Sección 4.1 Nociones Básicas
¶En este capítulo mostraremos los números complejos, e introduciremos los principales representaciones de ellos su forma cartesiana y su forma polar. Cada una de ellas nos permite resolver problemas algebraicos de mejor manera.
Definición 4.1.1
Sean \((a,b),(c,d)\in\mathbb{R\times R}\text{,}\) se define la suma y multiplicación como sigue
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
(a,b)+(c,d) \amp =\left( a+c,b+d\right) \\
(a,b)\cdot(c,d) \amp =\left( ac-bd,ad+cb\right)
\end{array}
\end{equation*}
por ejemplo tenemos
\(\left( 0,1\right) \cdot\left( 0,1\right) =\left( 0\cdot0-1\cdot
1,0\cdot1+1\cdot0\right) =(-1,0)\)
Notación: Emplearemos la notación
\begin{equation*}
(a,b)=a+bi
\end{equation*}
llamada forma binomial de número complejo, además tenemos los acuerdos habituales, es decir, si anteponemos un cero se omite la expresión y si no hay número delante de la \(i\) se subentiende que es un uno, como por ejemplo
- \(\left( 1,1\right) =1+1i=1+i\)
- \(\left( 0,1\right) =0+1i=i\)
- \(\left( -1,0\right) =-1+0i=-1\)
Reescribiendo el ejemplo anterior tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\left( 0,1\right) \cdot\left( 0,1\right) \amp =(-1,0)\\
i\cdot i \amp =-1\\
i^{2} \amp =-1
\end{array}
\end{equation*}
Proposición 4.1.2
El conjunto \(\mathbb{R}^{2}\) con la suma y multiplicación definida anteriormente es un cuerpo, llamado el cuerpo de los números complejos y se denota por \(\mathbb{C}\text{.}\)
De otro modo, sean \(z,u,w\in\mathbb{C}\text{,}\) entonces se cumple
-
Suma.
\((z+u)+w=z+(u+w)\text{.}\)
\(z+0=0+z=z\text{.}\)
\(z+(-z)=0\text{,}\) donde \(-z=(-a)+(-b)i\text{,}\) con \(z=a+bi\text{.}\)
\(z+w=w+z\text{.}\)
Notación: denotamos por
\begin{equation*}
-(a+bi)= (-a)+(-b)i= -a-bi
\end{equation*}
-
Multiplicación.
\((zu)w=z(uw)\text{.}\)
\(1z=z1=z\text{.}\)
-
Si \(z=a+bi\not =0\text{,}\) entonces \(zw=1\text{,}\) donde
\begin{equation*}
w=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}i.
\end{equation*}
\(zw=wz\)
Notación: denotamos por
\begin{equation*}
(a+bi)^{-1} = \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}i=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi).
\end{equation*}
-
Distributividad.
\begin{equation*}
z(u+w)=zu+zw,
\end{equation*}
Observación: Con las notaciones anteriores tenemos en particular que
\begin{equation*}
\frac{a+bi}{c+di} = (a+bi)(c+di)^{-1} = \frac{1}{c^{2}+d^{2}}(a+bi)(c-di).
\end{equation*}
Definición 4.1.3
La potencia multiplicativa esta definida por recurrencia, sea \(n\in \mathbb{N}, z\in \mathbb{C}\) entonces
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
z^0\amp =\amp 1, \text{ con } z\neq 0 \\
z^1\amp =\amp z \\
z^{n+1}\amp =\amp z^n\cdot z
\end{array}
\end{equation*}
además si \(z\neq 0\) entonces \(z^{-n}= (z^{-1})^n\text{.}\)
Ejemplo 4.1.4
Simplificar \((1+2i)(1-3i)\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
(1+2i)(1-3i) \amp = \amp 1(1-3i)+2i(1-3i)\\
\amp = \amp 1-3i+2i-6i^{2}\\
\amp = \amp 1-3i+2i+6\\
\amp = \amp 7-i.
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 4.1.5
Simplificar \((3-5i)^{2}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
(3-5i)^{2} \amp =\amp 9-30i+25i^2 \\
\amp =\amp 9-30i-25 \\
\amp =\amp -16-30i
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 4.1.6
Simplificar \((a+bi)^{2}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
(a+bi)^{2} \amp =\amp \left( a+bi\right) (a+bi) \\
\amp =\amp a^{2}+abi+bai+bibi\\
\amp =\amp a^{2}+2abi+b^{2}i^{2} \\
\amp =\amp a^{2}-b^{2}+2abi
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 4.1.7
Calcular \((1-2i)^{-1}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
(1-2i)^{-1} \amp =\frac{1}{\left( 1\right) ^{2}+\left( -2\right) ^{2}
}-\frac{-2}{\left( 1\right) ^{2}+\left( -2\right) ^{2}}i\\
\amp =\frac{1}{1+4}+\frac{2}{1+4}i\\
\amp =\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i
\end{array}
\end{equation*}
Subsección Ejercicios
Comprobar que \((3-5i)^{3}=-198-10i\)
