Sección 3.4 Funciones
¶Sea \(\mathcal{R}\) una relación en \(A\text{,}\) se dice que \(\mathcal{R}\) es una función si y sólo si
\begin{equation*}
(\forall x,y,z \in A)( [x\mathcal{R} y \wedge x \mathcal{R} z] \Rightarrow y=z)
\end{equation*}
Sea \(A=\{a,b,c\}\text{,}\) y la relación
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\{(a,a),(a,b),(b,c)\}.
\end{equation*}
en \(A\text{.}\) Determinar si \(\mathcal{R}\) es una función.
La relación \(\mathcal{R}\) no es una función, ya que la proposición
\begin{equation*}
[a\mathcal{R}a \wedge a\mathcal{R}b ]\Rightarrow a=b
\end{equation*}
es falsa.
Recuerde que una proposición con cuantificador universal basta un caso falso, para que sea la proposición sea falsa.
Subsección Ejercicios
La relación
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\quad : \quad |x-y|\lt3\}
\end{equation*}
en \(\mathbb{N}\text{.}\) Determinar si \(\mathcal{R}\) es una función.
Proposición 3.4.2
Sea \(\mathcal{R}\) una relación en \(A\text{,}\) entonces
\(\mathcal{R}\) es una función si y sólo si \(|\mathcal{ R}(a)| \leq 1 \text{,}\) para todo \(a \in A\)
donde \(\mathcal{R}(a) = \{b \in A \ : \ a \mathcal{ R} b \}\)
Note que el si \(\mathcal{R}\) una relación en \(A\) y \(B\subseteq A\) entonces se puede definir
\begin{equation*}
\mathcal{R}(B) = \{c \in A \ :\ (\exists a\in B)(\ a \mathcal{
R} c) \}
\end{equation*}
Definición 3.4.3
Sea \(\mathcal{R}\) una relación en \(A\text{,}\) entonces
-
Dominio.
El elemento \(a \in A \) pertenece al dominio de la función si y sólo si existe \(b\in A\) tal que \(a\mathcal{R}b\text{,}\) es decir, el dominio es el siguiente conjunto
\begin{equation*} Dom (\mathcal{R})= \{ a\in A \ :\ (\exists b\in A ) (a\mathcal{R}b)\ \}. \end{equation*} -
Recorrido.
El elemento \(b \in A \) pertenece al recorrido de la función si y sólo si existe \(a\in A\) tal que \(a\mathcal{R}b\text{,}\) es decir, el recorrido es el siguiente conjunto
\begin{equation*} Rec(\mathcal{R})= \{ b\in A \ :\ (\exists a\in A ) (a\mathcal{R}b)\ \}. \end{equation*}
Ejemplo 3.4.4
Sea \(A=\{a,b,c\}\text{,}\) y la relación
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\{(a,a),(a,c),(b,c)\}.
\end{equation*}
en \(A\text{.}\) Determinar el recorrido y dominio de la relación.
En este caso el dominio es \(Dom(\mathcal{R})= \{a,b\}\) y su recorrido es \(Rec(\mathcal{R})=\{a,c\}\text{.}\)
Subsección Ejercicios
La relación
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\ : \ |x-y|\lt3\}
\end{equation*}
en \(\mathbb{N}\text{.}\) Determinar el recorrido y dominio de la relación.
Definición 3.4.5
Sea \(\mathcal{R}\) una relación en \(A\text{,}\) se define la relación inversa como el conjunto
\begin{equation*}
\mathcal{R}^{-1}= \{ (a,b)\in A \times A \ :\ (b,a)\in \mathcal{R} \ \}.
\end{equation*}
Ejemplo 3.4.6
Sea \(A=\{a,b,c\}\text{,}\) y la relación
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\{(a,a),(a,c),(b,c)\}.
\end{equation*}
en \(A\text{.}\) Determinar la relación inversa de \(\mathcal{R}\text{.}\)
La relación inversa es
\begin{equation*}
\mathcal{R}^{-1}=\{(a,a),(c,a),(c,b)\}.
\end{equation*}
Proposición 3.4.7
Sea \(\mathcal{R}\) una relación en \(A\text{,}\) entonces se tiene
\begin{equation*}
Dom(\mathcal{R}^{-1})=Rec(\mathcal{R});
\ \ \ \
Rec(\mathcal{R}^{-1})=Dom(\mathcal{R})
\end{equation*}
Definición 3.4.8
Sean \(\mathcal{R}, \mathcal{S}\) dos relaciones en \(A\text{,}\) se define la compuesta de las relaciones al conjunto
\begin{equation*}
\mathcal{R} \circ \mathcal{S}= \{ (a,b)\in A \times A \ :\ (\exists c\in A ) (a\mathcal{S}c \wedge c \mathcal{R}b) \ \}.
\end{equation*}
Ejemplo 3.4.9
Sea \(A=\{a,b,c\}\text{,}\) y las relaciones
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\{(a,a),(a,c),(b,c)\}, \ \ \
\mathcal{S}=\{(b,a),(b,c),(c,a\}
\end{equation*}
en \(A\text{.}\) Determinar las relaciones de las siguientes compuestas \(\mathcal{R} \circ \mathcal{S}\) y \(\mathcal{S} \circ \mathcal{R}\text{.}\)
En primer lugar veremos \(\mathcal{R} \circ \mathcal{S}\text{,}\) para ello, el primer elemento en \(\mathcal{S}\) es \((b,a)\text{,}\) notemos lo siguiente \((b,a) \in \mathcal{S} \wedge (a,a) \in \mathcal{R}\) luego \((b,a) \in \mathcal{R} \circ \mathcal{S}\text{,}\)
De forma similar, \((b,a) \in \mathcal{S} \wedge (a,c) \in \mathcal{R}\) luego \((b,c) \in \mathcal{R} \circ \mathcal{S}\text{,}\) no hay otro elemento en \(\mathcal{R}\) que tenga primer coordenada \(a\text{.}\)
Si continuamos con el segundo elemento de \(\mathcal{S}\) es decir,\((b,c)\) del mismo modo, nos encontramos que no existe elemento en \(\mathcal{R}\) que tenga primer coordenada \(c\text{.}\)
Para el último elemento de \(\mathcal{S}\) es decir,\((c,a)\text{,}\) encontramos que los elementos en \(\mathcal{R}\) que tenga primer coordenada \(a\) son \((a,a),(a,c)\text{,}\) con ellos construimos los elementos \((c,a),(c,c)\text{.}\)
Revisando todos los casos obtenemos
\begin{equation*}
\mathcal{R} \circ \mathcal{S}=\{(b,a), (b,c), (c,a), (c,c) \}
\end{equation*}
Análogamente calculamos
\begin{equation*}
\mathcal{S} \circ \mathcal{R}=\{(a,a), (b,a)\}
\end{equation*}
Definición 3.4.10
Sea \(\mathcal{R}\) una relación en \(A\text{.}\)
Se dice que \(\mathcal{R}\) es biyectiva si y sólo si \(\mathcal{R}^{-1} \) y \(\mathcal{R}\) son funciones
Ejemplo 3.4.11
Dada la relación
\begin{equation*}
\mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{R\times R\quad}: \quad 2x+3y=xy\}.
\end{equation*}
en \(\mathbb{R}\text{.}\)
Determinar el dominio, recorrido de la relación.
Determine si \(\mathcal{R}\) es biyectiva
Determinar \(\mathcal{R}^{-1}\)
Veamos el Dominio, sea \(x \in \mathbb{R}\text{,}\) luego debe existe \(y\in \mathbb{R}\) tal que \(x \mathcal{R} y\text{,}\) es decir, \(2x+3y=xy\text{,}\) luego \(y(3-x)=2x\text{,}\) podemos encontrar el valor de \(y\) si \(x \neq 3\text{.}\)
Notemos que si \(x=3\text{,}\) luego obtenemos \(6+3y=3y\text{,}\) lo cual es imposible.
\begin{equation*}
Dom(\mathcal{R})=\{x \in \mathbb{R} \ : \ x \neq 3 \}= \mathbb{R}-\{3\}
\end{equation*}
Note que el valor de \(y\) es único, luego \(\mathbb{R}\) es una función.
El recorrido lo obtenemos, sea \(y \in \mathbb{R}\text{,}\) luego debe existe \(x\in \mathbb{R}\) tal que \(x \mathcal{R} y\text{,}\) es decir, \(2x+3y=xy\text{,}\) luego \(x(2-y)=3y\text{,}\) podemos encontrar el valor de \(x\) si \(y \neq 2\text{.}\)
Análogamente si \(y=2\text{,}\) luego obtenemos \(2x+6=2x\text{,}\) lo cual es imposible.
\begin{equation*}
Rec(\mathcal{R})=\{y \in \mathbb{R} \ : \ y \neq 2 \}= \mathbb{R}-\{2\}
\end{equation*}
De forma similar el valor de \(x\) es único, luego \(\mathcal{R}^{-1}\) es una función, por lo tanto \(\mathbb{R}\) es biyectiva.
La relación inversas esta dada por
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\mathcal{R}^{-1}\amp =\amp \{(a,b)\in\mathbb{R\times R\quad}: \mathbb{\quad} b \mathcal{R}a \} \\
\amp =\amp \{(a,b)\in\mathbb{R\times R\quad}: \mathbb{\quad} 2b+3a=ba \} \\
\amp =\amp \{(x,y)\in\mathbb{R\times R\quad}: \mathbb{\quad} 2y+3x=yx \}.
\end{array}
\end{equation*}