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Sección 5.6 Guía Ejercicios

  1. Hallar los valores de \(A,B,C,D\text{,}\) en cada caso, de modo que los polinomios sean iguales

    1. \(2x^{2}-3x-1= A(x-1)^{2}+B(x-1)+C\)

    2. \(x^{3}-3x^{2}+2x-7 = A(x-1)^{3}+B(x-1)^{2}+C(x-1)+D\)

  2. Hallar el cuociente y el residuo de las siguientes divisiones

    1. \((2x^{3}+11x^{2}+22x+15):(2x+3)\)
    2. \((4x^{5}-x^{4}+12x^{3}+2x^{2}+x+5):(4x^{3}-x^{2}+1)\)
    3. \((13x^{3}+3x+10x^{5}-16-18x^{2}-4x^{4}+2x^{3}):(3+2x^{2})\)
    4. \((x^{6}+1):(x^{2}+1)\)

  3. Sea \(p(x)=x^{9}+x^{8}+x+1\)

    Factoricé \(p(x)\) en \(\mathbb{R}\left[ x\right] \) y en \(\mathbb{C}\left[ x\right] \)

  4. Hallar los valores de \(k\in\mathbb{R}^{+}\) para que el polinomio \(p(x)=-x^{3}-k^{2}x^{2}+x+k,\) tenga solamente una raíz en \(\left[ 0,1\right] \)

  5. Sea \(p(x)=9x^{8}-24x^{7}+4x^{6}+40x^{5}-70x^{4}+88x^{3}-68x^{2}+24x-3.\) Factorizar \(p(x)\) en \(\mathbb{Q}\left[ x\right] ,\mathbb{R}\left[ x\right] ,\mathbb{C}\left[ x\right] ,\) si se sabe que \(1,i,\sqrt{3},\)son raíces de \(p(x).\)

  6. Sabiendo que \((x-2)^{2}\,\)es un factor de \(x^{3}+2px+q.\) Determinar \(p,q.\)

  7. Obtener un polinomio \(p(x)\) del menor grado posible, tal que \(p(1)=0=p(1-i)\)

    1. \(p(x)\) en \(\mathbb{R}\left[ x\right] \)

    2. \(p(x)\) en \(\mathbb{C}\left[ x\right] \)

  8. Demuestre que, si \(n\in\mathbb{N},n\geq2,\) entonces \(p(x)=(x+1)^{2n} -x^{2n}-2x-1\) es divisible por \(x(x-1)(2x+1).\)

  9. Determinar si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas.

    1. El polinomio \(8x^{4n}+x^{2}+60\) no tiene raíces reales, para todo \(n\in\mathbb{N}.\)

    2. El polinomio \(2x^{n+1}-4x^{n}+1\) tiene al menos una raíz en \(\left] 1,2\right[ \text{,}\) para todo \(n\in\mathbb{N}.\)

    3. El polinomio \(x^{8n}-x+1\) tiene raíces racionales, para todo \(n\in\mathbb{N}.\)

    4. \(1\) es una raíces de multiplicidad \(2\) del polinomio \(x^{6}-x^{5}-x+1\)

  10. Sea \(p(x)=x^{7}-\frac{1}{6}x^{6}-\frac{5}{3}x^{5}-\frac{4}{3} x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}.\) Factoricé al máximo \(p(x)\) en \(\mathbb{R}\left[ x\right] .\)

  11. Sea \(p(x)=3x^{4}-7x^{3}+6kx^{2}+12k^{2}x-2.\) Determine el \(k\in\mathbb{R},\) de modo que \(\left( x-1\right) ^{2}\) sea un divisor de \(p(x),\) y factorizar \(p(x).\)

  12. Encuentre los valores de \(k\) para los cuales \(2x^{3}-kx^{2}+6x-3k,\) es divisible por \(x+2.\)

  13. Sea \(p(x)=x^{4}+ax^{3}-bx^{2}+8x+c.\) Determine el valor de la constante \(a,b,c\in\) \(\mathbb{R},\) de modo que \(2\) sea una raíz doble de \(p(x)\) y al dividir \(p(x)\) por \((x-1)\) el resto es \(-1.\)

  14. Factoricé en \(\mathbb{C}\left[ x\right] \text{,}\) el polinomio \(p(x)=2x^{5} -3x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-16x+24,\) sabiendo que \(p(2i)=0.\)

  15. Sea \(p(x)=3x^{5}-20x^{4}+33x^{3}+28x^{2}-118x+60,\) se sabe que una de las raíces es \(2+i\text{.}\)

    1. Factoricé \(p(x)=q(x)\ast r(x),\) donde \(gr(q(x))=3\) y \(gr(r(x))=2.\)

    2. Determinar las posibles raíces racionales de \(p(x).\)

  16. Sea \(p(x)=2x^{5}-13x^{4}+8x^{3}+50x^{2}+ax+b.\) Determinar \(a,b\in\mathbb{R}\) tal que \(7\) sea una raíz de \(p(x),\) y al dividir \(p(x)\) por \((x+2)\) el resto es \(-100.\)

  17. Hallar un polinomio de grado menor tal que \(p(x)=p(x-1),\) y \(p(0)=\frac{1}{2}.\)

  18. Hallar los valores de \(a,b\in\mathbb{R}\) de modo que el polinomio \(4x^{4}+ax^{2}+bx-4,\) sea divisible por \(2x^{2}+3x-2.\)

  19. Determinar \(a,b\in\mathbb{R}\) tal que \(p(x)=x^{3}+ax-b,\) sabiendo que \(-2\) es una raíz de \(p(x)\) y que al dividir \(p(x)\) por \((x-2)\) el resto es \(2.\)

  20. Sea \(p(x)=x^{5}-2x^{4}-ax^{2}+bx+c.\) Determine \(a,b,c\) \(\in\mathbb{R}\) tal que \((x+1)\) sea un factor de \(p(x)\text{,}\) \(p(3)=-6\) y al dividir \(p(x)\) por \(x\) el resto es \(3.\)

  21. Sea \(p(x)=x^{5}+3x^{4}-ax^{3}-6x^{2}+4bx-12a.\)

    1. Determinar \(a,b\) \(\in\mathbb{R},\) tal que \(\sqrt{2}i\) sea un raíz de \(p(x).\)

    2. Determine las raíces del polinomio \(p(x).\)

  22. Determinar \(a,b\) \(\in\mathbb{R},\) de modo que \(2\) sea una raíz de multiplicidad \(2\) del polinomio \(p(x)=ax^{2}(x^{2}-1)-7x(x^{2}-4)-8b\)

  23. Determinar \(a,b\in\mathbb{R},\) de modo que \(-1\) sea una raíz de doble del polinomio \(p(x)=ax^{4}-bx^{3}+2x^{2}+3\)

  24. Determinar todas las raíces del polinomio \(p(x)=6x^{8}-x^{7} -55x^{6}+9x^{5}-15x^{4}+4x^{3}+220x^{2}-36x-36.\)

    Sabiendo que \(\sqrt{2},\sqrt{2}i,\) son raíces de \(p(x).\)

    1. Descomponer en factores irreducibles en \(\mathbb{R}\left[ x\right] .\)

    2. Descomponer en factores irreducibles en \(\mathbb{C}\left[ x\right] .\)

  25. Sea \(p(x)=ax^{4}-x^{3}+2x^{2}+3a.\)

    Hallar \(a\in\mathbb{R},\) tal que \(-1\) es una raíz de \(p(x).\)

  26. Determinar \(a,b\in\mathbb{R},\) de modo que \(p(x)=ax^{4}+bx+1,\) tenga como raíz a \(-1\) y que al dividir por \(\left( x+2\right) \) da resto \(-8.\)

  27. Sea \(p(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+mx^{2}-12x-12.\) Si \((x+2i)\) es un factor de \(p(x)\) y \(-1\) es una raíz

    Determinar \(m\) \(\in\mathbb{R},\) y factoricé\(.\)

  28. Determine los cero racionales de

    1. \(x^{3}+4x^{2}+9x+6.\)

    2. \(2x^{4}-7x^{3}+4x^{2}+7x-6.\)

  29. Determine los valores de \(m\in\mathbb{R},\) para que la ecuación \(x^{3}+2x^{2}+mx-3=0,\) tenga al menos una raíz racional.

  30. Sea \(p(x)=x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+6x+9\)

    1. Existe una raíz en el intervalo \(\left[ 1,2\right] \) de \(p(x).\)

    2. Encontrar todas las raíces de \(p(x).\)

  31. Factorizar \(p(x)=2x^{6}+3x^{5}-7x^{4}+4x^{3}-6x^{2}+x+3\) en \(\mathbb{R}\left[ x\right] \)

  32. Obtener un polinomio de grado 6 con coeficiente entero que tenga a \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) y \(1-\sqrt{2}\) como raíces.

  33. Encontrar cota superior e inferior para

    1. \(x^{3}-3x^{2}-2x+6.\)

    2. \(x^{4}-x^{2}+3x+2.\)

  34. Sea \(p(x)=2x^{2}-5x+3\) y \(q(x)=x-c.\)

    Determinar \(c\in\mathbb{R},\) tal que al dividir \(p(x)\) por \(q(x)\) da resto \(10\text{.}\)

  35. Encontrar las raíces del polinomio \(4x^{3}+16x^{2}-9x-36,\) si las suma de dos de sus raíces es cero.

  36. Encontrar las raíces del polinomio \(4x^{3}+20x^{2}-23x+6\) si dos raíces son iguales.

  37. Determinar \(a\) y \(b\) tal que \(-1\) es un cero doble del polinomio, \(x^{4}+ax^{3}+(a+b)x^{2}+bx+1.\)

  38. Dado el polinomio

    \begin{equation*} p(x)=6x^{6}-20x^{4}+5x^{5}+20x^{3}-108x^{2}+15x+18 \end{equation*}

    Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones

    1. Existe al menos una raíz de \(p(x)\) en intervalo \([0,1]\text{.........................}\)

    2. El resto al dividir \(p(x)\) por \((x+1)\) es \(144\text{.........................}\)

    3. El resto al dividir \(p(x)\) por \((x^{2}-1)\) es \(40x-104\) .........................

    4. \(-3\) es una cota inferior de las raíces de \(p(x)\text{.........................}\)

  39. Dadas \(a,b\in\mathbb{R}\) y el polinomio \(p(x)=x^{3}+ax^{2}-5x+b\text{.}\)

    1. Determinar \(a,b\in\mathbb{R},\) Si el resto al dividir \(p(x)\) por \(\left( x-1\right) \) es \(-8\) y \(p(-2)=4\)

    2. Factorizar \(p(x).\)

  40. Dado el polinomio

    \begin{equation*} p(x)=4x^{6}-33x^{4}-4x^{5}+9x^{3}+56x^{2}-2x-12 \end{equation*}

    Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones

    1. Existe al menos una raíz de \(p(x)\) en intervalo \([0,1]\text{.........................}\)

    2. El resto al dividir \(p(x)\) por \((x+1)\) es \(36\text{.........................}\)

    3. El resto al dividir \(p(x)\) por \((x^{2}-1)\) es \(36\) .........................

    4. \(-3\) es una cota inferior de las raíces de \(p(x)\text{.........................}\)

  41. Dadas \(a,b\in\mathbb{R}\) y el polinomio \(p(x)=x^{3}+ax^{2}-5x+b\text{.}\)

    1. Determinar \(a,b\in\mathbb{R},\) tal que el resto al dividir \(p(x)\) por \(x^{2}-2x-3\) es 12

    2. Factorizar \(p(x).\)

  42. Determinar \(A,B,C,D\) en los reales tal que

    \begin{equation*} x^{3}+x^{2}-3=A(x^{2}+1)(x-1)+B(x^{2}+1)+(Cx+D)(x-1)^{2} \end{equation*}

  43. Dadas \(a,b\in\mathbb{R}\) y el polinomio \(p(x)=x^{3}+ax^{2}-5x+b\text{.}\)

    1. Determinar \(a,b\in\mathbb{R},\) tal que el resto al dividir \(p(x)\) por \(x^{2}-3x+2\) es \(8\)

    2. Factorizar \(p(x).\)

  44. Determinar \(a,b\) \(\in\mathbb{R},\) de modo que \(2\) sea una raíz de multiplicidad \(2\) del polinomio \(p(x)=ax^{2}(x^{2}-2)-x(x^{2}-4)-8b\)

  45. Determinar \(a,b\) \(\in\mathbb{R}^{\ast},\) de modo que \((x-2)^{2}\) divida al polinomio

    \begin{equation*} p(x)=ax(x^{3}+16)-bx^{2}\left( x-5\right) -2ab \end{equation*}

  46. Determinar si existe \(a,b\) \(\in\mathbb{R}^{\ast},\) de modo que \((x+2)^{2}\) divida al polinomio

    \begin{equation*} p(x)=ax(x^{3}-4)+bx^{2}\left( 2x-3\right) -2ab \end{equation*}

  47. Sea \(p(x)=x^{4}-3x^{2}+bx+c.\) Determinar el valor de las constantes \(b,c\in\mathbb{R}\text{,}\) de modo que \(-2\) es una raíz de \(p(x)\) y de resto \(2\) al dividir \(p(x)\) por \((x-1)\)

  48. Sea \(p(x)=3x^{4}-7x^{3}+6kx^{2}+12k^{2}x-2.\) Determine el \(k\in\mathbb{R},\) de modo que \(\left( x-1\right) ^{2}\) sea un divisor de \(p(x).\)