Teorema 5.3.1
Sea \(p(x),q(x)\) dos polinomios en \(\mathbb{K}[x]\) con \(q(x)\not =0\) y \(\mathbb{K}\) un cuerpo \(\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\text{,}\) entonces existen polinomios \(s(x)\) y \(r(x)\) (únicos) en \(\mathbb{K}[x]\) tal que se cumple lo siguiente
\begin{equation*}
p(x)=q(x)\cdot s(x)+r(x),
\end{equation*}
donde \(r(x)=0\text{,}\) o bien \(\ gr(r(x))\lt gr(q(x))\)
Sean \(q(x)=2x^{4}+3x^{5}+2x-1\) y \(p(x)=-2x^{5}+6x^{7}+2\text{.}\)
Para dividir \(p(x)\) por \(q(x)\) primero debemos ordenar el polinomio de mayor a menor en los exponente
\begin{equation*}
p(x)=6x^{7}-2x^{5}+2\qquad q(x)=3x^{5}+2x^{4}+2x-1
\end{equation*}
A continuación, buscamos un término que multiplicado \(q(x)\) se obtenga el mismo término principal de \(p(x)\text{,}\) en este caso es \(2x^2\text{,}\) para finalmente restar
\begin{equation*}
6x^{7}-2x^{5}+2-2x^2[3x^{5}+2x^{4}+2x-1]= -4x^{6}-2x^{5}-4x^{3}+2x^{2}+2
\end{equation*}
Para continuar con el proceso. Este proceso concluye debido a que el grado disminuye en cada una de las etapas
Sean \(q(x)=3x^{5}+2x^{4}+2x-1\) y \(p(x)=6x^{7}-2x^{5}+2\text{.}\)
Determinar el cociente y el resto al dividir \(p(x)\) por \(q(x)\)
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{ccccc}
6x^{7}-2x^{5}+2 \amp : \amp 3x^{5}+2x^{4}+2x-1 \amp = \amp 2x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{2}{9}\\
\underline{-(6x^{7}+4x^{6}+4x^{3}-2x^{2})} \amp \amp \amp \amp \\
-4x^{6}-2x^{5}-4x^{3}+2x^{2}+2 \amp \amp \amp \amp \\
\underline{-(-4x^{6}-\frac{8}{3}x^{5}-\frac{8}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x)} \amp \amp \amp \amp \\
\frac{2}{3}x^{5}-4x^{3}+\frac{14}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+2 \amp \amp \amp \amp \\
\underline{-(\frac{2}{3}x^{5}+\frac{4}{9}x^{4}+\frac{4}{9}x+\frac{2}{9})} \amp \amp \amp \amp \\
-\frac{4}{9}x^{4}-4x^{3}+\frac{14}{3}x^{2}-\frac{16}{9}x+\frac{20}{9} \amp \amp \amp \amp
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(s(x)=2x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{2}{9}\) y \(r(x)=-\frac{4}{9}x^{4}-4x^{3}+\frac{14}{3}x^{2} -\frac{16}{9}x+\frac{20}{9}\text{.}\)
Subsección 5.3.1 División Sintética
¶Debemos tener presente que la división sintética, es un arreglo mnemotécnico, que se obtiene a partir de la división habitual de polinomios, y en un caso particular en que el divisor tiene grado 1, es decir, sean \(p(x)= b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{0}\) y \(q(x)=x-a\text{.}\)
Veamos un ejemplo particular que se puede generalizar:
Sea \(p(x)=b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\text{,}\) entonces
\(1^{er}\) paso
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{l}
b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}:x-a=b_{3}x^{2}\\
\underline{-(b_{3}x^{3}-ab_{3}x^{2})}\\
(b_{2}+b_{3}a)x^{2}+b_{1}x+b_{0}
\end{array}
\end{equation*}
\(2^{do}\) paso
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{l}
b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}:x-a=b_{3}x^{2}+ (b_{3}a+b_{2})x\\
\underline{-(b_{3}x^{3}-ab_{3}x^{2})}\\
(b_{3}a+b_{2})x^{2}+b_{1}x+b_{0}\\
\underline{-[(b_{3}a+b_{2})x^{2}-(b_{3}a+b_{2})ax]}\\
(b_{1}+(b_{2}+b_{3}a)a)x+b_{0}
\end{array}
\end{equation*}
\(3^{er}\) paso
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{l}
b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}:x-a=b_{3}x^{2}+ (b_{3}a+b_{2})x+ [b_{1}+(b_{2}+b_{3}a)a]\\
\underline{-(b_{3}x^{3}-ab_{3}x^{2})}\\
(b_{3}a+b_{2})x^{2}+b_{1}x+b_{0}\\
\underline{-[(b_{3}a+b_{2})x^{2}-(b_{3}a+b_{2})ax]}\\
(b_{1}+(b_{2}+b_{3}a)a)x+b_{0}\\
\underline{-[(b_{1}+(b_{2}+b_{3}a)a)x-(b_{1}+(b_{2}+b_{3}a)a)a]}\\
(b_{1}+(b_{2}+b_{3}a)a)a+b_{0}
\end{array}
\end{equation*}
Como resultado de esto se tiene que
- \(q(x)=b_{3}x^{2}+(b_{2}+a\cdot b_{3})x+[b_{1}+(b_{2}+a\cdot b_{3})\cdot
a].\)
- \(r(x)=b_{0}+[b_{1}+(b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a]\cdot a.\)
Esquemáticamente la división sintética corresponde a:
\(1^{er}\) paso
\begin{equation*}
\begin{array}{c|c|c|c|c}
a \amp b_{3} \amp b_{2} \amp b_{1} \amp b_{0} \\ \hline
\amp \amp b_{3}\cdot a \amp \amp \\
\amp b_{3} \amp b_{2}+b_{3}\cdot a \amp \amp
\end{array}
\end{equation*}
\(2^{do}\) paso
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{c|c|c|c|c}
a \amp b_{3} \amp b_{2} \amp b_{1} \amp b_{0} \\ \hline
\amp \amp b_{3}\cdot a \amp (b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a \amp \\
\amp b_{3} \amp b_{2}+b_{3}\cdot a \amp b_{1}+(b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a \amp
\end{array}
\end{equation*}
\(3^{er}\) paso
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{c|c|c|c|c}
a\amp b_{3} \amp b_{2} \amp b_{1} \amp b_{0}\\ \hline
\amp \amp b_{3}\cdot a \amp (b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a \amp [b_{1}+(b_{2}
+b_{3}\cdot a)\cdot a]\cdot a\\
\amp b_{3} \amp b_{2}+b_{3}\cdot a \amp b_{1}+(b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a \amp
b_{0}+[b_{1}+(b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a]\cdot a
\end{array}
\end{equation*}
Como resultado se obtiene
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{c|c|c|c|c}
a\amp b_{3} \amp b_{2} \amp b_{1} \amp b_{0} \\ \hline
\amp \amp b_{3}\cdot a \amp (b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a \amp [b_{1}+(b_{2}
+b_{3}\cdot a)\cdot a]\cdot a\\
\amp \underset{coef.x^{2}}{\underbrace{b_{3}}} \amp \underset{coef.x}
{\underbrace{b_{2}+b_{3}\cdot a}} \amp \underset{term.indep}{\underbrace
{b_{1}+(b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a}} \amp \underset{resto}{\underbrace
{b_{0}+[b_{1}+(b_{2}+b_{3}\cdot a)\cdot a]\cdot a}}
\end{array}
\end{equation*}
Caso General,
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{c|c|c|c|c|c||c|c}
a\amp b_{n} \amp b_{n-1} \amp b_{n-2}\amp ... \amp b_{1} \amp b_{0} \\ \hline
\amp \amp ac_{n-1} \amp ac_{n-2} \amp \amp ac_{1} \amp ac_{1}\\
\amp b_{n} \amp ac_{n-1}+b_{n-1} \amp ac_{n-1}+b_{n-1} \amp \amp ac_{1}+b_{1} \amp ac_{0}+b_{0} \\
\amp \| \amp \| \amp \| \amp \amp \|\amp \|\\
\amp c_{n-1} \amp c_{n-2} \amp c_{n-3} \amp \amp c_{0} \amp r
\end{array}
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+b_{0}=(x-a)\left( c_{n-1}
x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdot\cdot\cdot+c_{0}\right) +r.
\end{equation*}
Ejemplo 5.3.5
Sea \(p(x)=3x^{5}-2x^{3}-1\) y \(q(x)=x-2\text{,}\) encontraremos \(s(x)\) y \(r(x)\text{.}\)
Para dividir \(p(x)=3x^{5}-2x^{3}-1\) por \(q(x)=x-2\) usando división sintética, ordenemos del siguiente modo los datos
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{c|c|c|c|c|c|c}
2 \amp 3 \amp 0 \amp -2 \amp 0 \amp 0\amp -1\\ \hline
\amp \amp 2\cdot3 \amp 2\cdot6 \amp 2\cdot10 \amp 2\cdot20 \amp 2\cdot 40\\ \hline
\amp 3 \amp 6 \amp 10 \amp 20 \amp 40 \amp 79
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(q(x)=3x^{4}+6x^{3}+10x^{2}+20x+40\text{,}\) y \(r(x)=79\text{,}\) de otro modo
\begin{equation*}
3x^{5}-2x^{3}-1=\left( x-2\right) \left( 3x^{4}+6x^{3}+10x^{2}
+20x+40\right) +79
\end{equation*}
Ejemplo 5.3.6
Aplicar división sintética para dividir \(p(x)=4x^{5}-3x^{3}+x^2-1\) por \(q(x)=2x+1\text{.}\)
Para dividir \(p(x)=4x^{5}-3x^{3}+x^2-1\) por \(q(x)=2x+1\) usando división sintética, ordenemos del siguiente modo los datos
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{c|c|c|c|c|c|c}
-\frac{1}{2} \amp 4 \amp 0 \amp -3 \amp 1 \amp 0 \amp -1\\ \hline
\amp \amp -2 \amp 1 \amp 1 \amp -1 \amp \frac{1}{2}\\ \hline
\amp 4 \amp -2 \amp -2 \amp 2 \amp -1 \amp -\frac{1}{2}
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(4x^{5}-3x^{3}+x^2-1=(x+\frac{1}{2})(4x^4-2x^3-2x^2+2x-1) - \frac{1}{2} \) de otro modo
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
4x^{5}-3x^{3}+x^2-1\amp =\amp (x+\frac{1}{2})(4x^4-2x^3-2x^2+2x-1) - \frac{1}{2}\\
\amp =\amp (x+\frac{1}{2})2\cdot \frac{1}{2}(4x^4-2x^3-2x^2+2x-1) - \frac{1}{2}\\
\amp =\amp (2x+1)(2x^4-x^3-x^2+x-\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo 5.3.7
Aplicar división sintética para dividir \(p(x)=3x^{5}-8x^4-x^{3}-x-1\) por \(q(x)=(x+1)(x-2)\text{.}\)
Para dividir \(p(x)=3x^{5}-8x^4-x^{3}-x-1\) por \(q(x)=(x+1)(x-2)\) usando división sintética, ordenemos del siguiente modo los datos
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{r|r|r|r|r|r|r}
-1 \amp 3 \amp -8 \amp -3 \amp 0 \amp -1 \amp -1 \\ \hline
\amp \amp -3 \amp 11 \amp -8 \amp 8 \amp -7 \\ \hline
\amp 3 \amp -11 \amp 8 \amp -8 \amp 7 \amp -8 \\ \hline\\ \hline
2 \amp 3 \amp -11 \amp 8 \amp -8 \amp 7 \amp \\ \hline
\amp \amp 6 \amp - 10 \amp 4 \amp -8 \\ \hline
\amp 3 \amp -5 \amp -2 \amp -4 \amp -1
\end{array}
\end{equation*}
Luego ahora el resultado
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\amp \amp 3x^{5}-8x^4-x^{3}-x-1\\
\amp =\amp (x+1)(3x^4-11x^3+8x^2-8x+7) - 8\\
\amp =\amp (x+1)[(x-2)(3x^3-5x^2-2x-4)-1] - 8\\
\amp =\amp (x+1)(x-2)(3x^3-5x^2-2x-4)-1(x+1) - 8\\
\amp =\amp (x+1)(x-2)(3x^3-5x^2-2x-4)-(x+9)\\
\end{array}
\end{equation*}
El cuociente es \(3x^3-5x^2-2x-4 \) y el resto es \(-x-9\)
Subsubsección Ejercicios
Realizar las siguientes divisiones sintéticas
\(p(x)=x^{5}-11x^{3}+5x^{2}+x-3\) por \(q(x)=x+1\text{.}\)
\(p(x)=3x^{4}+2x^{3}+\frac{1}{2}x+3\) por \(q(x)=2x-1\text{.}\)
Definición 5.3.8
Sea \(q(x)\) un factor de \(p(x)\) en \(\mathbb{K}[x]\) entonces
El polinomio \(q(x)\) es un factor propio de \(p(x)\) si y sólo si el \(gr(p(x))\gt gr(q(x))\gt0 \)
El polinomio \(q(x)\) es un factor impropio de \(p(x)\) si no es propio.
Se dice que \(p(x)\) es un polinomio irreducible sobre \(\mathbb{K}[x]\) si y sólo si \(p(x)\) no tiene factores propios.
Un polinomio \(p(x)\) es reducible sobre \(\mathbb{K}[x]\) si tiene factores propios.
Ejemplo 5.3.9
El polinomio \(x^4+3x^2+2=(x^2 +1)(x^2+2)\) , luego es reducible en \(\mathbb{R} [x]\text{.}\)
El polinomio \(x^2+1\) es irreducible en \(\mathbb{R}[x]\)
El polinomio \(x^2+1=(x-i)(x+i)\) es reducible en \(\mathbb{C}[x]\)
