Sección 2.5 Teorema del Binomio
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Definición 2.5.1
Sean \(n,r\in\mathbb{N}\text{,}\) tal que \(n\geq r\text{,}\) entonces se define el Número Binomial \(n\) sobre \(r\) como
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}[c]{l}
n\\
r
\end{array}
\right) =\frac{n!}{r!(n-r)!}.
\end{equation*}
Ejemplo 2.5.2
Calcular los siguientes valores
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}[c]{l}
3\\
1
\end{array}
\right); \left(
\begin{array}
[c]{l}
3\\
2
\end{array}
\right)
\end{equation*}
Solución:
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\left(
\begin{array}[c]{l}
3\\
1
\end{array}
\right) \amp =\frac{3!}{1!(3-1)!}=\frac{6}{2}=3.\\
\left(
\begin{array}[c]{l}
3\\
2
\end{array}
\right) \amp =\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{6}{2}=3.
\end{array}
\end{equation*}
Proposición 2.5.3
Sean \(n,k\in \mathbb{N}\) tal que \(k\lt n\text{,}\) entonces
\(\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
0
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
n
\end{array}
\right)=1 \)
\(\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
1
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
n-1
\end{array}
\right)=n \)
\(\left(
\begin{array}
[c]{c}
n\\
k
\end{array}
\right) + \left(
\begin{array}
[c]{c}
n\\
k+1
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}
[c]{c}
n+1\\
k+1
\end{array}
\right) \)
Demostración
Sean \(n,k\in \mathbb{N}\) tal que \(k\lt n\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
\begin{array}{rl} \left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k
\end{array}
\right) + \left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k+1
\end{array}
\right) \amp = \left( \frac{ n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}
\right)\\ \amp = \frac{ n!}{k!(n-k-1)!} \left( \frac{
1}{n-k}+\frac{1}{k+1} \right)\\ \amp = \frac{ n!}{k!(n-k-1)!} \left(
\frac{ n+1}{(n-k)(k+1)} \right)\\ \amp = \frac{ (n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}
\\ \amp = \left(
\begin{array}[c]{c}
n+1\\
k+1
\end{array}\right)
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 2.5.4
Usemos la propiedad anterior para calcular
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}
[c]{l}
3\\
1
\end{array}
\right) + \left(
\begin{array}
[c]{l}
3\\
2
\end{array}
\right)
\end{equation*}
Por la propiedad anterior tenemos que
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}[c]{l}
3\\
1
\end{array}
\right) + \left(
\begin{array}
[c]{l}
3\\
2
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}
[c]{l}
4\\
2
\end{array}
\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
6=3+3=\left(
\begin{array}
[c]{l}
4\\
2
\end{array}
\right)
\end{equation*}
Teorema 2.5.5 [del Binomio]
Sean \(a,b\in\mathbb{R}^{\ast}\text{,}\) y \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
(a+b)^{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n-k}\cdot b^{k}.
\end{equation*}
Ejemplo 2.5.6
Calcularemos \((a+b)^{3}\text{.}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
(a+b)^{3} \amp =\overset{3}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{l}
3\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{3-k}\cdot b^{k}\\
\amp =\left(
\begin{array}
[c]{l}
3\\
0
\end{array}
\right) \cdot a^{3}+\left(
\begin{array}
[c]{l}
3\\
1
\end{array}
\right) \cdot a^{2}\cdot b+\left(
\begin{array}
[c]{l}
3\\
2
\end{array}
\right) \cdot a\cdot b^{2}+\left(
\begin{array}
[c]{l}
3\\
3
\end{array}
\right) \cdot b^{3}\\
\amp =a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.
\end{array}
\end{equation*}
Demostración del Teorema del Binomio.
Sean \(a,b\in\mathbb{R}^{\ast}\text{,}\) y \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
p(n):(a+b)^{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n-k}\cdot b^{k}.
\end{equation*}
luego verifiquemos \(p(1)\text{,}\) para ello
\begin{equation*}
\begin{array}{rl} p(1)=
(a+b)^{1}\amp =\overset{1}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{c}
1\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{1-k}\cdot b^{k}\\ \amp =\left(
\begin{array}
[c]{l}
1\\
0
\end{array}
\right) \cdot a^{1-0}\cdot b^{0}+\left(
\begin{array}[c]{c}
1\\
1
\end{array}
\right) \cdot a^{1-1}\cdot b^{1}\\ \amp = a^{1}b^0+a^0b^1
\end{array}
\end{equation*}
luego \(p(1)\) es verdadero.
ii) Hipótesis \(p(n)\text{.}\) Tesis \(p(n+1)\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
(a+b)^{n+1}\amp =(a+b)^n (a+b)\\ \amp =
\left(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n-k}\cdot b^{k}\right)(a+b) \\ \amp =
\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n+1-k}\cdot
b^{k}+\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n-k}\cdot b^{k+1} \\ \amp =
a^{n+1}+\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n+1-k}\cdot
b^{k}+\overset{n+1}{\underset{k=1}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k-1
\end{array}
\right) \cdot a^{n+1-k}\cdot b^{k}+b^{n+1} \\ \amp =
a^{n+1}+\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}\left(\left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k
\end{array}
\right) +\left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k-1
\end{array}
\right) \right) \cdot a^{n+1-k}\cdot b^{k}+b^{n+1}
\\ \amp =
a^{n+1}+\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{c}
n+1\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n+1-k}\cdot b^{k}+b^{n+1}
\\ \amp =
\overset{n+1}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{c}
n+1\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n+1-k}\cdot b^{k}
\end{array}
\end{equation*}
Así tenemos que \(p(n+1)\) es verdadero, luego \((\forall n \in
\mathbb{N} )(p(n) \Rightarrow p(n+1)) \) se cumple, por teorema de inducción tenemos el teorema del binomio.
Observación: El término de lugar \(k\)-ésimo de \((a+b)^{n}\) es
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}[c]{c}
n\\
k-1
\end{array}
\right) \cdot a^{n-k+1}\cdot b^{k-1}.
\end{equation*}
Ejemplo 2.5.7
Calcular \(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
k
\end{array}
\right) .\)
Por teorema del binomio tenemos
\begin{equation*}
(a+b)^{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{n-k}\cdot b^{k}.
\end{equation*}
luego
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
k
\end{array}
\right) \amp =\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot1^{n-k}\cdot1^{k}\\
\amp =(1+1)^{n}\\
\amp =2^{n}
\end{array}
\end{equation*}
Subsección Ejercicios
Calcular \(\overset{18}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{l}
18\\
k
\end{array}
\right) \cdot2^{18+k}.\) tenga presente lo siguiente
\begin{equation*}
(1+a)^{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}
[c]{l}
n\\
k
\end{array}
\right) \cdot a^{k}.
\end{equation*}
Ejemplo 2.5.8
Determinar el coeficiente de \(x^{11}\) y \(x^{4}\) en el desarrollo de \((x^{2}-\frac{3}{x})^{16}\)
Expresemos el desarrollo del binomio, simplificado
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\left( x^{2}-\frac{3}{x}\right) ^{16} \amp =\overset{16}{\underset{k=0}{\sum
}}\left(
\begin{array}[c]{c}
16\\
k
\end{array}
\right) \cdot\left( x^{2}\right) ^{16-k}\cdot\left( \frac{-3}{x}\right)
^{k}\\
\amp =\overset{16}{\underset{k=0}{\sum}}\left(
\begin{array}[c]{c}
16\\
k
\end{array}
\right) \cdot x^{32-3k}\cdot\left( -3\right) ^{k}
\end{array}
\end{equation*}
a) Para determinar el coeficiente de \(x^{11}\) debemos determinar el valor de \(k\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
32-3k \amp =11\\
21 \amp =3k\\
k \amp =\frac{21}{3}=7\in\mathbb{N}\cap[0,16]
\end{array}
\end{equation*}
luego el coeficiente \(x^{11}\) es
\begin{equation*}
\left(\begin{array}[c]{c}
16\\ 7
\end{array}\right)
\cdot\left( -3\right) ^{7}=\frac{16!}{7!9!}\left( -3\right)
^{7}=-25\,019\,280
\end{equation*}
b) Análogamente para determinar el coeficiente de \(x^{4}\) debemos determinar el valor de \(k\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
32-3k \amp =4\\
28 \amp =3k\\
k \amp =\frac{28}{3}\notin\mathbb{N\cap\lbrack}0,16]
\end{array}
\end{equation*}
luego el coeficiente \(x^{4}\) es cero.
Caso General del Teorema del Binomio
Sean \(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{r}\in\mathbb{R}^{\ast}\text{,}\) y \(n\in\mathbb{N}
^{\ast}\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{r})^{n}=\overset{}{\underset{
\begin{array}[c]{c}
n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{r}\in\mathbb{N}\\
n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{r}=n
\end{array}}{\displaystyle \sum}}\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{r}!}a_{1}^{n_{1}}a_{2}^{n_{2}}a_{3}
^{n_{3}}...a_{r}^{n_{r}}.
\end{equation*}
Ejemplo 2.5.9
Determinar el coeficiente de \(x^{4}\) en el desarrollo de \((2-x^{2}-3x)^{6}\)
Sean \(a,b,c\in\mathbb{N},\) luego
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
(1-x^{2}-3x)^{6} \amp =\overset{}{\underset{a+b+c=6}{\sum}}\frac{6!}
{a!b!c!}\cdot\left( 2\right) ^{a}\left( -x^{2}\right) ^{b}\cdot\left(
-3x\right) ^{c}\\
\amp =\overset{}{\underset{a+b+c=6}{\sum}}\frac{6!}{a!b!c!}\left( 2\right)
^{a}\left( -1\right) ^{b}\cdot x^{2b+c}\cdot\left( -3\right) ^{c}
\end{array}
\end{equation*}
Para determinar el coeficiente de \(x^{41}\) debemos determinar los valores de \(a,b,c\)
\begin{equation*}
\begin{array}
[c]{lll|}
a+b+c \amp = \amp 6\\
2b+c \amp = \amp 4\\\hline
\end{array}
\end{equation*}
despejando las variables \(a,c\) tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{lll|}
a \amp = \amp 2+b\\
c \amp = \amp 4-2b\\\hline
\end{array}
\end{equation*}
es decir, construyamos una tabla con las posibilidades
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{|c|c|c|}\hline
a \amp b \amp c\\ \hline
2+b \amp b \amp 4-2b \\ \hline\hline
2 \amp 0 \amp 4\\ \hline
3 \amp 1 \amp 2\\ \hline
4 \amp 2 \amp 0\\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
luego el coeficiente \(x^{4}\) es
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\amp \frac{6!}{2!0!4!}\left( 2\right) ^{2}\left( -1\right) ^{0}\left(
-3\right) ^{4}+\frac{6!}{3!1!2!}\left( 2\right) ^{3}\left( -1\right)
^{1}\left( -3\right) ^{2}+\frac{6!}{4!2!0!}\left( 2\right) ^{4}\left(
-1\right) ^{2}\left( -3\right) ^{0}\\
\amp =4860-4320+240=780
\end{array}
\end{equation*}
