amp =\pm w_{0}\\
z \amp =-\left( \frac{a+bi}{2}\right) \pm w_{0}.
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 4.2.6
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
z^{2}+\left( 1-2i\right) z-\left( 2+4i\right) =0.
\end{equation*}
Completando cuadrado tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z^{2}+\left( 1-2i\right) z-\left( 2+4i\right) \amp =0\\
\left( z+\frac{1}{2}\left( 1-2i\right) \right) ^{2}-\frac{1}{4}\left(
1-2i\right) ^{2}-\left( 2+4i\right) \amp =0\\
\left( z+\frac{1}{2}\left( 1-2i\right) \right) ^{2} \amp =\frac{5}{4}+3i
\end{array}
\end{equation*}
Realizando el cambio de variable
\begin{equation*}
w^{2}=\frac{5}{4}+3i
\end{equation*}
luego
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
w \amp =\sqrt{\frac{\sqrt{\left( \frac{5}{4}\right) ^{2}+3^{2}}+\left(
\frac{5}{4}\right) }{2}}+\operatorname{sg}(3)\sqrt{\frac{\sqrt{\left(
\frac{5}{4}\right) ^{2}+3^{2}}-\left( \frac{5}{4}\right) }{2}}i\\
w \amp =\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{169}{16}}+\left( \frac{5}{4}\right) }{2}
}+\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{169}{16}}-\left( \frac{5}{4}\right) }{2}}i\\
w \amp =\sqrt{\frac{\frac{13}{4}+\left( \frac{5}{4}\right) }{2}}+\sqrt
{\frac{\frac{13}{4}-\left( \frac{5}{4}\right) }{2}}i=\sqrt{\frac{18}{8}
}+\sqrt{\frac{8}{8}}i\\
w \amp =\frac{3}{2}+i
\end{array}
\end{equation*}
luego la ecuación tiene la solución
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\left( z+\frac{1}{2}\left( 1-2i\right) \right) ^{2} \amp =\frac{5}{4}+3i\\
z+\frac{1}{2}\left( 1-2i\right) \amp =\pm\left( \frac{3}{2}+i\right) \\
z \amp =-\frac{1}{2}\left( 1-2i\right) \pm\left( \frac{3}{2}+i\right)
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
z_{1} \amp =-\frac{1}{2}\left( 1-2i\right) +\left( \frac{3}{2}+i\right)
\quad\vee\quad z_{2}=-\frac{1}{2}\left( 1-2i\right) -\left( \frac{3}
{2}+i\right) \\
z_{1} \amp =1+2i\quad\vee\quad z_{2}=-2
\end{array}
\end{equation*}
De modo de facilitar la escritura podemos introducir las siguiente notación
Definición 4.2.7
Sea \(z=a+bi\in\mathbb{C}\) donde \(a,b\in\mathbb{R}\)
-
La parte real de \(a+bi\) es el número \(a\text{,}\) y lo denotamos por
\begin{equation*} Re(z)=Re(a+bi)=a. \end{equation*} -
La parte imaginaria de \(a+bi\) es el número \(b\text{,}\) el que denotamos por:
\begin{equation*} Im(z)=Im(a+bi)=b. \end{equation*} -
El conjugado de \(a+bi\) es el número \(a-bi\text{,}\) y se denota por:
\begin{equation*} \overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi. \end{equation*} -
El módulo o norma de \(a+bi\) es el número \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\text{,}\) y se denota por
\begin{equation*} |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. \end{equation*}
La solución de la ecuación \(z^{2}=C\text{,}\) con \(C\in \mathbb{C}\text{,}\) es
\begin{equation*}
z=\pm\left[ \sqrt{\frac{|C|+Re(C)}{2}}+\operatorname{sg}
(Im(C))\sqrt{\frac{|C|-Re(C)}{2}}i\right]
\end{equation*}
Proposición 4.2.8
Sean \(A,B,C\in \mathbb{C}\) con \(A \neq 0\text{,}\) entonces la ecuación de segundo grado
\begin{equation*}
Az^2+Bz+C=0
\end{equation*}
tiene solución en \(\mathbb{C}\text{,}\) para ello sea \(\delta^2= B^2-4AC\) entonces las soluciones son
\begin{equation*}
z= \frac{-B\pm \delta}{2A}
\end{equation*}
Ejemplo 4.2.9
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
iz^{2}+\left( 2-3i\right) z+\left( 5i-1\right) =0.
\end{equation*}
Resolvamos directamente la ecuación
\begin{equation*}
iz^{2}+\left( 2-3i\right) z+\left( 5i-1\right) =0.
\end{equation*}
Sea
\begin{equation*}
\delta^{2}=\triangle=\left( 2-3i\right) ^{2}-4i\left( 5i-1\right) =15-8i
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\delta \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{\sqrt{225+64}+15}{2}}-\sqrt{\frac
{\sqrt{225+64}-15}{2}}i\right] \\
\delta \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{\sqrt{289}+15}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt
{289}-15}{2}}i\right] \\
\delta \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{17+15}{2}}-\sqrt{\frac{17-15}{2}}i\right] \\
\delta \amp =\pm\left[ 4-i\right]
\end{array}
\end{equation*}
Así tenemos que
\begin{equation*}
z=\frac{-\left( 2-3i\right) \pm\left( 4-i\right) }{2i}
\end{equation*}
o bien
\begin{equation*}
z=2+3i\qquad z=1-i
\end{equation*}
Ejemplo 4.2.10
Resolver la siguiente ecuación
\begin{equation*}
z^{2}+\left( 1-2i\right) z+\left( 2+4i\right) =0.
\end{equation*}
Resolvamos directamente la ecuación
\begin{equation*}
z^{2}+\left( 1-2i\right) z+\left( 2+4i\right) =0.
\end{equation*}
Sea
\begin{equation*}
\delta^{2}=\triangle=\left( 1-2i\right) ^{2}-4\left( 2+4i\right) =-11-20i
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\delta \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{\sqrt{121+400}-11}{2}}-\sqrt{\frac
{\sqrt{121+400}+11}{2}}i\right] \\
\delta \amp =\pm\left[ \sqrt{\frac{\sqrt{521}-11}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt
{521}+11}{2}}i\right]
\end{array}
\end{equation*}
así tenemos que
\begin{equation*}
z=\frac{-\left( 1-2i\right) \pm\left[ \sqrt{\frac{\sqrt{521}-11}{2}}
-\sqrt{\frac{\sqrt{521}+11}{2}}i\right] }{2}
\end{equation*}
Ahora veremos algunas propiedades, de los elementos definidos
Proposición 4.2.11
Sean \(z,w\in\mathbb{C}\text{,}\) entonces:
\(\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\text{.}\)
\(\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}\text{.}\)
\(\overline{\left( \frac{z}{w}\right) }=\frac{\overline{z}} {\overline{w}}\text{.}\)
\(z+\overline{z}=2Re(z)\text{.}\)
\(z-\overline{z}=2Im(z)\cdot i\text{.}\)
\(z\cdot\overline{z}=|z|^{2}\text{.}\)
\(|z\cdot w|=|z|\cdot|w|\text{.}\)
\(\left| \frac{z}{w}\right| =\frac{|z|}{|w|}\text{,}\) con \(w\not =0\text{.}\)
\(|z+w|\leq|z|+|w|\text{.}\)
\(||z|-|w||\leq|z-w|\text{.}\)
Ejemplo 4.2.12
Simplificar
\begin{equation*}
Z=\frac{\overline{\left( 1-2i\right) }+\left| 1-3i\right| }{\left(
1+i\right) ^{2}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
Z \amp =\frac{\overline{\left( 1-2i\right) }+\left| 1-3i\right| }{\left(
1+i\right) ^{2}}\\
\amp =\frac{1+2i+\sqrt{10}}{2i}\\
\amp =1+\left( \frac{1+\sqrt{10}}{2i}\right) \\
\amp =1-\left( \frac{1+\sqrt{10}}{2}i\right)
\end{array}
\end{equation*}