Sean \(p(x)\in \mathbb{K}[x]\) y \(D\subseteq \mathbb{K}\) entonces se define la función polinomial
que consiste en reemplazar la variable por la cantidad \(a\) y el grado de la función polinomial es el mismo del polinomio.
Sea \(p(x),q(x) \in \mathbb{K}[x]\text{.}\) Se llama ecuación polinomial a la proposición
y al conjunto \(S=\{ a\in \mathbb{K} \ | \ p(a)=q(a) \} \) el conjunto solución de la ecuación polinomial.
Sea \(p(x)\in \mathbb{K}[x]\text{.}\)
Se dice que \(\alpha\) es una raíz de \(p(x)\) si y sólo si \(p(\alpha )=0\)
Tenga presente que una ecuación polinomial lineal, tiene solamente una solución, la cual es una raíz.
Sea \(p(x)\in \mathbb{K}[x]\) de grado \(n\) y \(a\in \mathbb{K}\text{,}\) entonces existe un único polinomio \(q(x)\) tal que
Sea \(p(x)=3x^{5}-2x^{3}-1\) y \(q(x)=x-2\text{.}\)
Luego
donde
El resto de la división es \(79\text{.}\)
Sea \(p(x)\in \mathbb{K}[x]\)
\(p(x)\) es divisible por \(x-a\) si y sólo si \(a\) es una raíz de \(p(x)\text{.}\)
Un polinomio de grado \(n\) tiene a lo más \(n\) raíces.
Dos polinomios de grado \(n\) son iguales si hay \(n+1\) elementos donde las funciones polinomiales son iguales.
Sea \(p(x):a_{n}x^{n}+\cdot\cdot\cdot+a_{0}\text{,}\) polinomio con coeficientes en \(\mathbb{C}\text{,}\) entonces existen los \(r_{i}\in\mathbb{C}\) y son las raíces de \(p(x)\) y se cumple
Sea \(p(x)\) un polinomio de grado \(n\) con coeficientes en \(\mathbb{R}\text{,}\) si \(z=a+bi\) con \(b\not =0\) es raíz de la ecuación \(p(x)=0\text{,}\) entonces \(\overline{z}=a-bi\) también es una raíz de \(p(x)\text{.}\)
Encontrar todas las raíces de \(p(x)=x^{4}+5x^{3}+12x^{2}+22x-40\text{,}\) sabiendo que \(x=-1+3i\) es una raíz de \(p(x)\text{.}\)
Como \(x=-1+3i\) es una raíz, por teorema anterior sabemos que \(x=-1-3i\) también es raíz de \(p(x)\text{,}\) luego
Volvemos a realizar división sintética
Ahora el polinomio se descompone de la siguiente manera
las raíces del polinomio \(x^{2}+3x-4\) son \(1,-4\text{,}\) luego tenemos que
Determinar un polinomio de grado 4 con coeficiente en los reales, tal que \(1+i\) y \(1-2i\) son raíces del polinomio.
Todo polinomio \(p(x)\in\mathbb{R}[x]\) de grado mayor que \(1\) puede ser factorizado en factores lineales o cuadráticos irreducibles, donde factorización es única salvo orden de los factores.
Sea \(p(x)\in \mathbb{K}[x]\text{.}\)
Se dice que la raíz \(c\) tiene multiplicidad \(t\) en \(p(x)\) si y solo si \(p(x)=(x-c)^{t}\cdot s(x)\text{,}\) con \(t\geq1\) y \(s(c)\not =0\text{.}\)
Determine la multiplicidad de \(2,-2\) en \(p(x)=x^{5}-2x^{4}+ 5x^{3}-10x^{2}-36x+72\text{.}\)
Determine si \(1\) es una raíz multiple de \(p(x)=x^{5}-3x^{4} +8x^{2}-9x+3\text{.}\)
Sean \(p,q\in\mathbb{Z}\) primos relativos tal que \(\frac{p}{q}\) es una raíz del polinomio \(p(x)=a_{n}x^{n}+\cdot\cdot\cdot+a_{0}\in\mathbb{Z}[x]\text{,}\) entonces se cumple que \(p\) divide a \(a_{0}\) y que \(q\) divide a \(a_{n}\text{.}\)
Sea \(p(x)=2x^{6}-7x^{3}+4x^{2}+7x-6\text{.}\)
Determinar las posibles raíces racionales de \(p(x)\text{.}\)
Si \(\frac{p}{q}\) es una raíz de \(p(x)\text{,}\) entonces
\(p\) divide a \(-6\text{,}\) por lo tanto \(p\in\{\pm{1},\pm{2},\pm{3},\pm{6}\}\text{.}\)
\(q\) divide a \(2\text{,}\) por lo tanto \(q\in\{\pm{1},\pm{2}\}\text{.}\)
Luego las posibles raíces racionales están dadas por
Sea \(p(x)=a_{n}x^{n} +\cdot\cdot\cdot+a_{1}x+a_{0}\in\mathbb{R}[x]\text{,}\) donde \(a_{n}\gt0\text{,}\) y \(p(x)\) se divide por \((x-r)\) usando división sintética, entonces:
Si \(r\geq0\) y todos los números de la última fila de la división sintética (coeficientes de cociente y residuo) son mayores e iguales a \(0\) entonces para todo \(t\) con \(t\) raíz de \(p(x)\) se tiene que \(t\leq r\)
Si \(r\leq0\) y todos los números de la última fila de la división sintética alternan en signo (se admite \(+0\) y \(-0\)) entonces para todo \(t\text{,}\) con \(t\) raíz de \(p(x)\) se tiene que \(t\geq r\)
Sea \(p(x)=2x^{6}-7x^{3}+4x^{2}+7x-6\text{.}\)
Determinar todas las raíces racionales de \(p(x)\)
Como las posibles raíces racionales son:
Evaluamos en \(\frac{p}{q}=1\text{,}\)
Por tanto \(\frac{p}{q}=1\) es una raíz de \(p(x)\text{,}\) ahora realizamos división sintética.
Ahora veremos si \(\frac{p}{q}=1\) es una raíz multiple
Luego \(\frac{p}{q}=1\) es una raíz simple, y no hay mayores a 1 raíces,
No hay más raíces positiva racionales de \(p(x)\text{.}\)
Ahora veremos las raíces negativas de
Consideremos ahora a \(p/q=-1\text{,}\) luego
Como \(-1\) es raíz, hacemos división sintética:
Luego hemos factorizado
Para determinar si existe otras raíces negativas, argumentamos de la siguiente forma, para ello sea
Si \(-a \in P\) un número negativo
con lo cual obtenemos que no existe raíces negativas.
Determinar las raíces racionales de los polinomios
a) \(p(x)=8x^{6}+20x^{5}-2x^{4}-25x^{3}-13x^{2}+5x+3 \)
b) \(p(x)=4x^{3}-20x^{2}-23x+6 \)
Sea \(p(x)\in\mathbb{R}[x]\text{,}\) cuando los términos de \(p(x)\) se ordenan en orden creciente de potencias, decimos que ocurre una variación de signo, si dos términos consecutivos tienen signos opuestos. Los términos que el coeficiente es cero se ignoran.
Sea \(p(x)=2x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+5\text{,}\) podemos observar que en \(p(x)\) hay dos variaciones de signo, ahora si reemplazamos \(x\) por \(-x\) se obtiene
luego tenemos tres variaciones en \(p(-x)\text{.}\) Estas variaciones las denotamos como:
Sea \(p(x)\in\mathbb{R}[x]\text{,}\) entonces
El número de raíces reales positivas de \(p(x)\text{,}\) contados cada uno, tantas veces como indique su multiplicidad, es igual o menor que \(\nu(p(x))\) en un número par.
El número de raíces reales negativas de \(p(x)\text{,}\) contados, cada uno, tantas veces como indique su multiplicidad es igual o menor que \(\nu(p(-x))\) en un número par.
Sea \(p(x)=2x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+5\text{,}\) por el ejemplo anterior tenemos que
Por lo tanto el polinomio \(p(x)\) tiene \(2\) o \(0\) raíces positiva y \(3\) o \(1\) raíces negativas
Determinar las posibles raíces positivas y negativas de polinomio
Si \(p(x) \in \mathbb{R}[x]\) y \(a,b\in \mathbb{R}\) tales que \(a\lt b\) y \(p(a)p(b)\lt 0\) entonces existe \(\alpha \in [a,b]\) un raíz del polinomio.
Para cada uno de los polinomios, determinar si existe una raíz en el intervalo \([1,2]\text{.}\)
