Matemáticas General

Subsección 1.1.1 Conectivos

Un conectivo es un símbolo que se utilizan para formar a partir de dos proposiciones una nueva proposición, llamada proposición compuesta y el valor de verdad de ella depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman y el conectivo usado.

Los siguiente símbolos son algunos conectivos habituales:

1. La disyunción, cuyo símbolo es: \(\vee\)

   \begin{equation*} \begin{array}[c]{c|c|c} p \amp q \amp p\vee q\\\hline V \amp V \amp V\\\hline V \amp F \amp V\\\hline F \amp V \amp V\\\hline F \amp F \amp F \end{array} \end{equation*}

   La disyunción de dos proposiciones es verdadera solamente cuando al menos una de las proposiciones que la forman es verdadera. La proposición \(p\vee q\) se lee "\(p\) o \(q\)"

2. La conjunción, cuyo símbolo es: \(\wedge\)

   \begin{equation*} \begin{array}[c]{c|c|c} p \amp q \amp p\wedge q\\ \hline V \amp V \amp V\\ \hline V \amp F \amp F\\ \hline F \amp V \amp F\\ \hline F \amp F \amp F \end{array} \end{equation*}

   La conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente cuando ambas proposiciones que la forman son verdadera. La proposición \(p\wedge q\) se lee "\(p\) y \(q\)"

3. La implicación, cuyo símbolo es: \(\Rightarrow\)

   \begin{equation*} \begin{array}[c]{c|c|c} p \amp q \amp p\Rightarrow q\\\hline V \amp V \amp V\\\hline V \amp F \amp F\\\hline F \amp V \amp V\\\hline F \amp F \amp V \end{array} \end{equation*}

   La proposición \(p\Rightarrow q\) se lee "\(p\) implica \(q\)" o "si \(p\) entonces \(q\)" y es falsa solamente cuando la primera proposición (antecedente) es verdadera y la segunda proposición (consecuente) es falsa.

4. La equivalencia, cuyo símbolo es: \(\Leftrightarrow\)

   \begin{equation*} \begin{array}[c]{c|c|c} p \amp q \amp p\Leftrightarrow q\\ \hline V \amp V \amp V\\\hline V \amp F \amp F\\\hline F \amp V \amp F\\\hline F \amp F \amp V \end{array} \end{equation*}

   La proposición \(p\Leftrightarrow q\) se lee "\(p\) es equivalente a \(q\)" o "\(p\) si y sólo si \(q\)" y es verdadera solamente cuando ambas proposiciones que la forman tienen el mismo valor de verdad.

5. La disyunción exclusiva, cuyo símbolo es \(\underline{\vee}\)

   \begin{equation*} \begin{array}[c]{c|c|c} p \amp q \amp p\underline{\vee}q\\\hline V \amp V \amp F\\\hline V \amp F \amp V\\\hline F \amp V \amp V\\\hline F \amp F \amp F \end{array} \end{equation*}

   La proposición \(p\underline{\vee}q\) se lee "\(p\) o exclusivo \(q\)" y es falsa cuando ambas proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad.

Observación: Una tabla de verdad, es un arreglo donde se colocan todos la posibles combinaciones de valores de verdad. En general cuando hay \(n\) proposiciones distintas, la tabla contiene \(2^{n}\) combinaciones posibles de valores de verdad.

Observación: La proposición "\(p\Rightarrow q\)", en la literatura científica o matemáticas es frecuente encontrar otras manera en que se leen estos símbolos.

En una frase concreta, como por ejemplo "si arrojo una piedra al agua entonces hay círculos concéntricos en el agua" se puede transcribir de la siguiente manera "hay círculos concéntricos en el agua si arrojo una piedra al agua" o "hay círculos concéntricos en el agua siempre que arrojo una piedra al agua".

Negación:[\(\sim\text{;}\)].

Sea \(p\) es una proposición, la negación de \(p\) se denota por: \(\sim p \) o bien \(\overline{p}\) y se lee "no \(p\)", y su valor de verdad es el contrario de la proposición original:

Es importante destacar que \(\overline{\overline{p}}\Leftrightarrow p\text{.}\)

Recuerde: Si son \(p,q,r\) tres proposiciones entonces

1. \(pq\) no es una proposición

2. \(p\cdot q\) no es una proposición

3. \(p\wedge\vee q\) no es una proposición

4. \(p\wedge qr\) no es una proposición

Una proposición compuesta se construye usando una proposición un conectivo y otra proposición.

Observación: La siguiente expresión algebraica \(2+3\cdot5=17\) no es ambigua, ya que el producto se realiza primero y después la adición y si deseamos el otro valor lo denotamos por \((2+3)\cdot5=25\text{,}\) los paréntesis siempre entregan un orden a desarrollar. Así también para la proposición \((p\Rightarrow q)\Rightarrow r\text{,}\) para determinar el valor de verdad de ella, primero determinamos el valor de verdad de \((p\Rightarrow q)\) y luego consideramos el conectivo \(\Rightarrow\) con la proposición \(r\text{.}\)

Subsección 1.1.2 Tautologías Básicas

1. Asociatividad: Se cumple que:

   1. \(p\vee q\vee r\Leftrightarrow\left[ (p\vee q)\vee r\right] \Leftrightarrow\left[ p\vee(q\vee r)\right]. \)

   2. \(p\wedge q\wedge r\Leftrightarrow\left[ (p\wedge q)\wedge r\right] \Leftrightarrow\left[ p\wedge(q\wedge r)\right] \text{.}\)

2. Conmutatividad: Se tiene lo siguiente:

   1. \((p\vee q)\Leftrightarrow(q\vee p)\text{.}\)
   2. \((p\wedge q)\Leftrightarrow(q\wedge p).\)

3. Negación:

   1. \(\overline{\overline{p}}\Leftrightarrow p\)
   2. \((\overline{p\vee q})\Leftrightarrow(\overline{p}\wedge\overline{q}).\)
   3. \((\overline{p\wedge q})\Leftrightarrow(\overline{p}\vee\overline{q}).\)

4. Transformaciones o Traducciones:

   1. \((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(\overline{p}\vee q),\)

      además:

   2. \((p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow\lbrack(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)]\text{.}\)

5. Absorción:

   1. \([p\vee(p\wedge q)]\Leftrightarrow p.\)
   2. \([p\wedge(p\vee q)]\Leftrightarrow p.\)

6. Leyes de idempotencia:

   1. \((p\vee p)\Rightarrow p.\)
   2. \((p\wedge p)\Rightarrow p.\)

7. Leyes complementarias:

   1. \((p\vee V)\Leftrightarrow V\)
   2. \((p\wedge V)\Leftrightarrow p\)
   3. \((p\vee F)\Leftrightarrow p\)
   4. \((p\wedge F)\Leftrightarrow F\)
   5. \((p\vee \overline{p})\Leftrightarrow V\)
   6. \((p\wedge \overline{p})\Leftrightarrow F\)

8. Distributividad:

   1. \([p\vee(q\wedge r)]\Leftrightarrow\lbrack(p\vee q)\wedge(p\vee r)].\)
   2. \([p\wedge(q\vee r)]\Leftrightarrow\lbrack(p\wedge q)\vee(p\wedge r)].\)

Observación Usando las tautología anteriores podemos escribir de modo distinto la negación y la proposición, para ello consideremos lo siguiente proposición con \(x\in \mathbb{Z}\) fijo:

1. \(s:\) Si \(x^{2}\) es par entonces \(x\) es par, luego \(s\) es una proposición compuesta y esta formada por:

   \(p:x^{2}\)es par y \(q:x\) es par, así, es decir,

   \begin{equation*} s \Leftrightarrow (p \Rightarrow q) \end{equation*}

2. Veamos ahora como se puede reescribir la negación de la proposición \(s:\left( p\Rightarrow q\right) \text{,}\) para ello tenemos las siguientes equivalencia

   \begin{equation*} (\overline{p\Rightarrow q})\Leftrightarrow(\overline{\overline{p}\vee q})\Leftrightarrow(p\wedge\overline{q}), \end{equation*}

   Luego tenemos que \(\overline{s}\text{,}\) se lee

   1. \(x^{2}\) es par \(\wedge\ x \) no es par.

   2. \(x^{2}\) es par \(\wedge\ x\) impar.

   Cuando se desea demostrar la proposición \(s\text{,}\) y se demuestra que la negación es falsa, este proceso es llamado demostración por el absurdo.

3. Ahora veremos otras formas como leer la proposición \(s\text{,}\) para ello notemos las siguientes proposiciones equivalente:

   \begin{equation*} s \Leftrightarrow (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(\overline{p}\vee q)\Leftrightarrow(\overline{q}\Rightarrow\overline{p}). \end{equation*}

   1. Si \(x^{2}\) es par entonces \(x\) es par.

   2. \(x^{2}\) es par implica que \(x\) es par.

   3. Si \(x\) no es par entonces \(x^{2}\) no es par.

   4. Si \(x\) es impar entonces \(x^{2}\) es impar.

Observación: El conectivo \(\underline{\vee}\) se puede escribir empleando los tres "conectivos" primarios \(\vee,\wedge\) y \(\sim\text{.}\)

Comprobar

1. \(\overline{p}\equiv p\downarrow p\text{.}\)
2. \(p\wedge q\equiv (p\downarrow p)\downarrow(q\downarrow q).\)
3. \(p\vee q \equiv (p\downarrow q)\downarrow(p\downarrow q)).\)

Subsección 1.1.3 Cuantificadores

Sea \(\ U\) una agrupación de objetos llamado universo. Una Función Proposicional en \(U\) es una expresión o frase que contiene una o más variables que al ser reemplazadas por elementos de \(U\) se transforma en una proposición.

Los cuantificadores son símbolo, ( \(\forall, \exists, \exists!\) ), que convierten o traducen una función proposicional en una proposición del siguiente modo.

Observación: Debemos tener presente que en algunos caso es posible reemplazar todos los elementos del universo, pero en general no, por lo cual debemos hacer uso de propiedades que nos permitan argumentar a favor o en contra de la afirmación.

También es importante enfatizar en la lectura de las proposiciones, para ello veamos los siguientes ejemplos

1. La proposición \((\forall x\in \mathbb{R})(x^2 >0) \text{,}\) se lee "para todo \(x\) en los números reales, se tiene que \(x^2\) es positivo", proposición falsa, ya que para \(x=0\) no se cumple

2. La proposición \((\exists x\in \mathbb{R})(x^2 >1) \text{,}\) se lee "existe \(x\) un números reales, tal que \(x^2\) es mayor que 1", proposición verdadera, ya que para \(x=0\) se cumple

Observación: En conjunto universo \(U=\{\)los alumnos de esta clase\(\}\text{,}\) podemos construir las siguientes funciones proposiciones:

Lo anterior es debido a que, por ejemplo:

es una proposición, ya que definimos

es una función proposicional, y con ello,

es una proposición.

Luego: \(q(Eliana):((\forall y\in U)(\text{Eliana pololea con } y))\equiv F\text{,}\) pues \(y=\) María José

Además: \(p(Eliana):((\exists ! y\in U)(\text{Eliana pololea con } y))\equiv F, \) pues no existe el pololo de Eliana en la clases. (declaración personal).

En General tenemos que a partir de una función proposicional de dos variables \(p(x,y)\text{,}\) podemos fabricar funciones proposicionales de una variable, de la siguiente manera.

Con ellas podemos fabricamos las siguientes proposiciones:

1. \((\forall x\in U)((\forall y\in U)(p(x,y))\text{,}\)
2. \((\exists x\in U)((\forall y\in U)(p(x,y))\text{,}\)
3. \((\exists y\in U)((\exists x\in U)(p(x,y))\text{,}\)
4. \((\forall y\in U)((\forall y\in U)(p(x,y))\text{.}\)

Observación: El valor de verdad depende del orden de los cuantificadores.

1. \((\exists x\in U)(\forall y\in U)(x\) es hijo de \(y)\text{,}\)
2. \((\forall y\in U)(\exists x\in U)(x\) es hijo de \(y)\text{.}\)

La proposiciones anteriores no tienen el mismo sentido. En (1) afirma que, existe una persona que es hijo de todas las personas, y en (2) afirma que, todas las personas tiene un hijo.

Veamos el valor de verdad de las siguientes proposiciones

1. \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})(x+y=0)\text{,}\)
2. \((\forall y\in\mathbb{R})(\exists x\in\mathbb{R})(x+y=0)\text{.}\)

La proposiciones anteriores no tienen el mismo valor de verdad. La proposición (i) es falso, ya dado \(x=a,y=1-a,\) luego \(a+1-a=1\neq0.\) La proposición (ii) es verdadera, ya que \(y=a,x=-a\) tenemos \(-a+a=0\text{.}\)

Subsección 1.1.4 Negación

La negación de proposiciones que contienen cuantificadores podemos señalar lo siguiente:

1. \(\overline{(\forall x\in A)(p(x))}\Leftrightarrow(\exists x\in A)(\overline{p(x)}).\)
2. \(\overline{(\exists x\in A)(p(x))}\Leftrightarrow(\forall x\in A)(\overline{p(x)}).\)
3. \(\overline{(\forall x\in A)(\forall y\in B)(p(x))}\Leftrightarrow (\exists x\in A)(\exists y\in B)(\overline{p(x)}).\)
4. \(\overline{(\forall x\in A)(\exists y\in B)(p(x))} \Leftrightarrow (\exists x\in A)(\forall y\in B)(\overline{p(x)}).\)