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Sección 2.1 Construcción de los Naturales

Existe variadas construcciones de los números naturales, la que en este texto se describirá, tiene como punto de partida la existencia de los números reales, y a continuación se definirán los conjuntos inductivos, que pueden ser definido a partir de cualquier número real, con el afán de mantener lo más operativa la definición, iniciamos desde cero, aunque estoy consiente de la controversia que existe, si el cero es un numero natural, pero con el fin de que muchas formulas sean mas fáciles de escribir lo incluimos.

Definición 2.1.1

Sea \(A\) un subconjunto de los números \(\mathbb{R}\text{,}\) se dice que \(A\) es inductivo si y sólo si sucede dos cosas:

  1. \(0\in A\text{.}\)
  2. \((\forall x\in A)(x+1\in A).\)

Demostrar que \(A=[-1,\infty\lbrack\) es inductivo.

Solución 1

i) Dado que \(0\geq-1\text{,}\) tenemos que \(0\in\lbrack-1,\infty\lbrack = A\text{.}\)

ii) Sea \(x\in A\text{,}\) luego

\begin{equation*} \begin{array} [c]{ll} x\geq-1 \amp \\ x+1\geq0 \amp \wedge\quad0\geq-1\\ x+1\geq-1 \amp . \end{array} \end{equation*}

Entonces \(x+1\in\lbrack-1,\infty\lbrack = A\text{.}\)

Así se cumple que \((\forall x\in A)(x+1\in A)\text{.}\)

Luego hemos demostrado que \(A\) es un conjunto inductivo.

Los siguientes conjuntos no son inductivos.

  1. \(A=\{-3\}\text{,}\) ya que \(0\notin A.\)

  2. \(A=]-\infty,-2]\text{,}\) ya que \(0\notin A.\)

  3. \(A=[-1,4]\text{,}\) se tiene que \(0\in A\text{,}\) pero \((4\in A\Rightarrow5\in A)\) es falsa.

Subsección Ejercicios

Sea el conjunto \(A=[-1/2,\infty\lbrack-\{\sqrt{2}\}\text{.}\)

Determine si \(A\) es un conjunto inductivo.

Definición 2.1.4

Sea \(I\) el conjunto formado por todos los subconjuntos inductivos de los números Reales.

Se define, el conjunto de los naturales \(\mathbb{N}\text{,}\) como la intersección de todos los conjuntos inductivos, es decir,

\begin{equation*} \mathbb{N}=\underset{M\in I}{\cap}M. \end{equation*}

La definición anterior, lleva implícito que el conjunto de los números Naturales es el más pequeño de los conjuntos inductivos

Sea

\begin{equation*} A=\{ n\in \mathbb{N} \ |\ p(n) \} \end{equation*}

Demostraremos que \(A\) es inductivo, en primer lugar tenemos \(0\in A\text{,}\) ya que \(p(0)\) es verdadero.

Para la segunda condición, supongamos que \(k\in A\) luego \(p(k)\) es verdadero y como se cumple que

\begin{equation*} (\forall n\in\mathbb{N})(p(n)\Rightarrow p(n+1)) \end{equation*}

es verdadero, por lo tanto \(p(k+1)\) es verdadero, de los cual obtenemos que \(k+1\in A\text{.}\)

Así \(A\) es inductivo, de ello obtenemos que

\begin{equation*} \mathbb{N} \subseteq A, \end{equation*}

pero además por definición de \(A\) se tiene que \(A\subseteq \mathbb{N}\text{.}\) Luego tenemos que

\begin{equation*} A = \mathbb{N} \end{equation*}

por lo tanto

\begin{equation*} (\forall n\in\mathbb{N})(p(n)). \end{equation*}

Veamos una aplicación del anterior resultado, consideremos el siguiente arreglo

\begin{equation*} \underset{n+1\text{ columnas}}{\left. \underbrace{ \begin{array}[c]{cccccc} \ast \amp + \amp + \amp + \amp \cdots \amp +\\ \ast \amp \ast \amp + \amp + \amp \amp +\\ \ast \amp \ast \amp \ast \amp + \amp \cdots \amp +\\ \vdots \amp \amp \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots\\ \ast \amp \ast \amp \ast \amp \ast \amp \cdots \amp + \end{array} }\right\} \text{ }n}\text{ filas} \end{equation*}

El contar cuántos casilleros hay con los símbolos \(+\) o \(\ast\) hay en cada caso, lo podemos relacionar con la siguiente sucesión de números naturales

\begin{equation*} \begin{array}{rl} a_{0} \amp =0\\ a_{1} \amp =0+1\\ a_{2} \amp =0+1+2\\ a_{n} \amp =a_{n-1}+n \end{array} \end{equation*}

lo que es igual a calcular la siguiente suma \(1+2+3+...+n\text{.}\)

La cantidad total de casilleros es \(n(n+1)\) y en ellos existe la misma cantidad de signos \(+\) y \(\ast\text{.}\)

\begin{equation*} 1+2+3+...+n =\frac{n(n+1)}{2}. \end{equation*}

Para asegúranos que nuestra deducción es correcta, definamos la siguiente función proposicional

\begin{equation*} p(n):0+1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \end{equation*}

luego

  1. \(p(0):0=\frac{0(0+1)}{2}=0,\)
  2. \(p(1):1=\frac{1(1+1)}{2}=1,\)
  3. \(p(2):1+2=\frac{2\cdot3}{2},\)
  4. \(p(3):1+2+3=\frac{3\cdot4}{2}.\)

Lo cual no es suficiente, para saber que la proposición es válida en todos los números Naturales.

Demostrar mediante inducción que

\begin{equation*} (\forall n\in\mathbb{N})(0+1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}) \end{equation*}
Solución 2

Definiremos \(p(n)\) a la siguiente función proposicional

\begin{equation*} p(n):0+1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \end{equation*}

i) \(p(0):0=\frac{0(0+1)}{2}\text{,}\) es verdadero.

ii) \((\forall n\in\mathbb{N})(p(n)\Rightarrow p(n+1))\text{.}\)

Supongamos que \(p(n)\) es verdadero y queremos demostrar que \(p(n+1)\) también es verdadero.

Sea

\begin{equation*} p(n):0+1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \end{equation*}

luego debemos demostrar que

\begin{equation*} p(n+1):0+1+2+\ldots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}, \end{equation*}

de donde

\begin{equation*} \begin{array} [c]{lll} 0+1+2+\ldots+(n+1) \amp = \amp \underset{\frac{n(n+1)}{2}}{\underbrace{0+1+2+\ldots+(n-1)+n} }+(n+1)\\ \amp \amp \\ \amp = \amp \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\ \amp \amp \\ \amp = \amp \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\ \amp \amp \\ \amp = \amp \frac{(n+1)(n+2)}{2}, \end{array} \end{equation*}

es decir \(p(n+1)\) es verdadero, por ello

\begin{equation*} (\forall n\in\mathbb{N})(p(n)\Rightarrow p(n+1)) \end{equation*}

es verdadero y por teorema de inducción se obtiene,

\begin{equation*} (\forall n\in\mathbb{N})(0+1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}). \end{equation*}

Subsección Ejercicios

Demostrar por inducción.

  1. \((\forall n\in\mathbb{N})(2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1).\)
  2. \((\forall n\in\mathbb{N})(n+(n+1)+\ldots+(2n)=\frac{3}{2}n(n+1)).\)
  3. \((\forall n\in\mathbb{N})(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac {1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}).\)

Observación: Recordemos la noción de múltiplos.

i) \(6\) es múltiplo de \(2\text{,}\) ya que

\begin{equation*} 6=2\cdot3. \end{equation*}

ii) \(x\) es múltiplo de \(3\text{,}\) si y sólo si

\begin{equation*} x=3\cdot y,\quad(y\in\mathbb{Z}). \end{equation*}

iii) \(x\) es múltiplo de \(y\text{,}\) es equivalente a escribir

\begin{equation*} (\exists k\in\mathbb{Z})(x=yk). \end{equation*}

Finalmente denotamos \(x=\overset{\cdot}{y}\text{,}\) que es equivalente a decir, \(x\) es múltiplo de \(y\text{.}\)

Demuestre que \((\forall n\in\mathbb{N})(4^{n}-1=\overset{\cdot}{3})\text{.}\)

Solución 3

Definamos como \(p(n):4^{n}-1=\overset{\cdot }{3}\text{,}\) entonces

i) veamos que sucede con \(p(0)\text{:}\)

\begin{equation*} p(0):4^{0}-1=1-1=0=3\cdot0. \end{equation*}

ii) Supongamos que \(p(n)\) es verdadero, es decir:

\begin{equation*} p(n):4^{n}-1=\overset{\cdot}{3}, \end{equation*}

por demostrar que \(p(n+1)\) es verdadero, donde

\begin{equation*} p(n+1):4^{n+1}-1=\overset{\cdot}{3}. \end{equation*}

Luego

\begin{equation*} \begin{array} [c]{lll} 4^{n+1}-1 \amp = \amp 4(4^{n}-1+1)-1\\ \amp = \amp 4(3k+1)-1\\ \amp = \amp 3(4k)+4-1\\ \amp = \amp 3(4k)+3\\ \amp = \amp 3(4k+1)\\ \amp = \amp \overset{\cdot}{3}. \end{array} \end{equation*}

Así \(p(n+1)\) es verdadero. Luego

\begin{equation*} (\forall n\in\mathbb{N})(p(n)\Rightarrow p(n+1)) \end{equation*}

se cumple y por teorema de inducción tenemos que, \((\forall n\in\mathbb{N})(4^{n}-1=\overset{\cdot }{3})\)

Subsección Ejercicios

Demostrar por inducción.

i) \((\forall n\in\mathbb{N})((13)^{n}-7^{n}=\overset{\cdot }{6})\text{.}\)

ii) \((\forall n\in\mathbb{N})((11)^{n+1}+2^{n}=\overset{\cdot }{3})\text{.}\)

iii) \((\forall n\in\mathbb{N^*})((14)^{n}+8^{n}+(-4)^{n}=\overset{\cdot }{6})\text{.}\)