Mat Guía Ejercicios

Sección 2.7 Guía Ejercicios

I Demostrar por Inducción

$(\forall n\in\mathbb{N})\left( {1+3+\cdots+}(2n+1){=} (n+1)^{2}\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})\left( 0+1+3+\cdots+\dfrac{n(n+1)} {2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{{6}}\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})\left( -0+1^{2}-2^{2}+\cdots +(-1)^{n+1}n^{2}=(-1)^{n+1}\left( \dfrac{n(n+1)}{{2}}\right) \right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})\left( \dfrac{{1}}{{1\cdot5}} +\dfrac{{1}}{{5\cdot9}}+\cdots+\dfrac{{1}}{(4n+1){(}4n+5)}=\dfrac{n+1} {4n+5}\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})\left( 0\cdot0!+1\cdot1!+2\cdot 2!+\cdots+n\cdot n!=(n+1)!-1{\ }\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}^{\ast})\left( 2\cdot1!+5\cdot 2!+\cdots+(n^{2}+1)\cdot n!=n\cdot(n+1)!\ \right) $
$(\forall n\in\mathbb{N})\left( \dfrac{{4}}{{1\cdot3}}+\dfrac{{4} }{{2\cdot4}}+\cdots+\dfrac{{4}}{\left( {n+1}\right) (n+3)}=\dfrac {3n^{2}+11n+8}{(n+2)(n+3)}\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})\left( {0}^{3}{+2^{3}+4^{3}+\cdots +}(2n)^{3}{=}2n^{2}(n+1)^{2}\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N})\left( {(2+1/2)+(4+1/4)+\cdots+(} 2^{n+1}{+}1/2^{n+1}){=}2^{n+2}{-}\dfrac{{1}}{{2}^{n+1}}{-1}\right)$
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})\left( \dfrac{{1}}{{2}}+\dfrac{{3} }{{2^{2}}}+\cdots+\dfrac{{2}n+1}{2^{n+1}}=3-(2n+5)\dfrac{{1}}{2^{n+1}}\right)$
$(\forall n\in\mathbb{N})\left( n+(n+1)+(n+2)+\cdots +(2n+1){=}\dfrac{3n^{2}+7n+2}{{2}}\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N})\left( {1-2+3-4+\cdots+(-1)}^{n}\left( n+1\right) {=(-1)}^{n}\dfrac{2n+3+(-1)^{n}}{{4}}\right) $
$\left( \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\right) \left( n+\left( n+1\right) +\left( n+2\right) +...+\left( 3n-2\right) =\left( 2n-1\right) ^{2}\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})\left( \dfrac{{1}}{n+1}+\dfrac{{1} }{n+2}+\cdots+\dfrac{{1}}{2n+1}{=\dfrac{{1}}{{1}}-\dfrac{{1}}{{2}}+\dfrac{{1} }{{3}}-\dfrac{{1}}{{4}}+\cdots+}(-1)^{2n}\dfrac{{1}}{2n+1}\right)$
$\left( \forall n\in\mathbb{N}_{0}\right) \left( 0+1-2+3-4+\cdots +(-1)^{n+1}n{=}(-1)^{n+1}\dfrac{2n+1+(-1)^{n+1}}{{4}}\right) $
$\left( \forall n\in\mathbb{N}_{0}\right) \left( 1-3+5-7+\cdots +(-1)^{n}(2n+1){=(-1)}^{n}\left( n+1\right) \right) $
$\left( \forall n\in\mathbb{N}_{0}\right) \left( \sum_{i=0} ^{n}(2i+1)=(n+1)^{2}\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})(n^{2}+n$ es múltiplo de $2)$
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})(n^{3}-n$ es múltiplo de $6)$
$\left( \forall n\in\mathbb{N}_{0}\right) \left( 2\cdot4^{n}+1\text{ es múltiplo de }3\right) $
$\left( \forall n\in\mathbb{N}_{0}\right) \left( 5^{2n}-7^{n}\text{ es múltiplo de }6\right) $
$(\forall n\in\mathbb{N}_{0})(5^{n}-7^{2n}=\dot{4})$
$\left( \forall n\in\mathbb{N}_{0}\right) \left( n^{3}+2n\text{ es múltiplo de 3}\right) $

II Sumatoria y Productoria

Calcular

${\displaystyle\sum\limits_{i=3}^{6}} i(i-2)$
${\ {\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{9}} (k+1)\ }$
${\displaystyle\sum\limits_{i,j=1}^{4}} \left( \dfrac{(i-j)^{2}}{2}\right)$
${\ {\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3}} {\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{i}} (i-j)\ }$
${\displaystyle\sum\limits_{i,k=1}^{6}} \left( 2i-3k\right) $
${\displaystyle\sum\limits_{i=2}^{5}} {\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{4}} (ij^{2}-ji^{2})$
$\sum_{k=1}^{7} (2k-n) $
${\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{5}} {\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{5}} (ij^{2}+2i)$

Calcular

${ {\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{27}} (2^{k}-3k)\ } $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{510}} \left( 2k+1\right) ^{2}$
${\displaystyle\sum\limits_{k=21}^{53}} (1+\frac{{3}}{{2}}k)\ $
${\ {\displaystyle\sum\limits_{k=7}^{61}} k(n-2)\ }$
${\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{50}} (k-i) $
${ {\displaystyle\sum\limits_{k=23}^{101}} k(k-3)\ }$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{25}} \left( 2k+1\right) ^{2}$
${\displaystyle\sum\limits_{k=12}^{105}} (2^{k}+8k^{3}-k) $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{56}} (2k+3t). $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{510}} \left( 2k+1\right) (2k-1)$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{56}} (2k+3i). $
${\displaystyle\sum\limits_{k=35}^{52}} (2+3k+5^{k})$
${\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{50}} (k-i) $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{125}} \left( \dfrac{3^{k}+2^{k}}{5^{k}}+1+k^{2}\right) $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{25}} k(2+k) $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{125}} \left( \dfrac{3^{k}-2^{k}}{5^{k}}+1\right) .$
${\ {\displaystyle\sum\limits_{k=11}^{73}} (k(k+2)+2^{k})\ }$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{33}} \binom{33}{k}(-2)^{10-k}4^{2k} $

Calcular

${\displaystyle\prod\limits_{k=4}^{120}} (k-3) $
${ {\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{10}} 3k\dfrac{{k+1}}{2{k-1}}}$
${\displaystyle\prod\limits_{k=3}^{6}} \left( \dfrac{3i}{i-2}\right) $
${ {\displaystyle\prod\limits_{k=15}^{20}} (3k-44)}$
$\dfrac{1}{5!}{ {\displaystyle\prod\limits_{k=2}^{6}} i\ } $
${\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{60}} \left( \dfrac{2^{k}k}{3}\right)$
${ {\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{7}} (3-i)} $
${\displaystyle\prod\limits_{k=4}^{120}} (k-3$
${\ {\displaystyle\prod\limits_{j=10}^{32}} 3i\left( \frac{{i-1}}{{2i-6}}\right) \ } $
${\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{60}} \left( 1-\frac{2}{k}\right)$
${\ {\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{16}} 3}\left( {\dfrac{{1}}{2}}\right) ^{k} $

Calcular

${\ {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{35}} {\displaystyle\sum\limits_{j=3}^{2k-3}} (k^{2}-j)\ } $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{25}} {\displaystyle\sum\limits_{j=k}^{2k+1}} \left( j-k\right) $
${\ {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{121}} {\displaystyle\sum\limits_{j=k}^{2k}} (jk)\ } $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{5}} {\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k}} (2k+3i).$
${\ {\displaystyle\sum\limits_{k=10}^{82}} {\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2k-3}} (k-j)\ }$
${\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{30}} {\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}} (k-i)$
${\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{30}} {\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}} (k-i) $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{5}} {\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k}} (2k+3i).$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{25}} \left[ {\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{2k+1}} \left( j+k\right) \right] $
${\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{5}} \left( {\displaystyle\prod\limits_{j=1}^{4}} (2i-j)\right) $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{25}} {\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2k+1}} jk $
${\displaystyle\prod\limits_{j=1}^{4}} \left( {\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{5}} (2i-j)\right) $
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{35}} \left[ {\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{2k+1}} \left( jk\right) \right] $
${\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{10}} {\displaystyle\prod\limits_{j=1}^{k}} 2^{j}$
${\displaystyle\sum\limits_{r=1}^{10}} {\displaystyle\sum\limits_{t=1}^{2r}} (2k+3t).$
${\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{20}} {\displaystyle\prod\limits_{j=k}^{2k-1}} 2^{j} $

Calcular

${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} {k}(k+1)$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} {k2}^{k}$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} (k+1)^{2}\cdot k!$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} (k^{2}+1)\cdot k!$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} \dfrac{1}{{4k}^{2}-{1}}$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} \dfrac{{k}}{{(k+1)!}}$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} (3^{k}-2^{k})$
${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} \dfrac{{k^{2}-2}}{{(k+2)!}}$
${\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n}} \dfrac{{k}}{{k+1}}$
${\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n}} \dfrac{{k^{2}-1}}{{k^{2}}}$

11. Considere la sucesión definida por recurrencia

\begin{equation*} \begin{array}{rl} a_{1} \amp =5\\ a_{n} \amp =a_{n-1}+n-2;\qquad n\geq2 \end{array} \end{equation*}

Determinar un formula explícita para $a_{n}$
Calcular $\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=$

12. Considere la sucesión definida por recurrencia

\begin{equation*} \begin{array}{rl} a_{1} \amp =1\\ a_{n} \amp =a_{n-1}+3n-3;\qquad n\geq2 \end{array} \end{equation*}

Determinar un formula explícita para $a_{n}$
Calcular $\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=$

III Progresiones Aritméticas y Geométricas

Calcular la suma de las $n$primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones
1. $2;\ 3,25;\ 4,5;\ \cdots\ \ (n=20)$
2. $-2;\ 2\frac{1}{2};\ -3\frac{1}{8}\ \cdots\ \ (n=51)$
3. $\frac{{3}}{\sqrt{5}};\ \frac{{4}}{\sqrt{5}};\ \sqrt{5};\ \cdots \ \ (n=25)$
4. $a-3b;\ 2a-5b;\ 3a-7b;\ \cdots\ \ (n=18),\ a,b\in\mathbb{R}$
5. $2a-b;\ 4a-3b;\ 6a-5b;\ \cdots\ \ (n=23),\ a,b\in\mathbb{R}$
6. $\frac{{3}}{{4}};\ \frac{2}{5};\ \frac{1}{20}\ \cdots\ \ (n=49)$
7. $\frac{{a+b}}{{2}};\ a;\ \frac{{3a-b}}{{2}}\ \cdots\ \ (n=42)$
8. $1;\ 2\frac{1}{2};\ 3\frac{1}{4}\ \cdots\ \ (n=51)$
En una Progresión Aritmética el tercer término es igual a ${20}$ y el sexto término es ${36}\text{.}$ Escriba los seis primeros términos.
Los términos del lugar $2\text{,}$ $31\text{,}$ y el $k$-ésimo término de un Progresión Aritmética son $12\text{,}$ $-18$ y $-56$ respectivamente. Hallar el primer término y el valor de $k\text{.}$
En una Progresión Aritmética el tercer término es igual a ${4}$ veces el primer término y el octavo es ${21}$ veces. Calcular la suma de los diez primeros términos.
En una progresión Aritmética el tercer término es igual a 4 veces el primer término y el sexto término es 17. Escriba los seis primeros términos de la progresión.
Los términos de los lugares segundo, trigésimo primero y de $n-$ésimo término de una progresión aritmética son $7\frac{3} {4},\frac{1}{2}$ y $-6\frac{1}{2}$ respectivamente. Hallar el primer término y el valor de $n.$
Intercalar siete números entre 3 y 15 de modo que formen una progresión aritmética de nueve términos.
Intercalar siete números entre el 3 y el 15 de forma que resulte una Progresión Aritmética.
Dada una Progresión Aritmética cuyo quinto término es 17 y noveno término es 28. Determinar la suma de los 20 primero términos.
En una Progresión Aritmética cuyo quinto término es 15 y la suma de los 7 primeros término es 28. Determinar el noveno términos.
Dada una Progresión Aritmética cuyo cuarto término es 13 y la suma de los 7 primeros término es 32. Determinar el noveno términos.
Determinar tres números en Progresión Aritmética tales que la suma de ellos es 36 si al primero se le resta 1, al segundo se le resta 2 y al tercero se le suma 2, obtenemos un progresión geométrica en el mismo orden.
Un maderero apila en forma piramidal $19k+12$ tablones, de tal manera que hay $k$ filas y en la última de ellas hay $8$ tablones. Cada fila tiene un tablón más que su inmediata superior. Determinar el número de tablones.
Un maderero apila en forma piramidal $14k+7$ tablones, de tal manera que hay $k$ filas y en la última de ellas hay $8$ tablones. Cada fila tiene un tablón más que su inmediata superior. Determinar el número de tablones.
El quinto término de una Progresión Geométrica es $162$ y el segundo término es $48\text{.}$ Escriba los cinco primeros términos de la Progresión.
Si el primer término de una Progresión Geométrica es 6 y la suma de los tres primeros términos es 18. Hallar la razón y el noveno término.
El cuarto término de una Progresión Geométrica es 1/4 y el séptimo término es 1/32. Hallar el sexto término.
Interpolar tres números ente 5 y 3125 de manera que estén en Progresión Geométrica.
Se compra una finca de 2000 hectáreas a pagar en 15 años, de modo que el primer año paga US$ 100, el segundo año US$ 300, sabiendo que los pagos están el Progresión Geométrica.

¿ Cuánto pago por la finca?.
A los 3 primeros términos de una Progresión Geométrica de razón 3. Si se suma 2 al primero de ello, el segundo se mantiene y se le resta 12 al tercero, se obtiene una nueva Progresión Geométrica en el mismo orden. Hallar los números.
Una pelota cae desde una altura de 1002 metros si cada vez que rebota sube un tercio de la altura que cayo. ¿ Hasta qué altura desde el suelo sube después de haber rebotado por décima vez?
Tres personas $A,B,C.$ se reparten una herencia de US$ 210.000.- La cantidad que recibe cada uno es proporcional a su edad.

La edad están en progresión geométrica y se sabe que $A$ es menor que $B$ y éste es menor que $C.$

Si $B$ tiene 6 años y recibe $A$ recibe US$ 30.000.-

¿Cuánto recibe cada personas y cuales son sus edades?
Sea una Progresión Geométrica cuyo cuarto término es 12 y décimo término es 96. Determinar la suma de los 5 primero términos.
Dada la Progresión Geométrica cuyo segundo término es 20 y octavo término es 5 Determinar la suma de los 6 primero términos.
Se tiene dos grupos de números cada uno constituido por 3 término en progresión aritmética y la suma de cada grupo es 15, la diferencia del primer grupo es una unidad mayor que la diferencia del segundo grupo y el producto de los números del primer grupo es al producto de los números de segundo grupo como 7 es a 8.

Hallar los números que forman cada grupo.
La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 48 y al primero se le suma 1 al segundo se le suma 4 y al tercero se le suma 17 resulta una progresión geométrica. Hallar los números.
Hallar dos números tales que su medio aritmético sea 13 y su medio geométrico sea 12
Demostrar que dos números tales que su medio geométrico es igual al medio aritmético son iguales.
Demuestre que el medio aritmético entre dos números reales positivos es siempre mayor o igual al medio geométrico.
Una persona viaja $50$ km el primer día e incrementa 1km, en cada día posterior, el décimo día decide devolverse por el mismo camino. ¿Cuántos km recorre para volver al punto de partida?.
Se tiene 3 números en Progresión Geométrica de razón -3. Si se suma 14 al primero de ello y se le suma 21 al tercero, se obtiene una nueva Progresión Geométrica en el mismo orden. Hallar los números.
Dada la Progresión Geométrica cuyo segundo término es 5 y octavo término es 15 Determinar la suma de los 6 primero términos.
La suma de $3$ primeros términos de una Progresión Geométrica es $13/3\text{.}$ Si al tercero se le suma $-4/3$ y los demás quedan igual resulta una Progresión Aritmética en el mismo orden. Hallar los números.
El banco tiene el interés a $1,8\ $ mensual y se pide un préstamo de $ 1.255.000.- Si el préstamo es a 36 meses

¿Cuál es el valor de la cuota?
El banco tiene el interés a $0,7 $ mensual y se coloca un capital de $1.000.000.- Al trascurrido 48 meses

¿Cuál es la ganancia?
El banco tiene el interés a $1,2 $ mensual. Se pide un préstamo de $ 450.000.- Si el préstamo es a 18 meses

¿Cuál es el valor de la cuota?
El banco tiene el interés a $1,1 $ mensual. Se coloca un capital de $ 450.000.- Al trascurrido 18 meses

¿Cuál es la ganancia?

IV Teorema del Binomio

Escribir simplificando
1. El quinto término del desarrollo de $(2a-\dfrac{{b}}{{3}})^{8}$ con $a,b\in\mathbb{R}$
2. El séptimo término del desarrollo de $(\dfrac{{4x}}{{5} }+\dfrac{{5}}{{2x}})^{9}$ con $x\in\mathbb{R}-\{0\}$
3. El quinto término del desarrollo de $(\dfrac{{x^{3/2}}}{{a^{1/2} }}-\dfrac{{y^{5/2}}}{{b^{3/2}}})^{8}$ con $a,b,x,y\in\mathbb{R}^{+}$
4. El cuarto término del desarrollo de $(\dfrac{{a}}{{3}}+9b)^{10}$ con $a,b\in\mathbb{R}$
Determinar el coeficiente de $x^{n}$ en el desarrollo de
1. $(x\sqrt{x}+\frac{1}{x})^{21},$ para $n=4$
2. $(x\sqrt{x}+\frac{1}{x})^{20},$ para $n=1$
3. $(\dfrac{3}{x}-2x^{3})^{10},$ para $n=6$
4. $(x^{2}+x+1)^{15},$ para $n=5$
5. $(x^{2}-x+1)^{15},$ para $n=2$
6. $(x^{3}+2x+1)^{15},$ para $n=7$
7. $(x+2x^{2}+1)^{10},$ para $n=6$
8. $(2+x^{2}-x^{-3})^{7},$ para $n=5$
9. $(2+\left( 2x\right) ^{-3}+x^{2})^{7},$ para $n=7$
Determinar el coeficiente de $a$ en el desarrollo de $\left(2a^{2}-\dfrac{{1}}{{2a}}\right)^{17}\text{,}$ con $a\in \mathbb{R}$
¿Cuál es el coeficiente de $x^{2}$ que aparece en el desarrollo de:

\begin{equation*} \left(\frac{{5}}{{3}}x^{3}y^{4}+\frac{1}{{xy^{2}}}\right)^{14}\text{ con }x,y\in \mathbb{R}-\{0\} \end{equation*}
Determinar el coeficiente de $x^{32}$ y el de $x^{-17}$ que aparecen en el desarrollo de

\begin{equation*} \left( x^{4}-\frac{1}{{x^{3}}}\right)^{15} \end{equation*}
Hallar el coeficiente de $x^{5}$ que aparece en la expresión reducida del desarrollo de

\begin{equation*} \left( 2x^{4}-x^{3}+2x^{2}-3x-1\right) ^{6} \end{equation*}
Hallar el coeficiente de $x^{11}y^{4}$ que aparece en la expresión reducida del desarrollo de

\begin{equation*} \left( 2x^{3}-3xy^{2}+z\right) ^{5} \end{equation*}

V Combinatoria y Permutaciones

Un estadio tiene 7 puertas de acceso, cada una de las cuales lleva hasta las gradería por tres pasillos diferentes. ¿De cuántas formas puede llegar hasta las graderías?
El menú del casino de la universidad, se ofrecen 7 tipos de entrada, 3 sopas distintas, 2 platos de fondo y 5 postres diferentes.

¿De cuántas formas puede hacer un menú que contenga una entrada, una sopa, un plato de fondo y un postre?
Una persona tiene 7 novelas y otra 9 revista. ¿De cuántas formas se puede intercambiar 2 revista por una novela?
Cinco muchachas y tres muchachos juegan a la pelota ¿De cuántas formas puede dividirse en dos equipos de cuatro personas cada uno, si en cada equipo debe haber por lo menos una muchacho?
¿Cuántos números hay entre 100 y 1000 con todas las cifras distintas?

¿De ellos cuantos son pares?
Una persona tiene 8 amigos y quiere invitar diariamente a 4 de ellos de modo que el grupo no se repita. ¿Cuántos días puede cursar esta invitación?
En un campeonato de tenis donde participan 20 jugadores, se forman dos serie eliminatorias, pasan a la segunda etapa el que obtiene el segundo lugar y el ganador de cada serie, formado un cuadrangular.
1. ¿De cuántas formas se puede obtener tal cuadrangular?. Si los cuatro finalista se les premia de acuerdo al lugar obtenido.
2. ¿De cuántas formas se puede obtener tal situación?
3. ¿De cuántas equipo de doble se pueden realizar con los finalistas?
En cierto campeonato de tenis participan los siguientes asociaciones: de Concepción, con 4 jugadores, de Santiago, con 6 jugadores, de Valparaíso, con 8 jugadores, y de Arica, con 4 jugadores.
1. En un campeonato abierto para todos los jugadores se premian los cinco primeros lugares ¿De cuántas formas se puede obtener tal situación?
2. En un campeonato abierto para todo los jugadores los 7 últimos bajan en el ranking ¿De cuántas manera se puede obtener tal situación?
3. ¿De cuántas manera se puede hacer un equipo de doble de cada ciudad para hacer un cuadrangular entre las ciudades? ¿Cuántos cuadrangulares?
4. Suponga que todos los equipos se forman en una línea, agrupados por asociación ¿De cuántas forma distintas se pueden formar los equipos?
En cierto campeonato de tenis participan los siguientes asociaciones: de Concepción, con 3 jugadores, de Santiago, con 7 jugadores, de Valparaíso, con 9 jugadores, y de Arica, con 2 jugadores
1. En un campeonato abierto para todos los jugadores se premian los 5 primeros lugares ¿De cuántas formas se puede obtener tal situación?
2. En un campeonato abierto para todo los jugadores los 6 últimos bajan en el ranking ¿De cuántas manera se puede obtener tal situación?
3. ¿De cuántas manera se puede hacer un equipo de doble de cada ciudad?
4. Al realizar un cuadrangular entre las ciudades ¿Cuántos cuadrangulares?
5. Suponga que todos los equipos se forman en cuatro filas una por ciudad. ¿De cuántas forma distintas se pueden formar los equipos?
¿De cuántas manera se puede elegir 5 ampolleta de colores de entre 8 ampolleta de colores diferentes?, sabiendo que hay una roja, una azul otra verde en lo siguientes casos
1. Siempre se saca una azul y una verde.
2. No se elige la roja.
3. Siempre se elige la roja y la azul pero no la verde.
Hay 12 equipos en competencia oficial de fútbol.
1. ¿Dé cuántas formas puede bajar tres equipos a segunda división?
2. ¿Dé cuántas formas se pueden salir tres equipos campeón vice-campeón, tercer lugar?
¿Dé cuántas formas se puede escoger de los naturales del 1 al 40 dos de ellos de modo que suma sea par?
¿Cuántos diccionarios se necesitan para traducir directamente 12 idiomas diferentes?
En una reunión deben intervenir 5 personas, entre ellas esta Juan y Carlos.

¿Dé cuántas maneras se pueden hacer una lista de oradores?. Con la condición de Juan no debe hablar antes que Carlos.
En un juego de poker con 52 cartas. ¿Cuántas manos distintas pueden construirse? de modo que
1. Aparecen solamente un par.
2. Aparecen un par y un trío(full).
3. Aparecen solamente dos números pares (2,4,6,8 y 10).
4. Aparece una Escalera Real.
5. Aparece una Escalera Sucia.
¿Cuántas palabras de nueve letras se pueden formar con las letras de la palabra "PROBLEMAS" si la palabra debe empezar por una vocal y terminar en consonante?
Para las siguientes pregunta considere las letras de la palabra CAMINOS
1. ¿Cuántas palabra de 7 letras diferentes se pueden formar?
2. ¿Cuántas palabras de 7 letras diferentes se pueden formar, si no deben tener dos consonantes en lugares consecutivos?
3. ¿Cuántas palabras de pueden formar, si todas las vocales deben estar en lugares consecutivos?
Para las siguientes pregunta considere las letras de la palabra ENDOSAR
1. ¿Cuántas palabra de 6 letras diferentes se pueden formar?
2. ¿Cuántas palabras de 6 letras diferentes se pueden formar, si no deben tener dos consonantes en lugares consecutivos?
3. ¿Cuántas palabras de 6 letras diferentes se pueden formar, si todas las vocales deben estar en lugares consecutivos?
Dada la letras de la palabra "PARALELA "
1. ¿Cuántas palabras con todas las letras distintas se pueden formar?
2. ¿Cuántas palabras con 6 letras se pueden formar?
3. ¿Cuántas palabras con 6 letras se pueden formar, con las tres A juntas?
4. ¿Cuántas palabras con 7 letras se pueden formar que comiencen y terminen con la letra L?
Dada la letras de la palabra "COCINERO"
1. ¿Cuántas palabras con todas las letras distintas se pueden formar?
2. ¿Cuántas palabras con 6 letras se pueden formar que comiencen y terminen con la letra O?
Dada la letras de la palabra "MESONERO"
1. ¿Cuántas palabras con todas las letras distintas se pueden formar?
2. ¿Cuántas palabras con 6 letras se pueden formar?
3. ¿Cuántas palabras con 4 letras se pueden formar?
4. ¿Cuántas palabras con 6 letras se pueden formar que comiencen o terminen con la letra O?
Se disponen de 3 fichas Rojas, de 3 fichas Azules y 2 fichas Negras.
1. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar todas las fichas?
2. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 fichas?
3. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 fichas de modo que la primera sea Azul?
Se disponen de 2 fichas Rojas, de 2 fichas Azules y 2 fichas Negras.
1. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar todas las fichas?
2. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 fichas?
3. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 fichas de modo que la dos fichas Azul estén juntas?
Entre 0 y 999
1. ¿ En cuántos figura la cifra 7?.
2. ¿En cuántos números figura dos veces?.
3. ¿En cuántos números figura la dígito cero?
4. ¿En cuántos números figura dos veces el dígito cero?
5. ¿En cuántos números figura las cifras 5 y 0 ?
6. ¿En cuántos números figura los dígitos 5 y 7?
Determinar cuántos números de cuatro dígitos mayores que 5231 se pueden escribir usando solamente los dígitos 1,1,5,5,6,8,9 en cada uno de los siguientes caso:
1. Sin dígitos repetidos.
2. Con un dígito repetido.
3. Con dos dígitos repetidos.
¿Determinar cuántos números de cuatro dígitos mayores que 5301 se pueden escribir usando solamente los dígitos 3,3,5,5,6,7,8,9 en cada uno de los siguientes caso?
1. Sin dígitos repetidos.
2. Con un dígito repetido.
3. Con dos dígitos repetidos.
¿Determinar cuántos números de cuatro dígitos mayores que 5351 se pueden escribir usando solamente los dígitos 3,5,5,6,6,7,8,9 en cada uno de los siguientes caso?
1. Sin dígitos repetidos.
2. Con un dígito repetido.
3. Con dos dígitos repetidos.
¿Determinar cuántos números naturales menores que 3825 pueden formarse, usando solamente los dígitos dados a continuación 1,2,3,3,3,4,4,5?
¿Determinar cuántos números naturales menores que 3825 pueden formarse, usando solamente los dígitos dados a continuación 1,2,3,3,4,4,5,6?
¿Determinar cuántos números naturales menores que 3825 pueden formarse, usando solamente los dígitos dados a continuación \ 1,2,3,3,4,4,5?
Determinar cuántos números naturales de cuatro cifras menores que 3825 pueden formarse, usando solamente los dígitos dados a continuación 1,1,2,2,3,3,4,5.
¿Determinar cuántos números de cuatro dígitos mayores que 5231 se pueden escribir usando solamente los dígitos 1,1,5,5,6,8,9 en cada uno de los siguientes caso?
1. Sin dígitos repetidos.
2. Con un dígito repetido.
3. Con dos dígitos repetidos.
¿Determinar cuántos números de cuatro dígitos menores que 6500 se pueden escribir usando solamente los dígitos 3,3,5,5,6,7,8,9 en cada uno de los siguientes caso?
1. Sin dígitos repetidos.
2. Con un dígito repetido.
3. Con dos dígitos repetidos.
¿Determinar cuántos números de cuatro dígitos menores que 6500 se pueden escribir usando solamente los dígitos 2,3,5,5,6,7,9,9 en cada uno de los siguientes caso?
1. Sin dígitos repetidos.
2. Con un dígito repetido.
3. Con dos dígitos repetidos.
En un tren se encuentran 83 pasajeros, el cual debe hacer 10 paradas. ¿De cuántas formas puede distribuirse los pasajeros entre estas parada?
En un tren se encuentran 83 pasajeros, el cual debe hacer 10 paradas.
1. ¿De cuántas distribuirse los pasajeros entre estas parada?
2. Si 5 quieren bajarse en una de las estaciones.
3. Si los cinco quieren bajarse juntos.