Sección 5.2 Álgebra Polinomial
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Definición 5.2.1
Sean \(p(x)=a_{n}x^{n}+\cdot\cdot\cdot a_{0}\) y \(q(x)=b_{m}x^{m}+\cdot \cdot\cdot+b_{0}\text{,}\) entonces
-
Igualdad \(p(x)=q(x)\) si y sólo si
\(p(x)\) y \(q(x)\) tienen el mismo grado.
Los coeficientes de los respectivas términos deben ser iguales.
-
Suma supondremos que \(n\gt m\text{,}\) entonces se define
\begin{equation*}
p(x)+q(x)=a_{n}x^{n}+\cdot\cdot\cdot+a_{m+1}x^{m+1}+(a_{m}+b_{m}
)x^{m}+(a_{m-1}+b_{m-1})x^{m-1}+\cdot\cdot\cdot+(a_{0}+b_{0}),
\end{equation*}
donde
\begin{equation*}
gr(p(x)+q(x))=max(gr(p(x)),gr(q(x)))
\end{equation*}
-
Producto
\begin{equation*}
p(x)\cdot q(x)=c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+\cdot\cdot\cdot+c_{0},
\end{equation*}
donde \(r=m+n\) y además
\begin{equation*}
c_{i}=\underset{j+k=n}{\sum}a_{j}\cdot b_{k}.
\end{equation*}
Por otra parte
\begin{equation*}
gr(p(x)\cdot q(x))=gr(p(x))+gr(q(x)).
\end{equation*}
Ejemplo 5.2.2
Determine el valor de \(\alpha\) de modo que los polinomios sean iguales.
\(8x^{2} -20x-4= 8x^2+\alpha x-4 \text{,}\) son iguales cuando \(\alpha =-20\text{.}\)
\(4x^{5}+2x^{4}-x^{4}+2 = 4x^5+\alpha x^4+2 \text{,}\) son iguales cuando \(\alpha=1\text{.}\)
\(x^{4}-4x^2+ 2 =(x^2-2)(x^2-\alpha)\text{,}\) para ningún valor de \(\alpha\) son iguales ya que \(2\alpha=2 \wedge 2+\alpha=4\text{.}\)
Proposición 5.2.3
Sean \(p(x),q(x),r(x)\in \mathbb{K}[x]\text{,}\) entonces.
-
Suma
-
Asociatividad.
\begin{equation*}
p(x)+[q(x)+r(x)]=[p(x)+q(x)]+r(x)
\end{equation*}
-
Conmutatividad.
\begin{equation*}
p(x)+q(x)=q(x)+p(x)
\end{equation*}
-
Neutro existe \(0\in \mathbb{K}[x]\) tal que
\begin{equation*}
p(x)+0=p(x)=0+p(x).
\end{equation*}
-
Inverso
Dado \(p(x)\in \mathbb{K}[x],\exists q(x)\in \mathbb{K}[x]\) tal que
\begin{equation*}
p(x)+q(x)=0=q(x)+p(x),
\end{equation*}
donde \(q(x)=-p(x)=\overset{n}{\underset{i=0}{-\sum}}a_{i}x^{i}=\overset
{n}{\underset{i=0}{\sum}}(-a_{i})x^{i}\text{.}\)
-
Producto
-
Asociatividad.
\begin{equation*}
p(x)\cdot\lbrack q(x)\cdot r(x)]=[p(x)\cdot q(x)]\cdot r(x)
\end{equation*}
-
Conmutatividad).
\begin{equation*}
p(x)\cdot q(x)=q(x)\cdot p(x)
\end{equation*}
-
Neutro existe \(1\in \mathbb{K}[x]\) tal que
\begin{equation*}
1\cdot p(x)=p(x)\cdot 1 = p(x)
\end{equation*}
Los únicos polinomios que tienen inverso multiplicativo son los polinomios constantes y no nulos.
-
Distributividad
\(r(x)(p(x)+q(x))=r(x)p(x)+r(x)q(x)\text{,}\)
\((p(x)+q(x))r(x)=p(x)r(x)+q(x)r(x)\text{,}\)
Ejemplo 5.2.4
Determine el valor de \(A,B,C\) de modo que los polinomios sean iguales.
\begin{equation*}
5x^{2} -2x-3= A(x-1)^2+B(x-1)+C
\end{equation*}
dado la igualdad polinomial
\begin{equation*}
5x^{2} -2x-3= A(x-1)^2+B(x-1)+C
\end{equation*}
desarrollemos el polinomio de la izquierda
\(\begin{array}{rcl}
A(x-1)^2+B(x-1)+C \amp =\amp A(x^2-2x+1)+ B(x-1)+C\\
\amp =\amp Ax^2-2Ax+A+ Bx-B+C\\
\amp =\amp Ax^2+(-2A+B)x+(A-B+C)\\
\end{array}\)
Igualando coeficiente tenemos que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl|}
A\amp =\amp 5\\
-2A+B\amp =\amp -2\\
A-B+C\amp =\amp 3 \\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
Luego tenemos que \(A=5, B=8, C=6\text{.}\)
Observación: En resumen, con esta propiedades se tiene que \((\mathbb{K}[x],+,\cdot)\) es un anillo conmutativo con unidad.
Una propiedad adicional que tenemos en \((\mathbb{K}[x],+,\cdot)\) es la de cancelación
Proposición 5.2.5
Sean \(p(x)\in \mathbb{K}[x]\text{,}\) no nulo y \(q(x),r(x)\in \mathbb{K}[x]\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
p(x)q(x)=p(x)r(x) \Rightarrow q(x)=r(x)
\end{equation*}
Proposición 5.2.6
Sean \(p(x),q(x)\in \mathbb{K}[x]\text{,}\) no nulos entonces
- \(gr(p(x)+q(x)) \leq \max\{ gr(p(x)),gr(q(x))\}. \)
- \(gr(p(x)\cdot q(x))= gr(p(x))+ gr(q(x)).\)
