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Sección 5.1 Nociones Básicas

Definición 5.1.1

Sea \(\mathbb{K}\) igual a \(\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\text{.}\)

Un polinomio en la variable \(x\) con coeficientes en \(\mathbb{K}\) es una expresión de la forma

\begin{equation*} p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}x+a_{0}, \end{equation*}

donde \(a_{i}\) con \(i\) desde \(0\) hasta \(n\) son los coeficientes del polinomio y \(n\) es un número natural

Además si \(a_{n}\not =0\text{,}\) se dice que \(n\) es el grado del polinomio, solamente esta definido el grado cuando el polinomio es distinto de \(0\text{.}\)

Notación: Un polinomio lo denotamos por

\begin{equation*} p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}x+a_{0}\ \vee \ p(x)= \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \end{equation*}

El grado del polinomio \(p(x)\) lo denotamos por

\begin{equation*} gr(p(x))=n = deg(p(x)), \end{equation*}

cuando \(a_{n}\not = 0\text{.}\)

El conjunto de todos los polinomios con coeficiente en \(\mathbb{K}\) lo denotamos por \(\mathbb{K}[x]\)

Los siguientes son algunos ejemplos de polinomios

  1. \(p(x)=5x^{8} -\sqrt{2}x^{3}+20x-4\in\mathbb{R}[x].\)
  2. \(q(x)=(2-i)x^{4}-(4+\sqrt{3}i)\in\mathbb{C}[x].\)
  3. \(r(x)=3x^{5}-8x^{4}+7x^{3}-4\in\mathbb{Z}[x].\)

Los siguientes son algunos ejemplos de los grados del polinomio correspondiente

  1. \(p(x)=5x^{8} -\sqrt{2}x^{3}+20x-4\in\mathbb{R}[x]\) y su grado es 8.

  2. El polinomio \(p(x)=3x^{6}-2x^{2}-5\text{,}\) tiene grado 6.

  3. \(q(x)=(2-i)x^{4}-(4+\sqrt{3}i)\in\mathbb{C}[x]\) y su grado es 4.

  4. \(r(x)=3x^{5}-8x^{4}+7x^{3}-4\in\mathbb{Z}[x]\) y su grado es 5

Definición 5.1.4

Sea \(p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}x+a_{0}\) con \(n \in \mathbb{N}_{0}\text{.}\)

  1. Los términos de \(p(x)\) son \(a_ix^i\) con \(i=0,...,n\text{.}\)

  2. \(a_i\) es el coeficiente del término \(a_i x^i\)

  3. El coeficiente \(a_{n}\not =0\) recibe el nombre de coeficiente principal o coeficiente director del polinomio.

  4. \(a_{0}\) es el coeficiente constante del polinomio.

  5. El polinomio se llama constante si y sólo si \(p(x)=a_0\text{.}\)

  6. El polinomio se llama lineal si y sólo si \(gr(p(x))=1\text{.}\)

  7. El polinomio se llama cuadrático si y sólo si \(gr(p(x))=2\text{.}\)

Algunos ejemplos de tipo o elementos de un polinomio.

  1. \(p(x)=8x^{2} -20x-4\in\mathbb{R}[x]\) y es un polinomio cuadrático.

  2. \(q(x)=(1-5i)x^{4}-(4+\sqrt{3}i)x+ 2-i\in\mathbb{C}[x]\) y el coeficiente constante es \(2-i\text{.}\)

  3. \(r(x)=4x^{5}+6x^{4}-7x^{3}+2\in\mathbb{Z}[x]\) y el coeficiente del término cúbico es \(5\)