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Sección 4.4 Guía Ejercicios

  1. Expresar los siguientes complejos en la forma cartesiana \(a+bi\)

    1. \((2+3i)+(-1-2i)\)
    2. \((-1+i)(3-2i)\)
    3. \((1+i)(1-i)\)
    4. \(\dfrac{1}{i}\)
    5. \(\dfrac{1}{1-i}\)
    6. \(\dfrac{3-i}{2+\sqrt{2}i}\)
    7. \(\dfrac{11-i}{11+i}\)
    8. \(\dfrac{1+i}{1+2i}+\dfrac{1-i}{1-2i}\)
    9. \(\left( \dfrac{1}{2}(-1+i\sqrt{3})\right) ^{5}\)
    10. \(\dfrac{1}{1+i}+\dfrac{1}{1-i}\)
    11. \(\dfrac{1-i}{1+i}\)
    12. \(i^{13}-i^{9}\)
    13. \(\left( \dfrac{1}{2}(-1+i\sqrt{3})\right) ^{5}\)
    14. \(\left( \dfrac{\sqrt{3}-i}{1+i\sqrt{3}}\right) ^{9}\)
    15. \(\left( -1+i\right) ^{15}\)
    16. \(\dfrac{1+ri}{2r+(r^{2}-1)i},\quad\)con \(r\in\mathbb{R}\)

  2. Resolver las siguientes ecuaciones

    1. \(2iz=3-i\text{.}\) Respuesta: \(z=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i\)

    2. \(\left( 1+i\right) z=1+2i\text{.}\) Respuesta: \(z=\frac{3}{2}+\frac {1}{2}i\)

    3. \(\left( 1-i\right) \left( z+i\right) =2+i\text{.}\) Respuesta: \(z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\)

    4. \(\left( 2-3i\right) \left( z+i\right) +\left( 1-2i\right) \left( z-1+2i\right) =1+4iz=-\frac{5}{34}-\frac{31}{34}i\)

    5. \(\frac{1}{3}\left( 2-i\right) \left( \frac{1}{5}z+5i\right) +\frac{3}{2}\left( 1-i\right) \left( \frac{1}{5}z+1-3i\right) =1+4i\text{.}\) Respuesta: \(z=-\frac{129}{29}+\frac{337}{29}i\)

  3. Resolver los siguientes sistema

    1. \begin{equation*} \begin{array}[c]{lll|} 2z+iw \amp = \amp 3\\ iz+2w \amp = \amp i\\\hline \end{array} \end{equation*}

      Respuesta : \(w=-\frac{1}{5}i,z=\frac{7}{5}\)

    2. \begin{equation*} \begin{array}[c]{lll|} \left( 2+i\right) z+iw \amp = \amp 4\\ \left( 1-i\right) z+2w \amp = \amp 1+i\\\hline \end{array} \end{equation*}

      Respuesta : \(z=\frac{13}{5}-\frac{6}{5}i,w=-\frac{1}{5}+\frac{12}{5}i\)

    3. \begin{equation*} \begin{array}[c]{lll|} \left( 1+i\right) z+\left( 2i-1\right) w \amp = \amp 1+i\\ \left( 2-i\right) z+\left( 2+3i\right) w \amp = \amp 4+i\\\hline \end{array} \end{equation*}

      Respuesta : \(z=-5+2i,w=-4i\)

    4. \begin{equation*} \begin{array}[c]{lll|} \left( 1+i\right) z+\left( 2i-1\right) w \amp = \amp -9+4i\\ \left( 2+3i\right) z+\left( 1-3i\right) w \amp = \amp 7+4i\\\hline \end{array} \end{equation*}

      Respuesta : \(w=2+3i,z=1+2i\text{,}\)

    5. \begin{equation*} \begin{array}[c]{lll|} \left( 1-2i\right) z+\left( 3-2i\right) w \amp = \amp 7-14i\\ \left( 2-i\right) z+\left( 1-3i\right) w \amp = \amp 3-14i\\ \hline \end{array} \end{equation*}

      Respuesta : \(z=2-i,w=3-i\)

  4. Determinar todos los complejos tales que satisfacen

    1. \(z^{2}=3-4i\text{.}\) Respuesta son : \(z_{1}=-2+i,z_{2}=2-i\)

    2. \(z^{2}=-8-6i\text{.}\) Respuesta son : \(z_{1}=-1+3i,z_{2}=1-3i\)

    3. \(z^{2}=-2\text{.}\) Respuesta son : \(z_{1}=i\sqrt{2},z_{2}=-i\sqrt{2}\)

    4. \(z^{2}+2z+8=0\text{.}\) Respuesta son : \(z_{1}=-1+i\sqrt{7},z_{2} =-1-i\sqrt{7}\)

  5. Hallar los conjugados de

    1. \(\dfrac{1}{i}+i\text{.}\) Respuesta: \(0\)

    2. \(\left| 1-i\right| +i\text{.}\) Respuesta: \(\sqrt{2}-i\)

    3. \(\left| \left| 1+i\right| +i\right| +i\text{.}\) Respuesta : \(\sqrt{3}-i\)

    4. \(1+i+i^{2}+...+i^{21}\text{.}\) Respuesta: \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\)

    5. \((1+2i)(2-i)(1+i)\text{.}\) Respuesta: \(1-+7i\)

  6. Hallar los módulo en los siguientes casos:

    1. \(-1 \text{.}\) Respuesta \(:1\)

    2. \(-1-i\text{.}\) Respuesta : \(\sqrt{2}\)

    3. \(1-\sqrt{2}i\text{.}\) Respuesta : \(\sqrt{3}\)

    4. \(i^{17}\text{.}\) Respuesta : \(1\)

    5. \(\dfrac{2-i}{i-2}\text{.}\) Respuesta : \(1\)

    6. \(\dfrac{2}{1-i\sqrt{2}}\text{.}\) Respuesta : \(\frac{2}{3}\sqrt{3}\)

    7. \(\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\text{.}\) Respuesta : \(1\)

    8. \(\dfrac{\left| 1-i\right| -i}{\left| 1-i\right| +i}\text{.}\) Respuesta : \(1\)

    9. \(10^{6}\left[ \dfrac{1}{2}\left( -1+i\sqrt{3}\right) \right] \text{.}\) Respuesta : \(1000\,000\)

  7. Expresar los siguientes complejos en la forma polar \(r\operatorname{cis}(\alpha)\)

    1. \(-1\)
    2. \(-1-i\)
    3. \(\sqrt{3}-i\)
    4. \(i^{13}-i^{8}\)
    5. \(4+5i\)

  8. Completar las siguientes Afirmaciones

    1. \(z=(1+i)^{2}\) entonces \(\operatorname{Re}(z)=\text{.........................}\)

    2. \(z=(2+3i)(1+i)\) entonces \(\operatorname{Im}(z)=\text{.........................}\)

    3. \(z=\dfrac{(1+i)^{2}}{\left\| 1-i\right\| }\) entonces \(\operatorname{Im}(z)=\text{.........................}\)

    4. \(z=\dfrac{(1+2i)^{2}}{\left\| 1-i\right\| }\) entonces \(\operatorname{Re}(z)=\text{.........................}\)

    5. \((3+i)z=\overline{(1+2i)}\) entonces la forma binomial de \(z=\text{.........................}\)

    6. \((3+i)z=\overline{(4+i)}\) entonces la forma binomial de \(z=\text{.........................}\)

    7. \(1+(3+i)z+2z^{2}=0\) entonces las soluciones en forma binomial son

      \begin{equation*} z_{1}=..............................z_{2}=............................. \end{equation*}

    8. \(z^{2}+(1+3i)z-2+i=0\) entonces las soluciones en forma binomial son

      \begin{equation*} z_{1}=..............................z_{2}=............................. \end{equation*}

  9. Resolver los siguientes sistemas

    1. \begin{equation*} \begin{array}[c]{rll|} z+\left( 2+i\right) w \amp = \amp 1+i\\ iz+(1+2i)w \amp = \amp 1-i\\\hline \end{array} \end{equation*}
    2. \begin{equation*} \begin{array}[c]{rll|} iz+3w \amp = \amp 1+i\\ 2z+(1-2i)w \amp = \amp 1\\\hline \end{array} \end{equation*}
    3. \begin{equation*} \begin{array}[c]{rll|} (1+i)z+2iw \amp = \amp 1+2i\\ iz+(1+2i)w \amp = \amp 1-i\\\hline \end{array} \end{equation*}
    4. \begin{equation*} \begin{array}[c]{rll|} iz+2w \amp = \amp 2+1\\ iz+(1+2i)w \amp = \amp 1-i\\\hline \end{array} \end{equation*}
    5. \begin{equation*} \begin{array}[c]{rll|} 3z+\left( 2-i\right) w \amp = \amp 1+i\\ iz+(1+i)w \amp = \amp 1-i\\\hline \end{array} \end{equation*}
    6. \begin{equation*} \begin{array}[c]{rll|} iz+3w \amp = \amp 1+i\\ 2z+(1-2i)w \amp = \amp 1\\\hline \end{array} \end{equation*}

  10. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

    1. \(z^{2}-iz+6=0\)
    2. \(z^{2}-3z+2iz-6i=0\)
    3. \(z^{2}-z-5iz-8+i=0\)
    4. \(z^{2}-4z+6iz-5-10i=0\)
    5. \(6z^{2}-5z+16iz-7-6i=0\)
    6. \(\left( 7+i\right) z^{2}+\left( 16i-3\right) z-7-6i=0\)

  11. Resolver la ecuación \(z^{n}=w\) en cada caso

    1. \(w=i,\qquad n=4\)
    2. \(w=1+i, \qquad n=6\)
    3. \(w=1+\sqrt{3}i, \qquad n=5\)
    4. \(w=1-\sqrt{3}i, \qquad n=8\)
    5. \(w=\sqrt{3}-i, \qquad n=6\)
    6. \(w=\dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}, \qquad n=8\)

  12. Sea \(n\) un número natural. Calcular

    1. \(\sum\limits_{k=0}^{n}i^{k}\)
    2. \(\prod\limits_{k=0}^{n}i^{k}\)

  13. Determinar el conjunto solución de la ecuación

    \begin{equation*} z^{6}=\frac{(1+i)^{4}(\sqrt{3}+i)^{15}}{(-3+3i)^{2}} \end{equation*}
    \begin{equation*} z^{5}=\frac{(1+i)^{7}(\sqrt{3}-i)^{15}}{(3-3i)^{2}} \end{equation*}
  14. \begin{equation*} z^{5}=\frac{(1-i)^{7}(\sqrt{3}-i)^{15}}{(3+3i)^{8}} \end{equation*}
  15. \begin{equation*} (z-i)^{3}=\frac{(i-1)^{10}(1+\sqrt{3}i)^{15}}{(\sqrt{3}-i)^{6}} \end{equation*}
  16. Hallar \(z\in\mathbb{C}\) (en formar polar) tal que
    \begin{equation*} 4(i-z^{2})^{2}=(1+i)^{4} \end{equation*}
  17. Hallar \(z\in\mathbb{C}\) (en formar polar) tal que
    \begin{equation*} -2iz^{3}+\overline{(1-i)}\cdot i=\overline{i}\cdot(1+i) \end{equation*}

  18. Sean \(z,w\in\mathbb{C}.\) Demostrar que si \(z+w\) y \(zw\) son números reales entonces \(z\) y \(w\) son números reales